专题08 一元一次不等式（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题08 一元一次不等式 目录 【题型一 一元一次不等式的定义】 1 【题型二 一元一次不等式的解集】 2 【题型三 在数轴上表示不等式的解集】 2 【题型四 一元一次不等式的整数解】 3 【题型五 解含参数的一元一次不等式】 3 【题型六 解|x|≥a型的不等式】 3 【题型七 由一元一次方程解的取值范围求参数的取值范围】 5 【题型八 由二元一次方程组解的关系求参数的取值范围】 6 【题型九 一元一次不等式解的最值】 6 【题型十 一元一次不等式中的新定义问题】 7 【题型一 一元一次不等式的定义】 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 2．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【题型二 一元一次不等式的解集】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（） A．是不等式的解 B．不等式的解集是 C．不等式的解集是1 D．不等式的解集没有负数 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解不等式的过程如下： ①去分母，得； ②移项，得； ③合并同类项，得； ④两边都除以，得． 其中造成错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【题型三 在数轴上表示不等式的解集】 例题：（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【题型四 一元一次不等式的整数解】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解有 个． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式的负整数解是 ． 【题型五 解含参数的一元一次不等式】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解满足，求a的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型六 解|x|≥a型的不等式】 例题：（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【题型七 由一元一次方程解的取值范围求参数的取值范围】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为 ． （2）若，，则的取值范围为 ． 【题型八 由二元一次方程组解的关系求参数的取值范围】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x，y的方程组以下结论： ①存在实数，使得； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限． 其中正确结论的序号是 ． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知关于x，y的方程组下列四个结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②若，则； ③无论m取什么实数，的值始终不变； ④存在实数m使得． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【题型九 一元一次不等式解的最值】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 2．（21-22七年级上·广东广州·期末）已知，求的最大值和最小值． 【题型十 一元一次不等式中的新定义问题】 例题：（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）定义新运算：对于任意实数m、n都有，等式右边通常是加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 2．（2023·河北秦皇岛·一模）定义新运算：对于任意实数，，都有，等式右边是实数的减法及乘法运算．例如：． (1)计算：； (2)若的值小于1，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程． 解不等式． 解：去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 9．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 13．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 14．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次不等式 目录 【题型一 一元一次不等式的定义】 1 【题型二 一元一次不等式的解集】 2 【题型三 在数轴上表示不等式的解集】 4 【题型四 一元一次不等式的整数解】 5 【题型五 解含参数的一元一次不等式】 7 【题型六 解|x|≥a型的不等式】 8 【题型七 由一元一次方程解的取值范围求参数的取值范围】 13 【题型八 由二元一次方程组解的关系求参数的取值范围】 15 【题型九 一元一次不等式解的最值】 19 【题型十 一元一次不等式中的新定义问题】 20 【题型一 一元一次不等式的定义】 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 2．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出，解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型二 一元一次不等式的解集】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（） A．是不等式的解 B．不等式的解集是 C．不等式的解集是1 D．不等式的解集没有负数 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集．根据解不等式，再进行判断可得答案． 【详解】解：A．的解集是，所以是不等式的解，故A正确； B．不等式的解集是，故B错误； C．不等式的解集是，故C错误； D．不等式的解集是，所以不等式的解集包含负数，故D错误； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解不等式的过程如下： ①去分母，得； ②移项，得； ③合并同类项，得； ④两边都除以，得． 其中造成错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1逐一判断即可得出答案． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴出现错误的一步是第④步． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是按一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图①． 图① （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 不等式的解集为． 将解集表示在数轴上如图②． ； 【题型三 在数轴上表示不等式的解集】 例题：（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】 解：不等式的解集在数轴上表示为． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解，先移项，再合并同类项，根据不等式性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ∴， 解得， 在数轴上表示不等式的解集如下： ． 故选：A． 2．（2025·陕西·模拟预测）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式、数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解答的关键．先利用不等式的性质解得一元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得， ∴不等式的解集为； 将解集表示在数轴上，如图： 【题型四 一元一次不等式的整数解】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先分别求出不等式的解集，然后求其正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴正整数解为1，2，3，共3个， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的整数解；先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 则不等式的正整数解为、、、，共个， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式的负整数解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了求一元一次不等式的负整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【详解】解： 移项得， 系数化为1得， 故不等式的负整数解为，． 故答案为：，． 【题型五 解含参数的一元一次不等式】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．先求出方程的解，根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程，得． 因为关于x的一元一次方程的解满足， 所以 解得． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 【题型六 解|x|≥a型的不等式】 例题：（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【题型七 由一元一次方程解的取值范围求参数的取值范围】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于k的不等式是本题的一个难点．注意解一元一次不等式的方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于k的不等式，最后求出k的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， 关于的方程的解是非负数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为 ． （2）若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程与不等式，以及不等式的性质． ①先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， ②变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】解①：解关于x的方， 得 因为解为负数， 所以 解这个不等式，得 所以a的取值范围是； ② ∴， ， 故答案为：，． 【题型八 由二元一次方程组解的关系求参数的取值范围】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足，请化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式问题，解题的关键是根据一元一次不等式的解法解答． （1）先求出方程组的解为：，根据方程组的解也是方程的一个解，得出，求出a的值即可； （2）先根据得出，求出，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：方程组的解为：， ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴把，代入得，， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得： ∴． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x，y的方程组以下结论： ①存在实数，使得； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组在的应用，注意计算的准确性即可．，得：；则，即可判断①；当时，方程组为相加得，即可判断②；解方程组得，即可判断③；将方程组的每一组解都写成有序数对，则有序数对为，若这些点落在第三象限．则，即可判断④； 【详解】解：， 得：； 若，则； 解得：； ∴存在实数，使得；故①正确； 当时，方程组为 相加得，即方程组的解也是方程的解；故②错误； 解方程组得， ∴，即不论取什么实数，的值始终不变；故③正确； 由③得：若将方程组的每一组解都写成有序数对，则有序数对为； 若这些点落在第三象限．则， 该不等式组无解，即这些点不可能落在第三象限．故④正确； 故答案为：①③④ 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知关于x，y的方程组下列四个结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②若，则； ③无论m取什么实数，的值始终不变； ④存在实数m使得． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．①把m看作已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；②把与代入求出m的值，即可作出判断；③把与代入中计算得到结果，判断即可；④把与代入求出m的值，判断即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 当时，，， 把，代入得：， ∴当时，方程组的解也是方程的解，故①正确； 把，代入得， ， 解得：， ∴时，；故②错误； ， ∴无论m取什么实数，的值始终不变，故③正确； 当时，， 解得：， ∴存在实数m使得，故④错误； 综上分析可知：正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【题型九 一元一次不等式解的最值】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 2．（21-22七年级上·广东广州·期末）已知，求的最大值和最小值． 【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为． 【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案． 【详解】解：不等式的解是， 当时，化简得， ∴； 当时，化简得， ． 故当时， 的最大值是；当时，的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键． 【题型十 一元一次不等式中的新定义问题】 例题：（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）定义新运算：对于任意实数m、n都有，等式右边通常是加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变． 根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 2．（2023·河北秦皇岛·一模）定义新运算：对于任意实数，，都有，等式右边是实数的减法及乘法运算．例如：． (1)计算：； (2)若的值小于1，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】(1)8 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查定义新运算，理解新定义的运算法则是解答此题的关键． （1）根据新定义代入计算即可； （2）根据新定义列出不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：； （2）由题意得，解得． 在数轴上表示如图所示． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将两个方程相加，后建立不等式解答即可． 本题考查了解方程组，解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：两方程相加可得， ， ， ， 解得， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 表示在数轴上为： ． 故选：D． 3．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先由得，再结合“有5个自然数解”，则，即，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式有5个自然数解， ∴， 即， 则， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程． 解不等式． 解：去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可得到答案． 【详解】解：． 去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①， 故选：A 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【答案】0 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义和零指数幂，根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：0． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 9．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：由不等式得：， ∵由数轴可知， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去分母，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 13．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 14．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、一元一次不等式等知识点，熟练掌握方程组和不等式的解法是解题的关键． （1）先将两个方程相加可得，再结合建立关于m的不等式求解即可； （2）先解一元一次不等式求出，再根据最小整数解为2列关于a的不等式求解即可得． 【详解】解：（1）， 得， ∴． ∵， ∴， 解得． （2）解不等式，得． ∵不等式有最小整数解2， ∴， 解得：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法． （1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错， 故答案为：⑤； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$