精品解析：安徽鼎尖教育2024-2025学年高一下学期2月联考数学试题

2024-2025学年安徽鼎尖教育高一2月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在R上的奇函数满足：且当时（m为常数），则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知函数若正实数，满足则最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 9 6. 已知函数且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 7. 设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是假命题的有（ ） A 若则 B. 若则 C 若则 D. 若则 11. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 点是函数的一个对称中心 B. 函数在区间上单调递增 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D. 函数的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，制作扇子的扇形面积为，圆面中剩余部分的面积为.当扇子扇形的圆心角的度数为时，扇面看上去形状较为美观，则此时__________. 13. 已知则的值为__________. 14. 已知函数，若关于x的方程恰有5个实根，记为则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知且求角的值． 16. 已知函数是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称． （1）求m的值； （2）若使得不等式恒成立，求实数k的取值范围． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的单调区间； （2）若对使得求实数m的取值范围． 18. 已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①对任意,都有； ②对任意且，都有 请解答下列问题： （1）求的值； （2）判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； （3）证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 19. 已知函数. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围； （3）解关于的方程：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽鼎尖教育高一2月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数图像结合充分必要条件判断. 【详解】易知当 但当 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的概念结合求解不等式求解即可. 【详解】由题可知集合或 故选：D. 3. 已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 4. 已知定义在R上的奇函数满足：且当时（m为常数），则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据为奇函数，求得解析式，再利用其周期求解. 【详解】解：因为为奇函数， 所以， 因为所以且周期 故选：C 5. 已知函数若正实数，满足则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合解不等式求解即可. 【详解】由题可知函数为奇函数，所以 又因为为单调递增函数，所以 所以 所以即，当时等号成立 故选：D. 6. 已知函数且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得为偶函数，再根据在上单调递减，得到在上单调递增判断. 【详解】由题可知函数的定义域为且 为偶函数，又在上单调递减， 在上单调递增， 又 又在上单调递增， 故选：C 7. 设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为，则A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数的定义得到，再利用两角差的正余弦公式判断. 【详解】如图所示： 设 则点 又 所以 故选：A 8. 已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把原命题转化为，再结合指数复合函数的单调性及最小值计算不等式即可. 【详解】都使成立，等价于 单调递增，所以， 所以对于恒成立， 即，所以恒成立，所以， 单调递增，， 所以即 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用分数指数幂以及根式化简计算可判断A错误，D正确，当时，可得C错误，由对数运算法则计算可得B正确. 【详解】易知，显然A错误； 由对数运算可知，可得B正确； 当为负值时显然，即C错误； 易知，可得D正确. 故选：BD 10. 下列命题是假命题的有（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】ABD 【解析】 分析】选项A举反例即可判断，其他选项用作差法即可判断. 【详解】解：对于A，当时，不等式不成立，A为假命题； 对于B，不等式不成立，B为假命题； 对于C，不等式成立，C为真命题； 对于D，不等式不成立，D为假命题； 故选： 11. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 点是函数的一个对称中心 B. 函数在区间上单调递增 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合三角函数的对称性以及周期性，可得ABD的正误；根据函数图象的变换，可得C的正误. 【详解】由题可知，最小正周期为， ，，令， 点是的一个对称中心，A正确； ， 函数在区间上单调递增，B正确； ，C错误； ， 当，函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，制作扇子的扇形面积为，圆面中剩余部分的面积为.当扇子扇形的圆心角的度数为时，扇面看上去形状较为美观，则此时__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】设圆面的半径为，则. 故答案为： 13. 已知则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】解：原式 ， 故答案为：0 14. 已知函数，若关于x的方程恰有5个实根，记为则__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解. 详解】当时 当时 当时 当时 则当时，作出函数的图象如下， 所以 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知且求角的值． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂和对数的运算求解； （2）由得到再由利用两角差的正切公式求解. 【详解】（1）原式 （2）因为所以 因为所以 所以 因为故 因为所以 16. 已知函数是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称． （1）求m的值； （2）若使得不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数求解即可， （2）利用奇函数和函数的单调性将函数值不等式转化为带有参数的不等式，使用分离参数法求解即可. 【小问1详解】 由得定义域为R，由题意得是定义在R上的奇函数， 所以 检验：当时定义域为R， 又满足故是奇函数，所以 【小问2详解】 因为是奇函数， 所以原不等式可化为 又是R上的增函数，所以 所以问题转化为任意成立，即成立， 而对勾函数在上单调递增，所以当时为最大值， 故 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的单调区间； （2）若对使得求实数m的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数图象求得函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解； （2）分别求得 的值域为集合A，集合B，根据题意，由求解. 【小问1详解】 由题可得则 当时取得最小值，则 所以又因为故 令解得 令解得 故函数的单调递增区间为 单调递减区间为 【小问2详解】 设的值域为集合A的值域为集合B， 根据题意可得：由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 的值域为 又在上单调递增， 由得 解得 的取值范围是. 18. 已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①对任意,都有； ②对任意且，都有. 请解答下列问题： （1）求的值； （2）判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； （3）证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 【答案】（1） （2）奇函数，在上单调递减，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据赋值法令，可求得； （2）通过赋值令，可得是奇函数，可得，再结合条件即可证明单调性； （3）根据题目中提示将化简为，再消项求和，根据单调性判断，得证. 【小问1详解】 令得：； 【小问2详解】 令得：， 是奇函数，在上单调递减. 下面证明：任取且， ，，且，则 而，则， 在上单调递减； 【小问3详解】 由、知在单调递减，， 当时，，，则 得证. 【点睛】利用定义证明抽象函数的单调性时，注意根据题目条件适当转发去判断： ①与的大小； ②与的大小关系（恒成立或恒成立）. 19. 已知函数. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围； （3）解关于的方程：. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入并利用二倍角公式化简计算可得，再由三角函数值域计算可得结果； （2）由表达式结构特征可构造函数，再利用函数奇偶性和单调性解不等式即可； （3）由方程可判断；对和进行分类讨论，可求得方程的解. 小问1详解】 易知； 因为，所以的值域为， 【小问2详解】 若，即； 整理得， 令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增， 由可得； 化简得，解得； 故的取值范围为； 【小问3详解】 解关于的方程，即解方程； 因为； 所以； 因此问题等价于解方程，且； 当时， 若，则，方程无解； 若，则，方程无解； 当时， 经检验方程的解是或. 【点睛】方法点睛：求解第（2）问不等式时，可根据不等式结构构造函数并利用函数奇偶性以及单调性，再结合三角函数值域及其单调性求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $