专题09 一元一次不等式组（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题09 一元一次不等式组 目录 【题型一 一元一次不等式组的定义】 1 【题型二 求不等式组的解集】 2 【题型三 求一元一次不等式组的整数解】 4 【题型四 由一元一次不等式组的解集求参数】 5 【题型五 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】 7 【题型六 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】 8 【题型七 方程与一元一次不等式组的综合应用】 10 【题型八 根据程序框图列不等式组求解】 12 【题型九 与不等式组有关的新定义问题】 14 【题型十 解特殊不等式组】 17 【题型一 一元一次不等式组的定义】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 2．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【题型二 求不等式组的解集】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，在数轴上表示出不等式组的求解，先分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下图： ， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）解不等式组：． 【答案】 【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取公共部分即可得到答案． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，的． ∴原不等式组的解集为 【题型三 求一元一次不等式组的整数解】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）解不等式组： 并写出其整数解 【答案】，整数解为：，0，1 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求出整数解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为：，0，1． 2．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解决此题的关键． 【详解】解：解不等式得，, 解不等式得，, ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：,即不等式组有个整数解， 故选：． 【题型四 由一元一次不等式组的解集求参数】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集是，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式解得情况求参数，解一元一次方程，求解不等式的解集为，根据题意可得，求出结果即可． 【详解】解：解不等式，得． 因为关于x的不等式的解集是， 所以， 解得． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 得，即． ，． ，． ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，代数式求值，关键是正确计算出两个不等式的解集．首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ，， 解得：， ， 故答案为：3． 【题型五 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为0、1、2， ∴， 解得， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 【题型六 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）若不等式组 有解，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集， 再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解，再根据已知得出答案即可． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 又∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 【题型七 方程与一元一次不等式组的综合应用】 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 【题型八 根据程序框图列不等式组求解】 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算与程序图，一元一次不等式组的运用，理解程序图的计算方法，掌握有理数的混合运算法则，一元一次不等式组的计算方法是解题的关键． 根据题意，第一次计算为，第二次计算为，由此联立不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 由①得，， 由②得，， ∴的取值范围是， 故选：A ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 满足条件的的最大整数值为， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 【答案】 77 4 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次不等式组的应用； （1）根据程序运行规则，将，，代入，进行计算即可求解； （2）根据运算进行了3次才停止，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1）当，， ， 继续计算：，输出； 故答案为：77． （2）依题意， 解得： ∴m可取的最大整数为4， 故答案为：4． 【题型九 与不等式组有关的新定义问题】 例题：（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川泸州·期末）阅读运用： 对x，y定义一种新运算，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：，已知，． (1)求a，b的值； (2)求； (3)若关于m的不等式组恰有2个整数解，求实数p的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； （2）根据新定义计算即可； （3）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出不等式组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数p的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，； （3）解：由题意得，， 解得， ∵原不等式组有2个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查本题考查新定义、由不等式组解的情况求参数、解二元一次方程组，理解新运算是解题的关键． 【题型十 解特殊不等式组】 例题：（22-23七年级下·安徽合肥·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解： 由得： 解得： 将代入得： ∴方程组的解为： ∵方程组的解都为正数 ∴ 解得： （2）解：∵，且 ∴， ∵ ∴ ∵，且 ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了列出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：解不等式，得． 又因为且不等式组无解， 所以， 解得． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若代数式的值是一个小于12的非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵代数式的值是一个小于12的非负数， ∴且， 解得， 解得， 解得． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．本题分别求出各个不等式的解集，即可写出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上如下： ， 故选：D 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（   ） A． B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，进而确定出非正整数，再相乘计算即可． 【详解】解：不等式组整理得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 则非正整数，，0， 所有满足条件的的积为， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：2． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若关于的不等式可化为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式可化为， ， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， 关于的方程组的解为整数， ，解得：， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查程序流程图与不等式，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∵为整数， ∴； 故答案为：4． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】(1)所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4 (2)所有符合条件的整数a的和为15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况可得关于的方程，解方程即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键． （1）分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可； （2）分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 解集表示在数轴上如图． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 解集表示在数轴上如图． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一元一次不等式组 目录 【题型一 一元一次不等式组的定义】 1 【题型二 求不等式组的解集】 2 【题型三 求一元一次不等式组的整数解】 2 【题型四 由一元一次不等式组的解集求参数】 2 【题型五 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】 3 【题型六 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】 3 【题型七 方程与一元一次不等式组的综合应用】 4 【题型八 根据程序框图列不等式组求解】 4 【题型九 与不等式组有关的新定义问题】 5 【题型十 解特殊不等式组】 5 【题型一 一元一次不等式组的定义】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【题型二 求不等式组的解集】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）解不等式组： 2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）解不等式组：． 【题型三 求一元一次不等式组的整数解】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的最小整数解是 ． 【变式训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）解不等式组： 并写出其整数解 2．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型四 由一元一次不等式组的解集求参数】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集是，求m的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集是，则 ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【题型五 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【题型六 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）若不等式组 有解，则a 的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【题型七 方程与一元一次不等式组的综合应用】 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型八 根据程序框图列不等式组求解】 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    2．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 【题型九 与不等式组有关的新定义问题】 例题：（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川泸州·期末）阅读运用： 对x，y定义一种新运算，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：，已知，． (1)求a，b的值； (2)求； (3)若关于m的不等式组恰有2个整数解，求实数p的取值范围． 【题型十 解特殊不等式组】 例题：（22-23七年级下·安徽合肥·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【变式训练】 1．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若代数式的值是一个小于12的非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（   ） A． B．2 C．0 D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，则的立方根为 ． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若关于的不等式可化为，则的取值范围是 ． 8．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$