精品解析： 河南省洛阳市偃师区2024-2025学年八年级上学期期末质量检测数学试卷

2024—2025学年第一学期期末质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. ±2 B. 2 C. D. 2. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等腰三角形的三线合一 C. 垂线段最短 D. 是的垂直平分线 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平方根等于本身的数是1 B. 三角形的外角大于该三角形的任一内角 C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 三边之比为的三角形为直角三角形 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. “在中，和的对边分别是a和b，若，则”．用反证法证明时，应假设（ ） A B. C. D. 8. 以下是昆明某天气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（ ） A. 最低温度 B. 最高温度是 C. 从0时到14时温度在持续上升 D. 这一天的温差是 9. 如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠）．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 10. 一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ） A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数8的立方根是_____． 12 分解因式：=______． 13. “一九二九不出手，三九四九冰上走”．据气象预报，新一轮寒潮即将到来，未来10天中“最低温度为零下”将出现5天，那么这10天中出现“最低温度为零下”的频率是________． 14. 如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________． 15. 在中，，，，点D为射线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级名学生进行调查，从：文学鉴赏，：科学探究，：文史天地，：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查的每名学生必选且只能选择一门课程），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： （1）_________，_________； （2）扇形统计图中，“”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图. 19. 如图，，，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 20. 如图，在某河道的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P．请使用尺规作图，在图中设计出水泵站P的位置．（保留作图痕迹，不写作法） （1）水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ （2）水泵站建在什么位置，到两个村庄送水所使用的水管最短（即最小）？ 21. 观察： （1）发现结论：任意两个连续偶数平方和是4的______倍（用“偶数”或“奇数”填空）． （2）逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为（为整数），请论证（1）中结论的正确性． 22. 已知：如图，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，，，垂足分别是、． （1）求证：； （2）求的长． 23. 问题呈现：证明命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，． 求证：． 证明：如图，延长至点D．使，连接． （1）请根据提示，结合图形，写出完整证明过程． （2）结论运用： ①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为．那么这个气象站离地面的高度为______千米． ②如图，为等边三角形，相交于点P，于点Q，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末质量检测试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算结果是（ ） A. ±2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】4的算术平方根是2，即=2， 故选B． 【点睛】本题考查算术平方根的定义，比较基础，正确把握算术平方根的定义是解题的关键． 2. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．据此即可求解． 【详解】解：由无理数的概念可知：均是无理数， 是分数，属于有理数， 故选：C 3. 八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：A． 4. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等腰三角形的三线合一 C. 垂线段最短 D. 是的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平方根等于本身的数是1 B. 三角形的外角大于该三角形的任一内角 C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 三边之比为的三角形为直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据平方根的概念、外角的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理等知识逐项判定即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故A选项命题是假命题，不符合题意； B．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故B选项命题是假命题，不符合题意； C．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故C选项命题是假命题，不符合题意； D．三边之比为，则可设三边分别为、、，所以，所以三角形为直角三角形，故D选项命题是真命题，符合题意． 故选：D． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 7. “在中，和的对边分别是a和b，若，则”．用反证法证明时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的证明步骤是解题的关键．反证法的证明步骤为：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发，经推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不成立． 根据反证法的证明步骤，首先找出命题中的结论，假设结论不成立． 【详解】解：命题“在中，和的对边分别是a和b．若，则”中，结论为“”， 因此反证法证明时，应假设， 故选：B． 8. 以下是昆明某天气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（ ） A. 最低温度是 B. 最高温度是 C. 从0时到14时温度在持续上升 D. 这一天的温差是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线图，从折线图中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、最低温度是，原选项说法错误，不符合题意； B、最高温度是，原选项说法正确，符合题意； C、从0时到14时温度先下降后持续上升，原选项说法错误，不符合题意； D、这一天的温差是，原选项说法错误，不符合题意； 故选B． 9. 如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形（不重叠）．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积和． 【详解】∵大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积和， ． 故选：B． 【点睛】考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 10. 一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ） A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出的长，进而得出的长，即可得出答案. 【详解】车宽米， 欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线米处的高度与车高， 在中，由勾股定理可得： （）， 米， 卡车的外形高必须低于米. 故选：. 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 12. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 13. “一九二九不出手，三九四九冰上走”．据气象预报，新一轮寒潮即将到来，未来10天中“最低温度为零下”将出现5天，那么这10天中出现“最低温度为零下”的频率是________． 【答案】0.5 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算，即频数与总数的比值，未来10天中“最低温度为零下”将出现5天，那么“最低温度为零下”的频率就是出现的天数除以总天数． 【详解】解：根据题意得，未来10天中“最低温度为零下”将出现5天，那么这10天中出现“最低温度为零下”的频率是： ． 故答案为：0.5． 14. 如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用，利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴， ， ∵ ， 而， ∴． 故答案为：． 15. 在中，，，，点D为射线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，的长为________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ； 当时， 设， 则，， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、单项式乘单项式运算． （1）直接利用算术平方根以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用整式的除法运算法则、单项式乘单项式运算法则计算，进而得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式化简中括号内的算式，根据多项式除单项式的运算法则将原式化简，再将x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 18. 为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级名学生进行调查，从：文学鉴赏，：科学探究，：文史天地，：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查的每名学生必选且只能选择一门课程），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图： （1）_________，_________； （2）扇形统计图中，“”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图. 【答案】（1）160，15;（2）108;（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据课程人数和所占的百分比求出的值，再根据课程的人数求出； （2）用课程所占的百分比乘以求出所对应的扇形的圆心角度数； （3）用总人数减去、、的人数，求出的人数，从而补全统计图. 【详解】（1）， ， 则； 故答案为；. （2）所对应的扇形的圆心角度数是； 故答案为. （3）最受欢迎的文史天地人数有（人），补图如下： 【点睛】本题考查了条形图和扇形图及用样本估计总体等知识，难度不大，综合性较强.注意三个公式：①该项所占的百分比，②圆心角，③欢迎某项人数. 19. 如图，，，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ∵， ， ， ； 【小问2详解】 证明：与中， ， ． 20. 如图，在某河道的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P．请使用尺规作图，在图中设计出水泵站P的位置．（保留作图痕迹，不写作法） （1）水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ （2）水泵站建在什么位置，到两个村庄送水所使用的水管最短（即最小）？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计、线段垂直平分线的性质、对称的性质等知识， （1）根据线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线与直线l的交点为P，点P即为所求； （2）先作点A关于l的对称点，再连接交l于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线与直线l的交点为P， 点P到两个村庄A，B的距离相等， ∴点P即为水泵站建的位置； 【小问2详解】 解：如图所示，作点A关于l的对称点，再连接交l于点P， ∴， ∴， 此时最小，点P即为水泵站建的位置． 21. 观察： （1）发现结论：任意两个连续偶数的平方和是4的______倍（用“偶数”或“奇数”填空）． （2）逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为（为整数），请论证（1）中结论的正确性． 【答案】（1）奇数 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．完全平方公式，奇数与偶数的定义等知识． （1）根据观察可知，5、61、685、313都是奇数，即可求解． （2）根据较小的一个为，较大的偶数为，运用完全平方公式计算平方和得出，再根据偶数以及奇数的定义即可证明． 【小问1详解】 解：根据观察可知，5、61、685、313都是奇数， 故答案为：奇数． 【小问2详解】 证明：较小的一个为（为整数） 较大的偶数为 为整数， 、均为偶数， 为偶数， 为奇数． 即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． 22. 已知：如图，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，，，垂足分别是、． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）证明≌，根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明≌，得到，设，列出方程即可求得． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分，，， ∴，， ∵平分线与边的垂直平分线相交于点， ∴， 在和中， ， ∴≌． ∴． 【小问2详解】 在和中， ， ∴≌， ∴， 设， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴的长为． 23. 问题呈现：证明命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，． 求证：． 证明：如图，延长至点D．使，连接． （1）请根据提示，结合图形，写出完整的证明过程． （2）结论运用： ①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为．那么这个气象站离地面的高度为______千米． ②如图，为等边三角形，相交于点P，于点Q，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）如图2，延长至点D．使，连接，则，由线段垂直平分线的性质得到，求出，判定是等边三角形，得到，即可证明； （2）①由等角对等边得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求出长． ②由，得到，由三角形外角的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，即可得到． 【小问1详解】 证明：如图，延长至点D．使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，是气象站离地面的高度， ∵， ∴， ∴千米， ∵， ∴（千米）， ∴气象站离地面的高度是2千米， 故答案为：2． ②∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及仰角俯角，熟练掌握相关知识的联系与运用，解答关键是通过作辅助线构造等边三角形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$