专题06 三角形的证明全章复习（三大考点12种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题06 三角形的证明全章复习 目录 【题型一 含30°的直角三角形性质的应用】 2 【题型二 等腰三角形的性质与判定的综合】 2 【题型三 等边三角形的性质与判定】 3 【题型四 等腰（等边）三角形中的最值问题】 4 【题型五 直角三角形全等的判定】 5 【题型六 直角三角形的性质的应用】 6 【题型七 勾股定理与逆定理】 7 【题型八 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 8 【题型九 线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 9 【题型十 角平分线性质的应用】 10 【题型十一 角平分线判定的应用】 11 【题型十二 角平分线性质与判定的综合应用】 12 【题型一 含30°的直角三角形性质的应用】 例题：（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在中，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，是高，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型二 等腰三角形的性质与判定的综合】 例题：（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，在中，，E为上一点，连接，D为的中点，，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是等边的中线，作，交的延长线于点C．若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【题型三 等边三角形的性质与判定】 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，． (1)求证：是等边三角形． (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在等边三角形中，D为边的中点，交于点交于点F，若，则的长为 ． 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，B，C，E三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点M，与交于点 (1)求证：； (2)连接，求证： 【题型四 等腰（等边）三角形中的最值问题】 例题：（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在等边三角形中，是的中线，点E为的中点，，P是上一个动点，则的最小值是（） A． B．2 C． D．3 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，点是的中点，连接，分别是，上的动点，已知，则的最小值为 ． 【题型五 直角三角形全等的判定】 例题：（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是的中线，，于，于．求证：． 【题型六 直角三角形的性质的应用】 例题：（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，中，是斜边上的高，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，且，求的度数． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，，． (1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若的面积为3，求的长． 【题型七 勾股定理与逆定理】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型八 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 例题：（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，中，，，观察尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．10 D．12 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，的平分线交于点，作于点．若点恰好是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型九 线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分于，连接，交于点．    (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，中，，于点，，平分，点是边的中点，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【题型十 角平分线性质的应用】 例题：（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）的平分线上一点 ，到 的距离为，则到的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积为（   ） A．7 B．13 C．15 D．30 2．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 【题型十一 角平分线判定的应用】 例题：1．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在四边形中，，E为的中点，平分．    (1)求证：平分； (2)如图2，若将“”改为“”，其他条件不变．，，则________． 【题型十二 角平分线性质与判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在梯形中，，点为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求的度数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，分别是，边上的高，是与的交点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 4．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4或8 5．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰中，为底边高线，P、E分别为边上不与端点重合的动点，若的最小值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，的高与交于点O，若，则 ． 7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，平分交于点，．若，则的长是 ． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知中，，，平分，若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为 ． 10．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接，．求证：． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，求的度数． 14．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）综合与探究 如图，在钝角中，，边的垂直平分线m交于点D，交于点G，边的垂直平分线n交于点E，交于点H，直线m与直线n交于点O． (1)当时，求的度数． (2)当时，求的度数． (3)当为等腰三角形时，直接写出与之间的数量关系． 15．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，D是的中点，于点D，点O在的垂直平分线上． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形的证明全章复习 目录 【题型一 含30°的直角三角形性质的应用】 2 【题型二 等腰三角形的性质与判定的综合】 4 【题型三 等边三角形的性质与判定】 6 【题型四 等腰（等边）三角形中的最值问题】 10 【题型五 直角三角形全等的判定】 13 【题型六 直角三角形的性质的应用】 15 【题型七 勾股定理与逆定理】 17 【题型八 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 20 【题型九 线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 23 【题型十 角平分线性质的应用】 27 【题型十一 角平分线判定的应用】 29 【题型十二 角平分线性质与判定的综合应用】 33 【题型一 含30°的直角三角形性质的应用】 例题：（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在中，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，是高，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，含度角的直角三角形的性质，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据，得到，，进而求出，得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴，； ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【题型二 等腰三角形的性质与判定的综合】 例题：（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，在中，，E为上一点，连接，D为的中点，，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形的性质求出，由D为的中点，知，得，由直角三角形两锐角互余得，从而可得结论． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是等边的中线，作，交的延长线于点C．若，则的长为（   ） A．8 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等角对等边，由等边三角形的性质得出，，，求出，推出，进而求出的长即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点D、E、F分别在，，边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边对等角得到，利用“”证明，得到，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据，得到，然后利用三角形的外角性质推出，最后利用三角形内角和即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ，             ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 【题型三 等边三角形的性质与判定】 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，． (1)求证：是等边三角形． (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，再求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ． ，， ， ， 是等边三角形． （2）解：． 理由：由（1）得是等边三角形， ． ． ， ， ， ． D是边的中点， ． ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在等边三角形中，D为边的中点，交于点交于点F，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，易得为含30度角的直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵等边三角形中，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，B，C，E三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点M，与交于点 (1)求证：； (2)连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定： （1）根据等边三角形的性质证明； （2）先证明，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到内错角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即 在和中， ， ； （2）证明：如图， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ∴． 【题型四 等腰（等边）三角形中的最值问题】 例题：（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形中，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键． 由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于轴对称，连接交于点F，此时，取得最小值，进而，求出的度数，即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴点B和点C关于轴对称，， 连接交于点F，连接，则， ∴，即：此时取得最小值， ∵等边的边长为8，， ∴E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故答案是：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在等边三角形中，是的中线，点E为的中点，，P是上一个动点，则的最小值是（） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，两点之间线段最短，能够将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，，可推出的最小值为的长，再根据等边三角形的性质，可得，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 在等边三角形中，是的中线， 所在的直线是等边三角形的对称轴， ， ， 的最小值为的长， 点为的中点， 也是等边三角形的中线， ， 的最小值是2． 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，点是的中点，连接，分别是，上的动点，已知，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】由三线合一得到平分，将关于对称至，则点落在线段上，过C作于点F，故，再利用30度角直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴平分， 将关于对称至，则点落在线段上，过C作于点F， M，N分别是上的动点， ∴最小值为垂线段的值， ， ，， 则， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，含30度角直角三角形的性质，轴对称的性质，将转化为垂线段是解题的关键． 【题型五 直角三角形全等的判定】 例题：（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴要根据“”证明，还应添加一个条件是， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型六 直角三角形的性质的应用】 例题：（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，中，是斜边上的高，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，在中，是斜边上的高，可以得到，由此可以推出，然后利用所对的直角边等于斜边的一半分别求出，． 【详解】解：在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的高的定义，熟练掌握三角形的高和角平分线的定义是解题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的高的定义可得，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是的角平分线， ， ， 是的高， ， ． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，，． (1)试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若的面积为3，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定； （1）根据勾股定理的判定，证明是直角三角形，即可得证； （2）根据三角形的面积求出，再根据勾股定理的性质即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：， ， ， ． 【题型七 勾股定理与逆定理】 例题：（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【题型八 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 例题：（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，中，，，观察尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据线段垂直平分线的性质，得到，再结合已知及三角形周长公式解题即可． 【详解】解：如图，垂直平分， ， ， 又， 的周长， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，的平分线交于点，作于点．若点恰好是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，根据题意，易得垂直平分，进而得到，角平分线得到，进而得到，根据直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可． 【详解】解：∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵为上的动点， ∴当时，最小， 此时：， ∵ ∴， ∴的最小值为8； 故选：C． 【题型九 线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据尺规作圆可判定①；根据尺规作垂直平分线可判定②；根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理平角的性质可判定③；根据线段的等量关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连结， ∵以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，两直线恰好经过点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确； 由②正确可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，故③错误； ∵，， ∴在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 【点睛】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，尺规作图的知识，数形结合分析思想是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分于，连接，交于点．    (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形： （1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线判定定理即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵在中，平分，则， ∴， 在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 2．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，中，，于点，，平分，点是边的中点，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）根据，平分，可得，，进而可得，证明，根据全等三角形的性质可得，根据，即可得证； （2）由点是边的中点，得到垂直平分，即，由，得，结合，即可判断出的形状． 【详解】（1）证明： ，平分， ， ， ， 在和中， ， ； ， 又， ； （2）为等腰直角三角形． 点是边的中点， 垂直平分， ， ， ，， ， 又， 为等腰直角三角形； 【题型十 角平分线性质的应用】 例题：（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）的平分线上一点 ，到 的距离为，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，点到的距离与点到的距离相等，则点到的距离为． 【详解】解：∵的平分线上一点，到的距离为， ∴到的距离等于点到的距离，为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积为（   ） A．7 B．13 C．15 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出边上的高是解题的关键． 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， 的面积， 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，过点作于点，于点，利用，由可证，由全等的性质可得结论． 【详解】解：过点作于点，于点，   是平分线上的一点， ， ， ， ， ， ． 【题型十一 角平分线判定的应用】 例题：1．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】证明：是的中点， ， ，， ， 在和中，   ， ， 平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解题的关键． ，，结合，得，得．根据，，即得平分． 【详解】证明：∵于点F，于点E， ， 在和中， ， ， ． 又于点F，于点E， 平分． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在四边形中，，E为的中点，平分．    (1)求证：平分； (2)如图2，若将“”改为“”，其他条件不变．，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作于点F，则，证明，得，则平分； （2）延长交于点H，由，得，则，所以，再证明，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：如图1，作于点F，则，    ∵， ∴，， ∵E为的中点，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，延长交于点H，    ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【题型十二 角平分线性质与判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在梯形中，，点为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． （1）作垂足为M，先根据角平分线性质定理得到，再等量代换，根据角平分线判定即可证明； （2）证明和即可． 【详解】（1）证明：作垂足为M，如图所示：    ∵平分，，， ∴， ∵点E为的中点 ∵， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 即． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质． （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， 平分； （2）解：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，，点D到的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及点到直线的距离，，则是的角平分线，根据角平分线的性质即可求出，然后进一步求得． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，点D到的距离为， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，分别是，边上的高，是与的交点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角 形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，，是等腰直角三角形，由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B ． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：B 4．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4或8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况求解后利用三角形的三边关系验证；解题的关键是分类讨论． 【详解】解：当时，，不能构成三角形，不合题意； 当时，，能构成等腰三角形； 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，等腰中，为底边高线，P、E分别为边上不与端点重合的动点，若的最小值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，为底边高线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵为上的动点， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴，的最小值为4； 故选B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，的高与交于点O，若，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用直角三角形两个锐角互余求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：和是的高， ， 在中，，， ， ； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，平分交于点，．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理是解题的关键． 根据得到，进而得出，得到，根据三角形内角和定理得出，得到． 【详解】解：， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知中，，，平分，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，，结合，从而推出，然后由角平分线的性质可知，得到，，从而证明，最后由，得到，即可得到答案． 【详解】解： ， 平分 ， 又 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，利用性质将线段进行等量代换是解题的关键．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：∵等腰的周长为20，底边， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：13． 10．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据角平分线的定义得到，设，表示出和，再利用三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 是的角平分线， ， 设，则，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：58． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)50° (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是利用等腰三角形三线合一性质以及全等三角形的判定条件来求解． （1）先根据平行线性质求度数，再由等腰三角形三线合一求； （2）根据及得到，再结合平行线性质找全等条件； （3）利用全等三角形性质得到，进而证明． 【详解】（1）且， ， 又， 等腰中， 又， 在中； （2）且， 根据等腰三角形“三线合一”可得， 又在与中， ， ； （3）由（2）可得， ， 又且， ． 12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，由已知可得，，，即可证，可证明，得到． 【详解】证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】是角平分线，， ， 是高， ， ， ， 14．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）综合与探究 如图，在钝角中，，边的垂直平分线m交于点D，交于点G，边的垂直平分线n交于点E，交于点H，直线m与直线n交于点O． (1)当时，求的度数． (2)当时，求的度数． (3)当为等腰三角形时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及三角形形内外角相关性质和等腰三角形相关，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得出和，进一步利用内角和即可求出的度数； （2）利用等量代换得出，进一步得出的角度即可求解； （3）对为等腰三角形的情况进行分类讨论，注意每一种情况得出的不同的结论． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ，则， 是的垂直平分线， ，则． ， ， ， ． （2），且，， ， ， , ． （3）①当，则， ∵, ， ∴； ②当，则， ③当，则， 综上，或或． 15．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，D是的中点，于点D，点O在的垂直平分线上． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由“是的中点，于点D”可知，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，然后由等腰三角形的定义即可得出结论； （2）由（1）可得，，由等边对等角可得，，，进而可得，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，即，由此即可求出的度数． 【详解】（1）证明：是的中点，于点D， 垂直平分， ， 点O在的垂直平分线上， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）可得：，， ，，， ， ， ， ， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，等腰三角形的定义，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等边对等角是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$