专题10 平行四边形的性质（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题10 平行四边形的性质 目录 【题型一 利用平行四边形的性质求角度】 1 【题型二 利用平行四边形的性质求线段的长】 2 【题型三 利用平行四边形的性质求周长】 2 【题型四 利用平行四边形的性质求面积】 3 【题型五 利用平行四边形的性质求坐标】 4 【题型六 利用平行四边形的性质判断多结论问题】 5 【题型七 平行四边形的折叠问题】 6 【题型八 利用平行四边形性质证明】 6 【题型一 利用平行四边形的性质求角度】 例题：（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型二 利用平行四边形的性质求线段的长】 例题：（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度． 【题型三 利用平行四边形的性质求周长】 例题：（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是 ． 【题型四 利用平行四边形的性质求面积】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，， ，，则的面积是（　　） A． B． C． D．或 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【题型五 利用平行四边形的性质求坐标】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型六 利用平行四边形的性质判断多结论问题】 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 2．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点．，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型七 平行四边形的折叠问题】 例题：（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中， 将 沿 的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为 ．    2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【题型八 利用平行四边形性质证明】 例题：（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（    ） A．24 B．26 C．28 D．32 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于点E，于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 7．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，为边上的点，与相交于点相交于点，若，，则四边形的面积为 ． 8．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 9．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 10．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，于点，于点，求证：． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点，于点．证明：． 13．（2023·浙江杭州·模拟预测）将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处． (1)求证：； (2)若的面积等于8，，试求的面积． 14．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 15．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平行四边形的性质 目录 【题型一 利用平行四边形的性质求角度】 1 【题型二 利用平行四边形的性质求线段的长】 3 【题型三 利用平行四边形的性质求周长】 5 【题型四 利用平行四边形的性质求面积】 8 【题型五 利用平行四边形的性质求坐标】 10 【题型六 利用平行四边形的性质判断多结论问题】 12 【题型七 平行四边形的折叠问题】 17 【题型八 利用平行四边形性质证明】 20 【题型一 利用平行四边形的性质求角度】 例题：（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．根据平行四边形的性质求出，再利用三角形内角即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型二 利用平行四边形的性质求线段的长】 例题：（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和勾股定理，由平行四边形的性质得，根据勾股定理得，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴． 【题型三 利用平行四边形的性质求周长】 例题：（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是 ． 【答案】34或38 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出．分类讨论． 由平行四边形推出，由已知得到，推出，分两种情况（1）当时，；（2）当时，求． 【详解】解：∵平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，平行四边形的周长是, 当时，平行四边形的周长是, ∴平行四边形的周长是34或38． 故答案为：34或38． 【题型四 利用平行四边形的性质求面积】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，， ，，则的面积是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．过作于，解直角三角形得到、、，再求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过作于， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 如图1，当时， 平行四边形的面积， 如图2，当时， 平行四边形的面积， 平行四边形的面积为或， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，根据平行四边形的性质可得，，由此可得，从而可得结论．解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ， ， 阴影部分的面积等于． 故答案为：． 【题型五 利用平行四边形的性质求坐标】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质等知识．由平行四边形的性质得，，由，，求得点的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ，点在轴上且， ，， ， 故选：C． 2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质可得，，结合点的坐标即可得出，点和点的纵坐标相等，从而即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，，， ∴，点和点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故选：A． 【题型六 利用平行四边形的性质判断多结论问题】 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，，，，进而判断①；若，则，显然与已知条件不符，可判断②；证明，得到，，可判断③；再证明，得到，可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， 故①正确； 若，则，显然与已知条件不符， 与不一定相等， 故②不正确； ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确； 在和中， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】根据题意得到，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边对等角得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出，即可判定③；若，得到是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到，然后求出，进而得到，即可判断④； 根据题意得到点F在线段上，进而可判断⑤． 【详解】∵，点E为的中点， ∴ ∴为等腰三角形，故①正确； ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； 若， 又∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确； ∵将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴点F在线段上， ∵ ∴为直角三角形，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点．，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行四边形的性质可证得，进一步证明是等边三角形，然后利用等腰三角形的判定与性质，可求得，即可证明①正确；再证明，即可知②正确；在中，，即可证明③错误；最后利用中位线定理，即可得④正确；由此可得答案． 【详解】四边形平行四边形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 所以①正确； ， ， ， ， 平分， 所以②正确； 在中，， ， ， 所以③错误； ，， ， 所以④正确； 所以正确的个数有3个． 故选：C． 【题型七 平行四边形的折叠问题】 例题：（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中， 将 沿 的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】由折叠的性质可得出，由三线合一的性质可得出，由平行四边形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出2，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由题意知折叠得到 ∴ ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴2，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 【题型八 利用平行四边形性质证明】 例题：（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据两条直线平行，内错角相等，即可得．先证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（    ） A．24 B．26 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，得出，同理可证，再由的长求出的长，据此根据平行四边形周长计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 同理可证． ， ， 解得， ， ∴的周长， 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于点E，于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及四边形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．根据四边形内角和可得的度数，再根据平行四边形的性质即可得的度数． 【详解】解：，， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故选C． 3．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 根据根据平角等于列式计算求出的度数，再平行四边形的对角相等，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的对边平行和平行线的性质可对A进行判断；根据平行四边形的对角相等可对B进行判断；根据平行四边形的对边相等可对A进行判断；根据平行四边形的对角线互相平分可对D进行判断． 【详解】解：A、在中， ∵， ∴， ∴该选项的结论正确，故不符合题意； B、在中，，所以该选项的结论正确，故不符合题意； C、在中，，所以该选项的结论正确，故不符合题意； D、在中，，， ∵平行四边形的对角线不一定互相垂直， ∴选项的结论错误，故符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生对平行四边形的性质、勾股定理和坐标与图象性质的理解和掌握，根据四边形是平行四边形，可求出C点的横坐标，再利用勾股定理求出的长，然后即可得出点C的坐标．此题难度不大，属于基础题． 【详解】解：∵点A的坐标为,点B的坐标为, ∴， ∴, ∴, ∴,点C在第二象 限, ∴点C的坐标为. 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，为边上的点，与相交于点相交于点，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积．连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出阴影部分的面积就是． 【详解】解：连接E、F两点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：16． 8．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 9．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 【答案】2或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题根据 分情况讨论：当时，作于点， 于点，得到，，，得到； 当时，作于点，于点，由题意得到，证明，得到，求出，即可得到的值；求出，得到，得到答案即可． 【详解】解：平行四边形，，， ，， 为等腰三角形， 当时， 如图，作于点， 于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 当时， 如图，作于点，于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，连接，作于点，于点， ， ， ， ， 不是等腰三角形； 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质证明三角形全等是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由此可证 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 于点 于点 ． ， 在 和 中， ， ， ． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点，于点．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ． ，， ． ． ． 13．（2023·浙江杭州·模拟预测）将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处． (1)求证：； (2)若的面积等于8，，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是应用折叠的性质找出所需的条件． （1）由平行四边形的性质可得，，，由折叠可知，，，进而得到，，，于是，以此即可通过证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）可得，由可得，进而求出，则，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，， 由折叠可知 ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，连接， 由（1）知，， ， ， ，即， ， ， ． 14．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 15．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可； （2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴（） （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$