18.1.1 平行四边形的性质 讲义 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

18.1.1 平行四边形的性质与判定 一、知识要点 1、平行四边形概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“▱”表示，平行四边形记作“▱”。 2、平行四边形的性质 （1）边：对边平行；对边相等； （2）角：对角相等；邻角互补； （3）对角线：对角线互相平分； 3、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 性质：两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等. 4、平行四边形的周长与面积 （1）面积公式：平行四边形的面积=底高； （2）等底等高的平行四边形的面积相等； （3）平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 二、典例分析 例1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（　　） A．8 B．13 C．16 D．18 【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BFBE，利用勾股定理求得AB，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE， ∵AF⊥BE，∴BE＝2BF，∴BF＝12，∴AB，∴CD＝AB＝13，故选：B． 例2.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，得出AD+CD＝16，继而可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8． ∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），∴▱ABCD的周长为16，故选：C． 例3.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝60°，∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE， 在△BAC和△AED中，，∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，故选：C． 例4.如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　） A.150° B．145° C．135° D．120° 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明AD＝AE＝BE＝BC，得∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，可得∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，由平行四边形的邻角互补得出方程，求出x+y＝150°，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°， ∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°， ∵AD＝AE，∴AD＝AE＝BE＝BC，∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC， 设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y， ∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y， ∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，∴x+y＝150°， ∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，故选：A． 例 5.如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，根据平行四边形的性质可得S△ABE+S△CDES平行四边形ABCD，S△ABE+S△CBE+S阴影S平行四边形ABCD，进而可得S阴影＝S△CDE﹣S△CBE． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于点F， 设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，∴S△ABEAB×a，S△CDECD×b， ∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE（AB×a+CD×b）AB•BF， ∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，∴S△ABE+S△CDES平行四边形ABCD， ∵S△ABE+S△CBE+S阴影S平行四边形ABCD，∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故选：D． 例6.如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标． 【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG， ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF， ∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2， ∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D． 例7.如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可． 【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，∴AQ＝PC， 由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小， ∵AB＝10，△ABC的面积是25，∴PC＝5，∴AQ＝5，故选：C． 例8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ 　． 【分析】延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC∥DE，结合∠ABC＝90°，即可得出∠ADE＝90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF＝∠EDF＝45°，从而得出∠BDC＝45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论． 【解答】解：延长CD到点F，如图所示． ∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC∥DE， ∵∠ABC＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠ADE＝90°． ∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，∴∠ADF＝∠EDF∠ADE＝45°， ∴∠BDC＝∠ADF＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°．故答案为：135°． 三、针对练习 1.在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（　　） A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm 【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝COAC，BO＝DOBD，求得BO+COACBD（AC+BD），根据三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝COAC，BO＝DOBD，∴BO+COACBD（AC+BD）， ∵△BOC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm）， ∴AC+BD＝2×8＝16（cm），故选：B． 2.在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 　． 【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6， 如图1，∵EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10， 如图2，∵EF＝2，∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14， 综上所述，BC的长为10或14，故答案为：10或14． 3.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∴∠BAC＝25°，故选：C． 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【分析】首先利用平行四边形的对角相等和角A的度数求得∠C的度数，然后根据垂直的定义求得∠CED＝∠CFB＝90°，最后利用四边形的内角和求得答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°， ∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，∴∠CED＝∠CFB＝90°， ∴∠EHF＝360°﹣∠C﹣∠CFB﹣∠CED＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故选：C． 5.如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFQ＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【解答】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝15，S△BQC＝25，∴S四边形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40，故选：A． 6.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（　　） A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC 【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案． 【解答】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB， 在△ADN和△CBM中，，∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM， ∵S△BCFCF•BM，S△CDFCF•DN，∴S△BCF＝S△CDF，∵EF∥CD，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，故选：A． 7.如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可． 【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N， 则四边形EFNM是矩形，所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，∴∠EAB＝∠AQC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠AQC＝∠DCN，∴∠DCN＝∠EAB， 在△DCN和△BAE中，，∴△DCN≌△BAE（AAS），∴BE＝DN，AE＝CN， ∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3， ∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，∴D的坐标为（3，2），故选：B． 8.如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，由四边形OABC是平行四边形，得OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可由ASA证得△OAF≌△BCD，得出BD＝OF＝1，即可得出结果． 【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图所示： ∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD＝OF＝1， ∴点B的横坐标为：OE＝4+BD＝4+1＝5，故选：C． 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为　 　． 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，由点O是AC的中点，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求， ∵∠BAC＝30°，∴OEOA，∵AB＝AC＝12， ∵AOAC12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6． 10.如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为　 　． 【分析】利用平行四边形知识，将PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的长度，即可求解． 【解答】解：过点A作AM∥PQ且AM＝PQ，连接MP， ∵AM∥PQ且AM＝PQ，∴四边形AQPM是平行四边形，∴AQ＝MP， PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，当M、P、C三点共线时，MP+CP的最小， ∵AM∥PQ，AC⊥PQ，∴AM⊥AC， 在Rt△MAC中，MC2．故答案为：2． 11.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为　 　． 【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b． 【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．∴∠D＝80°．由折叠可知∠ACB＝∠ACE， 又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠DAC，∴△AFC为等腰三角形．∴AF＝FC＝a． 设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，∴∠DAC＝2x， 在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得：x＝20°． ∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，故△DFC为等腰三角形．∴DC＝FC＝a．∴AD＝AF+FD＝a+b， 故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．故答案为：4a+2b． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（　　） A． B．3 C．2 D．3 【分析】由折叠的性质得到AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再根据平行四边形的性质及邻补角的定义得到BC＝DE，∠DCB＝∠CDB，从而得到BD＝BC＝DE＝AD，进而得到AB＝2BC，最后根据勾股定理即可求解． 【解答】解：根据折叠的性质得到，△ADC≌△EDC，∴∠ADC＝∠EDC，AD＝ED， ∵四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，BC＝DE，∴∠EDC+∠DCB＝180°， ∵∠ADC+∠CDB＝180°，∴∠DCB＝∠CDB，∴BD＝BC， ∵BC＝DE，∴BD＝BC＝DE＝AD，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AD+BD＝2BC， ∵AC＝3，∴ACBC，∴BC，故选：A． 13.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据折叠的性质和平行四边形的性质可得BE＝CD； ②由折叠得：∠ADB＝∠BDF，再由平行线的性质得∠ADB＝∠DBF，最后由等角对等边可得BF＝DF； ③证明△BCE≌△DEC，可知这两个三角形的面积相等，可作判断； ④证明∠ECF＝∠CEF，∠DBF＝∠BDF，再由对顶角相等和三角形的内角和定理可知∠ECF＝∠FBD，可得结论． 【解答】解：①由折叠得：AB＝BE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴BE＝CD；故①正确 ②由折叠得：∠ADB＝∠BDF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BDF，∴BF＝DF，故②正确； ③由折叠得：AD＝DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴BC＝DE， 在△BCE和△DEC中，，∴△BCE≌△DEC（SSS），∴S△BCE＝S△DEC，∴S△BEF＝S△DCF；故③正确； ④∵BC＝DE，BF＝DF，∴CF＝EF，∴∠ECF＝∠CEF， 由②知：∠BDF＝∠FBD，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠ECF＝∠FBD，∴BD∥EC，故④正确； 所以本题正确的结论有：①②③④，共4个；故选D； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1.1 平行四边形的性质与判定 一、知识要点 1、平行四边形概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“▱”表示，平行四边形记作“▱”。 2、平行四边形的性质 （1）边：对边平行；对边相等； （2）角：对角相等；邻角互补； （3）对角线：对角线互相平分； 3、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 性质：两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等. 4、平行四边形的周长与面积 （1）面积公式：平行四边形的面积=底高； （2）等底等高的平行四边形的面积相等； （3）平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 二、典例分析 例1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（　　） A．8 B．13 C．16 D．18 例2.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 例3.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 例4.如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　） A.150° B．145° C．135° D．120° 例 5.如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 例6.如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 例7.如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ 　． 三、针对练习 1.在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（　　） A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm 2.在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 　． 3.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 5.如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 6.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（　　） A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC 7.如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 8.如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为　 　． 10.如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为　 　． 11.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为　 　． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（　　） A． B．3 C．2 D．3 13.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 学科网（北京）股份有限公司 $$