第1章 直角三角形（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（湘教版）

第1章 直角三角形（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列数据是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，6，7 D．7，24，25 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，平分．将绕点逆时针旋转得到，且点在上，点在的延长线上，与相交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，是的角平分线，于点，的面积为8，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 10．（24-25九年级上·重庆·期末）年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，根据图中标注在点所表示的数为 ． 12．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 13．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，是边上的高，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；画射线，与交于点；作，垂足为点．若，，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 16．（24-25八年级上·山西太原·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，点D在的延长线上，连接．若，求的度数． 20．（本小题满分8分）（2024八年级上·全国·专题练习）如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： （1）的长； （2）重叠部分的面积． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·海南海口·期中）如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； （1）求证：； （2）若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 23．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，，的平分线与的平分线相交于E，，，的延长线交于D． （1）求长； （2）求证：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D D C B A A 1． 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、2，能构成直角三角形，且都是正整数． 故选：D． 2．A 【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据等边对等角求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 解：解∶∵， ， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 4．C 【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 解：如图，在中，，，    则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故选：C． 【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，，，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解． 解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选C． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，可证，得到，，根据勾股定理计算即可得到答案. 解：，平分 ，， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ∴， ，， ， ， ， 故选B： 9．A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 解：作于，   是的角平分线，， ． 故选A． 10．A 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，画出圆柱的展开图，连接，由勾股定理即可求解，正确画出展开图是解题的关键. 解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，连接， ∴即为最短， ∴，， ∴， 故选：． 11．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点到表示的点的距离为， 那么点到原点的距离为个单位， 点在原点的右侧， 点所表示的数为 故答案为： 12．10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 13．/29度 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 14．2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，尺规作图，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 由作图可得平分，则由角平分线的性质定理得到，再根据以及线段和差计算即可． 解：由作图可得平分， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 16．14 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 17．/120度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数． 解：是的外角， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查翻折变换、线段垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识．如图，连接交于O，作于H．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 解：如图，连接交于O，作于H． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．设，根据题意求出，即可得到答案． 解：设． ， ． ， ， 即． ， ， ， ， ． 20．（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）先得到，再设，则，据此利用勾股定理得到，解方程即可得到； （2）由（1），得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 解：（1）解：由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）解：由（1），得， ． 21．（1）见分析；（2）的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）由题意得，推出，由（1）可知，，据此即可求解； 解：（1）证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 22．（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 解：（1）证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 23．（1）受噪音影响，见分析；（2）秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键 （1）根据点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，则，即可解决问题． 解：（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下： 点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响， ， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则， ， ， 由勾股定理得： ， ∵汽车速度为 ∴影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 24．（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，推出，利用勾股定理即可求解． （2）延长二线交于点G，先证明，结合得到，再证明，继而得到，结合，等量代换解答即可． 解：（1）证明：∵, ∴， ∵的平分线与的平分线相交于E， ∴， ∴， ∴， ∵，, ∴． （2）证明：如答图，延长二线交于点G， ∵, ∴， ∵的平分线与的平分线相交于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 【点拨】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等判定和性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$