广东省深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团2024-2025学年高三第四次模拟（开学考）数学试题

深圳市福田区外国语高级中学 2023 -2024学年度第二学期 高三年级 数学科试卷周测试卷 第 1页（共 4页） 深圳市福田区外国语高级中学 2023-2024 学年度第二学期 高三年级 第五次调研考试 数学学科试题答案 答题注意事项： 1.本试卷满分 150 分；考试用时 120 分钟； 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.【答案】A【详解】不等式 0lg x 解得0 1x  ，则  0,1A  ； 不等式 1010 x 解得 1x  ，则  ,1B   . 所以“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件. 2.【详解】 153 23  aS ， 777 47  aS 可得 52 a ， 114 a ，则 175222 246  aaa 3．【答案】A【详解】选取一个学校安排 2 名教学型老师有 1 23 4C C 种不同的方法， 剩余 2 名教学型老师与 2 名管理型教师，各取 1 名，分成两组共有 2 2A 种， 这 2 组分配到 2 个不同学校有 2 2A 种不同分法， 所以由分步乘法计数原理知，共有 1 2 2 2 3 4 2 2C C A A 3 6 2 2 72        种不同的分法. 4.【答案】B 【详解】 3 4) 4 tan(   化简得 2 3 tan1 1tan      .解得 5tan  ，  2sin)2sin(  ， 13 5 26 10 1tan tan2 cossin cossin2cossin22sin 222              5．【答案】D【分析】利用平行，垂直的相关性质定理逐一判断即可. 故选：D. 6.【答案】B【详解】方法一： 如图：取 MN中点 B， CM + CN = 2 CB ≤ 2 CA = 2 2 方法二：（平方法）设CM 、CN夹角为θ CM + CN 2 = CM 2 + 2CM ∙ CN + CN 2 = 4 + 4 + 2 CM CN cosθ = 8 + 8cosθ = 8 + 8 CM2 + CN2 −MN2 2CM ∙ CN = 8 + 8 4 + 4 − MN2 8 = 16 − MN2 当 CA与 MN垂直时，MN最小，并且最小值为 2 r2 − CA2 = 2 2， 此时 CM + CN 2 max = 8，即 CM + CN max = 2 2. 7.【答案】A【详解】M 为准线与 y 轴的交点， 因为 ，且 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 而 ，所以 ， 所以 . 8．【答案】C 【详解】令函数 ，求导得 ，函数 在 上递增， ，即当 时， ，则当 时， ，则 ， . 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.【答案】ABD 【分析】由复数的运算性质即可求解. 10. 【答案】BCD 11．【答案】ACD 【详解】对于 A，因为 ABCD为正方形，连接BD与 AC，相交于点O，连接OP， 则OD，OC，OP两两垂直， 故以  , ,OD OC OP    为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系， (2 2,0,0)C ， ( 2 2,0,0)A  ， (0,2 2,0)D ， (0, 2 2,0)B  ， (0,0, 2 2)P ， N 为 PD的中点，则 (0, 2, 2)N . 当M 为 AD的中点时， ( 2, 2,0)M  ，  2,0, 2MN   ，  2 2,0, 2 2PC   ， 设异面直线MN与PC所成角为， 4 0 4 cos cos , 0 2 4 MN PCMN PC MN PC              ， π(0, ] 2   ，故 π 2   ，A正确； ,eebesina aba  a QF 30 , 120PFQ QPF     PF PQ30PQF   30QFM  / /FM PQ 2 3 3 QF  3tan30 1 3 QM QM QM MF     3 3 2cos30 2 3 2 3 QF PF PQ      xexy  (0, )( )f x( ) sin , 0f x x x x   sin a asin x x 0a 0x ( ) (0) 0f x f  bbb ln1a ba 命题人：汪琼华 深圳市福田区外国语高级中学 2023 -2024学年度第二学期 高三年级 数学科试卷周测试卷 第 2页（共 4页） 对于 B，设Q为DC的中点， N 为 PD的中点，则 / /QN PC，PC 平面PBC，QN 平面PBC， 则QN / /平面PBC， 又 / /MN 平面PBC， ,MN QN 平面MNQ，又MN QN N ，设H AB ， 故平面 / /MNQ 平面PBC，平面 PBC平面 ABCD BC ， 平面MNQ平面 ABCD QH ，则 / /QH BC，则H为 AB的中点， 点M 在四边形 ABCD内（包含边界）运动，则M QH ， 点M 的轨迹是过点O与 BC平行的线段QH ，长度为 4，B不正确； 对于 C，即点M 的轨迹以OD中点 K为圆心，半径为 2的圆在四边 ABCD内（包含边界）的一段弧（如 下图），K到 AB的距离为3，弧上的点到 AB的距离最小值为3 2 ， 因为 3 23 2 2   ，所以存在点 M到 AB 的距离为 3 2 2 ，C 正确； 对于 D，     ，的最大值， 22222  QNNDQNQDQP D 正确 故选：ACD. 三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 【答案】0 【详解】Cnn − Cnn−1 + Cnn−2 −⋯ + −1 nCn0 = −1 + 1 n = 0. 13.【答案】： 1 2   14．【答案】 5； 526 【详解】如图，设 1 ( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，令一条渐近线为 by x a   ，即 0bx ay  ， 且渐近线与 1FM 交于点A，故 1 2 2 bc F A b a b     ，而 1FO c ，可得 AO a ， 由已知得点M 为 1F关于渐近线的对称点，则 1 2FM b ， 故A是 1FM 的中点，而O是 1 2F F 的中点，故 OA 是 1 2MFF△ 的中位线， 2 2 2F M OA a  ，而 1 2 2 MF MF  ，故 1 4MF a ，故 2 4b a ，则双曲线的离心率是 5 1 2MFF△ 的内切圆圆心横坐标是 2，则圆与 x周的切点横坐标是 2，则 a=2，又因直角三角形内切圆的半径 等于两直角边之和减去斜边除以 2，则圆的半径是 526 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．解析：(1)由� � = � + ln�，� ∈ 0, +∞ …………………（1分） 则�' � = 1 + 1 � > 0 …………………（2分） 所以� � 在 0, +∞ 上单调递增. …………………（3分） 又� 1 2 = 1 2 + ln 1 2 = 1 2 − ln 2 = 1−2ln2 2 = 1−ln4 2 < 0;� 1 = 1 > 0 故� 1 2 ⋅ � 1 < 0, …………………（5分） 由零点存在定理可知，� � 有且仅有 1个零点，且零点位于 1 2 , 1 内. ……………（6分） (2) � � 在 1,1 处的切线为� = 2� − 1 ……………（7分） 由题� � 在 1,1 处的切线与� � 只有一个公共点可知，2� − 1 = ��2 + 2� + 3 � + 1有且仅有 1根 即��2 + 2� + 1 � + 2 = 0有且仅有 1根 ……………（9分） 当� = 0时，方程变为� + 2 = 0即� =− 2，符合条件. ……………（10分） 当� ≠ 0时，则有△= 2� + 1 2 − 8� = 0即 2� − 1 2 = 0，� = 1 2 . ……………（12分） 综上，� = 0或 1 2 . ……………（13分） 16.【详解】（1）设事件 A：从甲盒中摸出红色球，设事件 B：从甲盒中摸出偶数序号球。样本空间总数为 6.………1 分 由古典概型可知 2 1 6 3)(, 3 1 6 2)(  BPAP ………3 分， 6 1)( ABP ……4分， )()()( BPAPABP  ，故从甲盒中摸出红色球和摸出偶数序号球这两件事相互独立.……5分。 （2）x 的取值有 4，5，6，7，8，9，10 ……6分， 15 431)10( 15 22)9(; 15 22)8(; 15 22)7( 15 22)6(; 15 22)5(; 15 11)4( 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6      C XP C XP C XP C XP C XP C XP C XP X 4 5 6 7 8 9 10 P( iX ) 1 15 2 15 2 15 2 15 2 15 2 15 4 15 ……11 分， 深圳市福田区外国语高级中学 2023 -2024学年度第二学期 高三年级 数学科试卷周测试卷 第 3页（共 4页） ，2,  ABADAB 5 3810 15 49 15 28 15 27 15 26 15 25 15 24 15 1)( XE ……12 分， 设事件 C：摸球分数不低于 9；设事件 D：从甲盒中摸出两球颜色相同. 5 2 15 6)( CP ， 15 3)( CDP ， 2 1 )( )()|(  CP CDPCDP .……15 分。 17．【详解】（1）在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AD平面 ABCD，则 PA AD ， 而 , , ,AB AD AB PA A AB PA   平面 PAB，于是 AD 平面 PAB， ……………2 分 又PB 平面 PAB， 则 AD PB ，由 AB AP ，E为 PB的中点，得 , , ,AE PB AE AD A AE AD   平面 ADE ， …4分 因此 PB 平面 ADE，而 PB平面PBC， 所以平面 PBC 平面 ADE . ……………6 分 （2）（ⅰ）由（1）知，直线 , ,AB AD AP两两垂直， 以点A为原点，直线 , ,AB AD AP分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， ……………7 分 由余弦定理且为钝角三角形得 2CD , ……………10 分 过C作CF AD 于 F，得 1CF DF  ，      0,3,10,4,02,0,0 CDP ，，    0,1,124,0  CDPD ，， 设平面PCD的法向量 ( , , )n x y z  ，则       0yxn 02zy4n CD PD ， 令 y=1，则 x=1，z=2，得  2,1,1n ， ……………12 分 由 AD 平面 PAB，得平面 PAB的一个法向量 (0,1,0)m   ， ……………13 分 依题意， 6 6 6 1 mn mn mncos   ， 平面 PAB与平面 PCD所成的角的余弦值 6 6 ． ……………15 分 18. 【详解】解:（1） 2 2 ce a   ，当 M 为椭圆的短轴端点时， 1 2MFF 的面积的最大值为 1 1 2 1 1 2 c b bc      ， 2 2 2a b c  得 2, 1a b   ，椭圆方程为 1 2 2 2  yx .……4分 （2）（i） 由已知得 DE、DT 和椭圆相切，当两切线斜率均存在且不为零时， 设 ),(, 0000 byaxyxD ）（ ，设过 D 的切线为 )( 00 xxkyy  ， 联立      022 )( 22 00 yx xxkyy 化简得 02)(2)(4)21( 20000 22  ykxxykxkxk …6 分 0]12)2[(8 2000 22 0  ykyxkx ， DTDE kk , 为 012)2( 2 000 22 0  ykyxkx 的两根，则 1 2 1 2 0 2 0     x ykk DTDE ，即 320 2 0  yx .………9 分 当两条切线有斜率不存在或者斜率为零时，经检验也成立，综上 2C ： 3 22  yx …10 分 （ii）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 方程为 nmxy  ，点 O 到直线 AB 的距离 3 2 1 || 2    m nd ， 化简得 )1(23 22 kn  ………11 分 联立      022 22 yx nmxy ，可得 0)22(4)21( 222  nmnxxm ………12 分 设点 ),(),( 2211 yxByxA 、 ，在为正时有 2 2 21221 21 22 21 4 m nxx m mnxx      ， …13 分 = 2 2121 2 21212121 )()1))(( bxxmnxxmnmxnmxxxyyxx  （ …14 分 代入化简 = 0 21 2 21 4 21 )22)(1( 2 222 2 22 2 22         m nmn m nm m nm ，即 90AOB …15 分 当直线 AB 斜率不存在时，可求得 A( 2 3 ， 2 3 )，B( 2 3 ，− 2 3 )，经检验依然成立…16 分 由(i)得， 3||||  OQOP ， 2 3)3( 2 1|||| 2 1 2  OQOPS OPQ ………17 分 深圳市福田区外国语高级中学 2023 -2024学年度第二学期 高三年级 数学科试卷周测试卷 第 4页（共 4页） 19．解析：(1)要求数项级数1 2 + 3 4 + 5 8 +⋯+ 2�−1 2� +⋯的部分和， 即求�n = 1 2 + 3 4 + 5 8 +⋯+ 2�−1 2� ① 则有 1 2 �n = 1 4 + 3 8 +⋯ + 2�−3 2� + 2�−1 2�+1 ② …………………（1分） ①−②，得 1 2 �n = 1 2 + 2 1 4 + 1 8 +⋯+ 1 2� − 2�−1 2�+1 …………………（2分） = 1 2 + 2 × 1 4 1 − 1 2�−1 1 − 12 − 2� − 1 2�+1 = 1 2 + 1 − 1 2�−1 − 2� − 1 2�+1 = 3 2 − 2�+3 2�+1 ……………………………………（3分） 故�n = 3 − 2�+3 2� , � ∈ �∗ ……………………………………（4分） (2)对于数项级数 ∑ ∞ �=1 ( � + 2 − 2 � + 1 + �) 其部分和为�n = ∑ � �=1 ( � + 2 − 2 � + 1 + �) ……………………………………（5分） = ∑ � �=1 [( � + 2 − � + 1) − ( � + 1 − �)] ……………………………………（6分） = [( 3 − 2) − ( 2 − 1)] + [( 4 − 3) − ( 3 − 2)] + [( 5 − 4) − ( 4 − 3)] +⋯ + [( � + 2 − � + 1) − ( � + 1 − �)] =( � + 2 − � + 1) − ( 2 − 1) ……………………………………（7分） = 1 �+2+ �+1 + 1 − 2 ……………………………………（8分） 因为 lim �→∞ 1 �+2+ �+1 = 0 所以 lim �→∞ �n = lim�→∞ ( 1 �+2+ �+1 + 1 − 2) = 1 − 2, 故数项级数 ∑ ∞ �=1 ( � + 2 − 2 � + 1 + �)收敛，其数项级数的和为 1 − 2.……（9分） (3)对于数项级数 ∑ ∞ n=1 eqn(q ≠ 0)，设其部分和为Tn. 当� = 1时, �� = ��, lim�→∞�� = ∞,此时，数项级数 ∑ ∞ �=1 ���不收敛.…………（10分） 当� ≠ 1时，�� = ��(1−��) 1−� = �� 1−� (1 − ��); ①|�| > 1时，由 lim �→∞ �� = ∞, 故 lim �→∞ �� = lim�→∞ �� 1−� (1 − ��) = ∞， 此时，数项级数 ∑ ∞ �=1 ���不收敛； ……………………………………（12分） ② � < 1时， lim �→∞ �� = 0， 故 lim �→∞ �� = lim�→∞ �� 1−� (1 − ��) = �� 1−� ， 此时，数项级数 ∑ ∞ �=1 ���收敛于 �� 1−� ； ……………………………………（14分） ③� =− 1时，�� =− � + � − � + � − � + ⋯; 则�2� = 0, �2�+1 =− �, � = 0,1,2,3⋯ 此时， �� 不会收敛于同一个常数，故数项级数 ∑ ∞ �=1 ���不收敛. ……………（16分） 综上，实数�的取值范围为 −1,0 ∪ 0,1 . ……………（17分） 西浦教育集团外国语高级中学2024-2025学年度第二学期高三年级西浦四模考试 高三年级 数学科试卷 第 1页（共 2页） 高三年 深圳市福田区西浦集团（高中）2024-2025学年度第二学期 级 数学学科试 西浦四模考试 题 答题注意事项： 1.本试卷满分 150 分；考试用时 120 分钟； 2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 ，则“ x A ”是“ x B ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知等差数列 na 前 n项和为 nS ，并且满足 153 S ， 777 S ，则 6a 为（ ） A．17 B．15 C．11 D．9 3．福田外国语高级中学选拔 2 个管理型教师和 4 个教学型教师去新疆支教，把这 6个老师分配到 3 个学 校，要求每个学校安排 2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ） A．72 种 B．48 种 C．36 种 D．24 种 4. 2 3) 4 tan(   ,则 )2sin(   的值为（ ） A． 13 12  B． 13 5  C． 13 5 D． 13 12 5．设直线 b 与平面 相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A．平面 内的直线与直线 b 都不垂直 B．过直线 b 的平面与平面 都不垂直 C．与直线 b 垂直的直线可能与平面垂直 D．与直线 b 平行的平面可能与平面 垂直 6. 已知直线�: �� + � − � − 1 = 0 与圆�: (� − 2)2 + �2 = 4 相交于�、�两点，则|�� + �� |的最大值为 （ ） A．2 3 B．2 2 C．4 D． 2 2 7.设抛物线 的焦点为 F，过抛物线上点 P作其准线的垂线，设垂足为Q，若 30PQF   ， 则 PQ （ ） A． 2 3 B． 3 3 C． 3 4 D． 3 2 8．已知正实数 a，b 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数 ，则（ ） A． B． C． D． 10. 已知函数� � = �sin �� + � , (� > 0,0 < � < �)，其部分图象如图所示，其中�为最高点，tan� = 1 3 ， �� = 10，则（ ） A. A=2 B. � = � 2 C. 若� �1 = � �2 = 1 2 , 则|�1 − �2|min = 4 3 D. ∑ 2024 �=1 � � 3 =− 3+2 3 2 11．如图，四棱锥 底面 是边长为 4的正方形，若点 M在四边形 ABCD 内（包含边界） 运动，N为 PD 的中点， ,则（ ） A．当 M 为 AD 的中点时，异面直线 MN 与 PC 所成角为 π 2 B．当 / /MN 平面 PBC 时，点 M 的轨迹长度为 2 3 C．当 ，点 M 到 AB 的距离可能为 3 2 2 D．点 Q 是四棱锥外接球上的一点，则 三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. Cnn − Cnn−1 + Cnn−2 −⋯ + −1 nCn0的值为 . 13.已知 . 命题人：汪琼华 2 1 2 1 a   b P ABCD ABCD 3 4  PDCPDAPD ， 时所成的角是与平面 4 ABCDMN 288 的最大值是QDQP    1010,0lg  xxBxxA 2yx 2  ba ebesina  aebblna ba iz 2 3 2 1  1z z2 z 的根 1 x是方程 z 3 2z1 2  z   2h 2 f-h 2 f limsin2x-xxf 0h 2                  ，且 西浦教育集团外国语高级中学2024-2025学年度第二学期高三年级西浦四模考试 高三年级 数学科试卷 第 2页（共 2页） ，2,  ABADAB 14．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左，右焦点分别为 1 2,F F ，点 1F关于渐近线的对称点为 M 且点M 位 于双曲线上，则双曲线的离心率是__________，若 1 2MFF△ 的内切圆圆心横坐标是 2，则圆的半径是______. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 13 分） 已知� � = � + ln�, � � = ��2 + 2� + 3 � + 1，� ∈ � (1)证明：� � 有且仅有 1 个零点； (2)若� � 在 1,1 处的切线与� � 只有一个公共点，求实数�的值. 16.（本题满分 15 分） 甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1 号），红球（2 号），蓝球（3 号），蓝 球（4号），白球（5 号），白球（6号）. （1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由； （2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数 为 10，设分数为随机变量 X，求 X 的分布列和均值.并求分数不低于 9的条件下，两球颜色相同的概率. 17.（本题满分 15 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD，四边形 ABCD中， AB AP ， (1)若 E为 PB的中点，求证：平面 PBC 平面 ADE； (2)若三角形 ACD 是钝角三角形，求平面 PAB与平面PCD所成的角的余弦值． 18.（本题满分 17 分） 已知椭圆C : )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 2 2 ，F1( − c, 0), F2(c, 0)为该椭圆C的左、右焦点.M 为椭圆C上 任意一点，ΔMF1F2的最大面积为 1.点 H在圆 1C ： 3 222  yx 上运动，过 H 点作圆 1C 的切线交椭圆C于 A、B两点.四边形 DEST 是椭圆C的外切矩形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）设点 D运动轨迹为 2C ，求 2C 的方程； （ii）延长 OA、OB 分别交轨迹 2C 于 P、Q 两点，求ΔOPQ 的面积. 19.（本题满分 17 分） 给定一个数列 �n ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式�1 + �2 +⋯+ �n +⋯ 1 称为数项级 数，其中，�n称为数项级数(1)的通项或一般项，数项级数(1)也常写作 ∑ ∞ n=1 �n或 �n∑ .数项级数(1)的前�项之 和，记为�n = ∑ � �=1 �� = �1 + �2 +⋯+ �n，称它为数项级数(1)的第�个部分和，也简称部分和.若数项级数(1) 的部分和数列 �n 收敛于�(即 lim�→∞ �n = �)，则称数项级数(1)收敛，称�为数项级数(1)的和，记作� = �1 + �2 + ⋯ + �n +⋯或� = �n∑ . (1)求数项级数1 2 + 3 4 + 5 8 +⋯+ 2n−1 2n +⋯的部分和； (2)判断数项级数 ∑ ∞ n=1 ( � + 2 − 2 � + 1 + �)是否收敛，若收敛，求数项级数的和； (3)若数项级数 ∑ ∞ n=1 ���(� ≠ 0)收敛，求实数�的取值范围. .45410A  ADCADC ，，