专题15 正方形（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题15 正方形 目录 【题型一 利用正方形的性质求角度】 1 【题型二 利用正方形的性质求线段长】 3 【题型三 利用正方形的性质求面积】 6 【题型四 正方形的折叠问题】 9 【题型五 利用正方形的性质证明】 11 【题型六 添一个条件使四边形是正方形】 14 【题型七 证明四边形是正方形】 16 【题型八 根据正方形的性质与判定求角度】 18 【题型九 根据正方形的性质与判定求线段长】 21 【题型十 根据正方形的性质与判定证明】 24 【题型一 利用正方形的性质求角度】 例题：（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【答案】． 【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质得，，， 则，再根据，得，由此可得的度数，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型二 利用正方形的性质求线段长】 例题：（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标．根据、的互相垂直平分，且，即有，问题得解． 【详解】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正方形得到，继而由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形、菱形的性质及勾股定理是解题的关键；连接，交于点O，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是边长为4的正方形，四边形是边长为的菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； 故选A． 【题型三 利用正方形的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定， 根据正方形的性质得出，，，，都是等腰直角三角形，设正方形的边长为，再分别表示两个正方形的边长，进而得出面积之间的关系． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，其余两个四边形也是正方形， ∴，，，，都是等腰直角三角形． 设正方形的边长为，则， ∴， 则， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 由，， 知， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为5，正方形的边长为3，则正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 先由证得，推出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 和中 ， ， ， 在中， 由勾股定理得： ，即正方形的面积为34 故答案为：34． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，四边形是正方形， 和 都是直角，且 E，A，B三点共线，，求阴影部分的面积． 【答案】8 【分析】证明，根据全等三角形的性质证明即可． 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵和 都是直角， ∴， ， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型四 正方形的折叠问题】 例题：（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形与折叠，勾股定理的运用，明确折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题． 根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：设，则，由折叠的性质知， ∵点落在边的中点处， ∴， 在中，由勾股定理可知， 即，整理得， 解得，， ∴线段的长为， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．首先根据正方形的性质可得，再根据折叠可得，，进而可得，即． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， 根据折叠可得，， ， ， 即． 故选：A 2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【题型五 利用正方形的性质证明】 例题：（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，若，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，证明是解题的关键．根据证明即可． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西萍乡·期末）如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握正方形的性质得到三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则有，即是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论； （2），延长交于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型六 添一个条件使四边形是正方形】 例题：（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【题型七 证明四边形是正方形】 例题：（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的证明，根据，可得四边形为平行四边形；结合可得四边形为矩形，进而得，再由平分得，即可求证； 【详解】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 【题型八 根据正方形的性质与判定求角度】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是正方形内位于对角线下方的一点，且，则的度数为 ． 【答案】 【解析】略 【变式训练】 1．（2021·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【题型九 根据正方形的性质与判定求线段长】 例题：（22-23九年级上·重庆大渡口·阶段练习）如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型十 根据正方形的性质与判定证明】 例题：（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证； （2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线， ∴，， 如图所示，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 同理，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，或（答案不唯一） 【分析】（1）根据角平分线可得，可证，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可得是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，由此即可求证； （2）根据正方形的判定方法“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”即可求解． 【详解】（1）证明：已知平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形， ∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”得，添加条件为：，或（答案不唯一）， 添加条件为：， ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形； 添加条件：， ∵， ∴， ∵， ∴，即，且四边形是矩形， ∴矩形是正方形； 综上所述，添加条件为：：，或（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的证明，正方形的判定和性质的综合，掌握矩形判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的矩形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，理解并掌握菱形、矩形、正方形的判定方法是解题的关键． 根据菱形，矩形，正方形的判定方法进行分析即可求解． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意； 故选：D ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：A． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：正方形的边长为6，点恰好是的中点， ， 由翻折的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 7．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，E为正方形外一点，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，可得，再根据正方形的性质，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 8．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】/75度 【分析】本题主要查了正方形的性质，等边三角形的性质．根据正方形的性质可得，，再由等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，     ∴， ∴， ∴． 故答案为： 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，且．若，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键．根据题意可得，如图所示，在上取，连接，可证，得到，再证，得到，则的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：8 ． 10．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，已知正方形的边长为2，点分别在上，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长至点，使得，连接，首先证明，易得，即有，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，然后在中，利用勾股定理求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，    ∵四边形为正方形，边长为2， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， 此时在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，理由见解析 【分析】本题考查了特殊四边形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据题意得，，根据得，则四边形是平行四边形，又有，由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由平行四边形性质可得，进而可得，则是矩形，根据也是菱形可知四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵在中， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴是菱形； （2）结论：四边形是正方形， 理由如下： 由（1）得，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是矩形， 又∵是菱形 ∴四边形是正方形． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）因为矩形中，，，所以在四边形中有三个角为直角，由矩形的判定方法可得四边形是矩形； （2）当点运动到使时，矩形为正方形． 本题考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：当点运动到使时，矩形为正方形．过程如下： 如图：连接， 为矩形， ， ， ， 矩形为正方形． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形，点，分别在，上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查正方形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可． （1）根据正方形的性质，则，，再根据，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）由（1）的，，得，根据，等量代换，则，根据，，勾股定理求出，根据，进行解答，即可． 【详解】（1）证明：证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，且，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，证明，得到，利用等边对等角证明即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 正方形 目录 【题型一 利用正方形的性质求角度】 1 【题型二 利用正方形的性质求线段长】 2 【题型三 利用正方形的性质求面积】 3 【题型四 正方形的折叠问题】 4 【题型五 利用正方形的性质证明】 5 【题型六 添一个条件使四边形是正方形】 6 【题型七 证明四边形是正方形】 6 【题型八 根据正方形的性质与判定求角度】 7 【题型九 根据正方形的性质与判定求线段长】 8 【题型十 根据正方形的性质与判定证明】 9 【题型一 利用正方形的性质求角度】 例题：（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【题型二 利用正方形的性质求线段长】 例题：（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是（    ） A． B． C．4 D． 【题型三 利用正方形的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为5，正方形的边长为3，则正方形的面积为 ． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，四边形是正方形， 和 都是直角，且 E，A，B三点共线，，求阴影部分的面积． 【题型四 正方形的折叠问题】 例题：（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【题型五 利用正方形的性质证明】 例题：（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西萍乡·期末）如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【题型六 添一个条件使四边形是正方形】 例题：（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【题型七 证明四边形是正方形】 例题：（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 2．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【题型八 根据正方形的性质与判定求角度】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是正方形内位于对角线下方的一点，且，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（2021·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 2．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【题型九 根据正方形的性质与判定求线段长】 例题：（22-23九年级上·重庆大渡口·阶段练习）如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    2．（2023·湖南娄底·一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ． 【题型十 根据正方形的性质与判定证明】 例题：（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形． (2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的矩形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 5．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 7．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，E为正方形外一点，，则 ． 8．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，且．若，则的周长为 ． 10．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，已知正方形的边长为2，点分别在上，连接，若，则的最小值为 ．    三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形，点，分别在，上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，且，连接，，．求证：． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$