18.1 利用平行四边形证明线段之间的关系 讲义 2023-2024学年人教版数学八年级下册

RJ数学八下专题课堂(四)　利用平行四边形证明线段之间的关系 一、证明线段相等 【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC. 分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论． 【对应训练】 1．(2022·宿迁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE. 2．(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN. 3．如图，在▱ABCD中，点M，点N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE，求证：ME＝NF. 二、证明线段平行 【例2】如图，在▱ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF. 分析：证四边形BEDF为平行四边形即可． 【对应训练】 4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由． 5．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF. 求证：(1)△ADF≌△CBE； (2)EB∥DF. 三、证明线段互相平分 【例3】如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分． 分析：证四边形EMFN为平行四边形即可． 【对应训练】 6．如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分． 7．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 求证：EG与FH互相平分． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、证明线段相等 【例1】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC. 分析：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论． 证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC綊BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFG，∴∠BGD＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC 【对应训练】 1．(2022·宿迁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD.∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE 2．(2023·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN，又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM＝BN 3．如图，在▱ABCD中，点M，点N分别在边AD和边BC上，点E，F在线段BD上，且AM＝CN，DF＝BE，求证：ME＝NF. 证明：先证△DMF≌△BNE，得EN＝MF，又可证EN∥MF，∴四边形MFNE是平行四边形，∴ME＝NF. 二、证明线段平行 【例2】如图，在▱ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：BE∥DF. 分析：证四边形BEDF为平行四边形即可． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE＝90°，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，∴△ADE≌△CBF(AAS).∴DE＝BF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE∥DF 【对应训练】 4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由． 解：AECF.先证△AOF≌△COE，从而得到OE＝OF，再证四边形AECF是平行四边形，从而可得AECF. 5．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF. 求证：(1)△ADF≌△CBE； (2)EB∥DF. 证明：(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.又四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAF＝∠BCE.∴△ADF≌△CBE(SAS) (2)∵△