精品解析：山东省单县湖西高级中学（东城）2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

山东省单县湖西高级中学（东城）高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用子集的概念计算可求的值. 【详解】因为集合，且， 所以或或，解得或或， 当时，，符合集合元素的互异性， 当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 综上所述：. 故选：D. 2. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 3. 若是数据的第75百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 240 B. 90 C. 12 D. 5376 【答案】A 【解析】 【分析】求数据中的第75百分位数得，利用二项式展开式通项求常数项即可. 【详解】将按从小到大顺序排列得，由题设，则. 所以展开式通项为， 令，得，则，即常数项为. 故选：A. 4. 已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边上的点有，，平方关系得，应用求值确定的值，最后由求值. 【详解】由题意知：，，又，则， 若，则，与为钝角矛盾，舍去， 故，所以. 故选：D 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 6. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线：的一条渐近线不妨取：， 由双曲线：的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，可得到的距离为， 所以，解得， 故双曲线C的离心率为 故选：B 7. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再求出切线方程，求出交点的横坐标，再利用裂项相消法对数列求和即可． 【详解】解：，当时，， 在点处的切线为：， 化简为：， 当代入中， ，即， ， 化简：， 则数列的前50项和为： ， 故选：A． 8. 已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 故选：BD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知，则中至少有一个为0 D. 袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的概念，可判断A的真假；利用“插空法”判断B的真假；根据复数的运算，判断C的真假；根据超几何分布的表示方法判断D的真假. 【详解】对A：家庭由两个小孩的样本空间为：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），已知两个小孩中有女孩的条件下，样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女），所以两个小孩中有男孩的概率为，而不是，故A错误； 对B：问题相当于在7盏亮的路灯间插入3盏不亮的灯，7盏灯之间有6个空，所以满足条件的不同的关灯方法有：种，故B正确； 对C：设，，由，得：，即. 当时，则，若，则；若，则，即. 当时，由①得：，代入②得：，所以，，即. 所以中至少有一个为0，故C正确； 对D：超几何分布，其中是总体个数，是总体中的黑球数，是抽取的个数，所以黑球个数，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知随机变量为，利用方差公式从而可求解. 【详解】由题意知随机变量为， 所以， 故答案为：. 13. 若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【详解】函数为奇函数，则：，解得：a＝1.则， 由，得x∈(0,1)． 14. 若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由得，即，所以 ，，当且仅当 时取等号，所以的最小值为． 考点：1．对数的性质；2．基本不等式． 【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得：，再由辅助角公式即可求解； （2）由题意得到：，平方得到，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 （1）， ， ， ， ， 【小问2详解】 由， ， ， ， 16. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 17. 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表： 时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310 （1）从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望； （2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程. （参考数据： ， 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）. 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解； （2）利用平均数的定义结合参考数据求得新的样本点，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解. 【小问1详解】 每天普及人数不少于240人的天数为3天，则的所有可能取值为， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 3 . 【小问2详解】 设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为 ，， ， 故 ， ， 所以. 18. 函数﹒ （1）当时，求函数的极值和极值点； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极大值点，极大值；极小值点，极小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，并把代入，利用导数求出极值点及对应的极值. （2）由（1）中导数，按分类讨论函数在上的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，，， 由，得或，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数极大值点为，极大值为；极小值点为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，由，得，函数在上单调递增， 则当时，，即不等式在恒成立，因此； 当时，由，得或， ①当，即时，，恒有成立， 函数在上单调递增，不等式在恒成立，因此； ②当，即时，恒有成立，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，不等式在恒成立，因此； ③当，即时，而，， 函数在区间上单调递减，，，不符合题意， 所以实数a的取值范围是. 19. 如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，，，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意设直线的方程为，， 联立方程组，消元得：， ，， 由得：，两边同除，， 即；将代入上式得： 整理得：所以或（舍）， 当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省单县湖西高级中学（东城）高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 若是数据的第75百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 240 B. 90 C. 12 D. 5376 4. 已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知，则中至少有一个为0 D. 袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______. 13. 若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是_________. 14. 若，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积； 16. 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表： 时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310 （1）从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望； （2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程. （参考数据： ， 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）. 18. 函数﹒ （1）当时，求函数的极值和极值点； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 19. 如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $