精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高一下学期开年摸底大联考数学试题

2024—2025学年度高一开年摸底大联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数．则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. .3 7. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 8. 近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一，现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（ ） A 1秒 B. 10秒 C. 20秒 D. 50秒 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若是第三象限角，则在第三象限 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若角的终边过点，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 无零点 D. 在上单调递增 11. 设函数的定义域为，使得成立，则称为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 14. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求函数单调递增区间； （2）若，且，求的值． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性并用定义进行证明； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数在区间上单调递减，且直线和为函数的图象的两条对称轴． （1）求的一个解析式； （2）将图象先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19 已知函数（，且）． （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，均有，求的最大值； （3）若对任意，均有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高一开年摸底大联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的特点即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2. 已知，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式性质判断A，由幂函数的单调性判断B；应用作差法比较大小判断C、D. 【详解】由，则，A对； 又在上单调递增，则，B对； ， 显然，，，，则，C错； ，则，D对. 故选：C 3. 已知函数．则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数，若，解可得， 将代入，可得， 故选：． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用差角正切公式求值即可. 【详解】. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的性质比较大小关系，即可得答案. 【详解】由，即. 故选：C 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. .3 【答案】C 【解析】 【分析】计算得即可得到. 【详解】因为，， 设， 则，解得. 故选：C． 7. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象经过点，得到，再结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】函数的图象经过点， 则，即， 又，. 当且仅当时取等号， 即时取等号. 故选：D. 8. 近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一，现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（ ） A. 1秒 B. 10秒 C. 20秒 D. 50秒 【答案】B 【解析】 【分析】设生成这个文案需要的时间约为秒，则，应用指对数关系及对数运算求. 【详解】设生成这个文案需要的时间约为秒，则，两边取对数得， 所以秒. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若是第三象限角，则在第三象限 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若角的终边过点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用全称命题的否定写出原命题的否定判断A；由角所在的象限判断对应函数值符号，再应用诱导公式得点坐标为判断B；应用扇形弧长、面积公式求扇形圆心角判断C；根据正弦函数的定义求，注意参数的符号判断D. 【详解】A：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，对； B：由是第三象限角，则， 又，可得在第二象限，错； C：设扇形的半径为，弧长为，则，可得或， 当，则圆心角的弧度数为；当，则圆心角的弧度数为（舍）， 所以扇形的圆心角（正角）的弧度数为，对； D：角的终边过点，则， 显然为正数或负数时，对应函数值符号不同，则，错. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 无零点 D. 在上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】由已知有且定义域为，结合对数复合函数的单调性判断函数的区间单调性，进而判断函数值的大小，由对数性质求零点判断各项的正误. 【详解】由，且定义域为， 所以的图象关于直线对称，A对； 当时，在上单调递减，D错； 当时，在上单调递增， 又，B对； 显然，C错； 故选：AB 11. 设函数的定义域为，使得成立，则称为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意有的值域关于原点对称，结合指数、对数、分式型函数及分段函数性质判断各函数的值域是否关于原点对称即可. 【详解】函数的定义域为，使得成立， 所以的值域关于原点对称，即为“美丽函数”， A：的值域为，不关于原点对称，不符合； B：的值域为，关于原点对称，符合； C：的值域为，不关于原点对称，不符合； D：，则时值域为，时值域为， 所以函数的值域为，关于原点对称，符合. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，代入所求式子可得答案. 【详解】若，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合分析解的个数，再由二次函数性质分析根的分布，并列不等式求参数范围. 【详解】根据可得如下函数草图， 令，结合以上函数图象， 时，有一个解； 或时，有两个解； 时，有三个解； 而有两个不同零点（）且，， 由共有5个零点，则有或， 当时，，且满足题设； 当时，，可得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意上不等式恒成立，即，即可求参数范围； （2）若为真命题，有在上能成立，即求出参数范围，再由和中有且只有一个为真命题确定参数范围. 【小问1详解】 由题意，上不等式恒成立，即， 由一次函数的区间单调性知，，故， 所以，可得. 【小问2详解】 若真命题，则在上能成立，即， 由二次函数的性质知，，故， 要使和中有且只有一个为真命题，结合（1）知：或. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式化简函数式，再应用整体法求函数的单调区间； （2）根据已知可得且，进而求得，由及差角正弦公式求. 小问1详解】 ， 由，则，结合正弦函数的性质， 时，在上单调递增， 时，上单调递减， 所以的递增区间为； 【小问2详解】 由题意，且，即， 所以，则，而， 所以. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性并用定义进行证明； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析： （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义即可求出答案； （2）利用函数的单调性证明即可求解； （3）根据函数性质进行变形理解即可得解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且为奇函数， 所以，解得． 此时，所以为奇函数， 所以符合题意． 【小问2详解】 是R上是单调递增函数. 证明：由题知，设， 则， ∵，∴，， ∴，即， 所以在R上是单调递增函数． 【小问3详解】 因为是R上的奇函数且为严格增函数， 所以由， 可得， 即对一切恒成立． 令，， 设，所以， 即，解得． 18. 已知函数在区间上单调递减，且直线和为函数的图象的两条对称轴． （1）求的一个解析式； （2）将的图象先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有且，求出参数，即可写出一个符合要求的解析式； （2）由（1）所得解析式，结合图象平移得，则有在上恒成立，令并应用辅助角公式化简求出值域，进一步把问题化为上恒成立，确定右侧最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题意，则，所以， 显然，则，可得， 所以是满足题设的一个解析式. 【小问2详解】 根据（1）所得解析式，图象先向右平移个单位长度有， 再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，则， 所以，即， 故， 令，且，则， 所以，且， 综上，上恒成立， 由在上单调递减，则， 所以. 19. 已知函数（，且）． （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，均有，求的最大值； （3）若对任意，均有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）令，问题化为求的最大值，应用二次函数的性质求区间上的最值即可； （2）应用指对数关系，将问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最小值，即可得参数范围； （3）令且，均有，讨论、，分别研究上恒成立、上恒成立，结合二次函数性质求最值，进而求参数范围. 【小问1详解】 由题设，令，则， 所以，当，即时，最大值为； 【小问2详解】 由题意，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 由，， 当且仅当时取等号，即最小值为4， 所以，故最大值为4； 【小问3详解】 令且，均有， 对于开口向下，且对称轴为， 当时，则上恒成立， 若，即时，上单调递减， 所以，，满足题设； 若，即时，显然，即， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以，，此时； 综上，时满足题设； 当时，则上恒成立， 显然，故在上单调递减， 所以，，此时； 综上所述，或. 【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用换元法，将问题化为二次函数的区间值域是的子集求参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $