黄金卷05（辽宁专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷05 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B B D D B A B D 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11． 12． 13． 14． 15．2或或4 三、解答题：（本大题共8题，第16题10分，第17-21每题8分，第22题12分，第23题13分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（1）解：；（5分） （2）解： ．（10分） 17．解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量， 则． 答：该份早餐中蛋白质总含量为；（2分） 任务二：设该早餐中牛奶，谷物， 列方程组得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物；（5分） 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐， 根据题意得：． 解得： 或， 当时，；当时，． 答：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天．（8分） 18．（1）9，8（2分） （2）解∶ 丙同学的面试成绩（分）， 答∶丙同学的面试成绩为83分；（4分） （3）乙 （6分） （4）乙 （8分） 19．（1）（2分） （2）设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元；（5分） ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元．（8分） 20．（1）解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：根据题意得四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴．（8分） 21．（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， 又是半径， 是的切线；（4分） （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ，， ， ， ， ， （8分） 22．（1）在线段上取点，使，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即为中点；（4分） （2）如图所示，在上取一点，使得，    ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；（8分） （3）如图所示，在上取一点，使得，作于点，    设，则，，， 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 则，， 由， 得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴．（12分） 23．（1）①或；（2分） ②设， 轴，，， 点B的坐标， 点B在图象上， ， 解得：； 当时，，此时； 当时，，此时； 点A的坐标为或；（5分） （2）解：①，，轴， ； 经过A，C两点， ，解得：， ； ， 顶点坐标为； ∵抛物线与矩形有且仅有两个交点， 或， 解得：或；（9分） ②由（2）①知，， 当时，；当时，； 下面分四种情况考虑： （一）当，即时， 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （二）当，即，且时， 当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （三）当，即时， 当时，函数值在顶点取得最小值， 若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； （四）若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； 综上，m的值为或．（13分） 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料. 如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．跨学科试题·地理下表是世界五大洲的最低点及其海拔高度，海拔最低的是（    ） 世界五大洲的最低点 亚洲死海 欧洲里海 非洲阿萨尔湖 大洋洲北艾尔湖 美洲死谷海 海拔/m A．美洲死谷海 B．大洋洲北艾尔湖 C．亚洲死海 D．非洲阿萨尔湖 3．求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场．（标准航程型）最大起飞质量72500，72500用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4． 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为（    ） A． B． C． D． 7．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（    ） A．（2，2） B．（2，） C．（，2） D．（+1，） 10．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，连接与对角线交于点O，且，，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．6 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．已知，将线段平移至，若，则的值是 ． 12．对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中较小的值，如，按照这个规定，方程的解为 ． 13．如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是 ． 14．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图所示，该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为 ． 15．如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ． 三、解答题：（本大题共8题，第16题10分，第17-21每题8分，第22题12分，第23题13分，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. (1)计算． (2)化简：． 17．根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 18．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： (1)____________； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）． 19．综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 20．在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． (1)在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角 的正弦值和折射角的度数； (2)光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 21．如图，在中，，点D在边上，且，是的外接圆，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．问题背景 (1)如图1，线段，交于点，，，且． 求证：为中点． 为了完成上述证明，我们可以在线段上取点，使，请同学们参考以上方法，完成作图，并写出证明过程． 尝试应用： (2)如图2，平行四边形中，，，点在边上，点是延长线上的一点，连接与交于点，当时，求的值； 类比拓展： (3)如图3，菱形中，，点在边上，点是延长线上一点，且满足，连接与交于点，，直接写出的值．用含的式子表示 23．若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． (1)如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． (2)若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1．“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料. 如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 2．跨学科试题·地理下表是世界五大洲的最低点及其海拔高度，海拔最低的是（    ） 世界五大洲的最低点 亚洲死海 欧洲里海 非洲阿萨尔湖 大洋洲北艾尔湖 美洲死谷海 海拔/m A．美洲死谷海 B．大洋洲北艾尔湖 C．亚洲死海 D．非洲阿萨尔湖 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：因为， 所以， 所以海拔最低的是亚洲死海 故选C． 3．求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场．（标准航程型）最大起飞质量72500，72500用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4． 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 5．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不成立，不符合题意； B、，则此项不成立，不符合题意； C、，没有意义，则此项不成立，不符合题意； D、，则此项成立，符合题意； 故选：D． 6．高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法或树状图法求解析式，根据题意画出树状图，找到所有组合及需要组合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， 总共有：种组合，需要的有2种， ∴， 故选：D． 7．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意； C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意； D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：B． 8．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（    ） A．（2，2） B．（2，） C．（，2） D．（+1，） 【答案】B 【分析】连接DB，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则DA＝DB，再根据菱形的性质得到AD∥BC，AD＝AB，则可判断△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝∠ABO＝60°，然后计算出AD＝2，从而得到D点坐标． 【详解】连接DB，如图， 由作法得EF垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB， ∴AD＝AB＝DB， ∴△ADB为等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∴∠ABO＝60°， ∵A（0，）， ∴OA＝， ∴OB＝OA＝1，AB＝2OB＝2， ∴AD＝AB＝2， 而AD平行x轴， ∴D（2，）． 故选B． 10．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，连接与对角线交于点O，且，，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证明，，再证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   在中， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．已知，将线段平移至，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标中点的平移的问题，负整数指数幂，根据平移的性质求出，的值，再代入求值即可． 【详解】∵，将线段平移至若， ∴平移后横坐标减，纵坐标加， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 12．对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中较小的值，如，按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，实数大小比较，实数的运算，分两种情况：当时，；当时，；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； 当时，， ， ， ， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述：方程的解为， 故答案为：． 13．如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，由平分，得到，推出，由，可得，得到，再由，得到， 求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图所示，该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，当电流为时，变阻器消耗的电功率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和代入求值，用待定系数法求抛物线的解析式是解答本题的关键． 先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求当时的值，即可解答． 【详解】解：图像是经过原点的一条抛物线的一部分， 设抛物线解析式为， 把，代入，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 当时，， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ． 【答案】2或或4 【分析】判断得出点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，而是定长， ∴点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图， ∵， ∴于点E， ∴； 当点F在边上时，有两种情况， 当E、F在如图的的位置时，作， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 当E、F在如图的的位置时（与A重合）， ∴； 若F在边上时，此时对应的E点不在上，此情况不存在， 综上，的长为1或或4． 故答案为：2或或4． 三、解答题 16. (1)计算． (2)化简：． 【答案】(1) ；(2) ． 【分析】（1）本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幂，立方根，零次幂的计算是解题的关键．先算负指数幂，绝对值，立方根，零次幂，再根据实数的混合运算法则计算即可；（2）本题主要考查分式的混合运算，熟练分式的混合运算顺序和方法是解答的关键． 原括号内先通分并用同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式进行化简，最后利用除法法则变形，最后约分即可． 【详解】解：（1）解： ；       （2）解： ． 17．根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 【答案】任务一：；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列方程组和不等式组是解题关键． 任务一：根据题意得到谷物、牛奶以及鸡蛋中每的蛋白质含量，即可得到答案； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物，根据“早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的”列二元一次方程组求解即可； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐，根据“在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过”列一元一次不等式组，取整数解即可． 【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量， 则． 答：该份早餐中蛋白质总含量为； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物， 列方程组得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐， 根据题意得：． 解得： 或， 当时，；当时，． 答：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 18．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回答下列问题： (1)____________； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】(1)9，8 (2)丙同学的面试成绩为83分 (3)乙 (4)乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． (1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值； (2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分； (3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可得出结论． 【详解】（1）解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 其中8出现次数最多，故众数． 故答案为：9，8； （2）解∶ 丙同学的面试成绩（分）， 答∶丙同学的面试成绩为83分； （3）解∶乙的平均得分为（分）， 乙的方差为，，可知，乙的得分的波动比甲和丙小， 所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为∶乙． （4）解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)， 乙的综合成绩为∶ (分)， 丙的综合成绩为∶ (分)， ． 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为∶乙． 19．综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【详解】（1）解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； （2）设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 20．在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． (1)在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角 的正弦值和折射角的度数； (2)光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据折射率可求，即可求解； （2）根据（1）中，可得出，根据，先求出，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【详解】（1）解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，，点D在边上，且，是的外接圆，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角，解直角三角形，相似三角形判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）由等边对等角的性质，得出，再结合同弧所对的圆周角相等，得到，然后根据直径所对的圆周角是直角以及三角形内角和定理，得出，即可证明结论； （2）过点作于点，先解直角三角形，得到，，设，利用勾股定理列方程，求出，证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ，， ， ， ， ， 22．问题背景 (1)如图1，线段，交于点，，，且． 求证：为中点． 为了完成上述证明，我们可以在线段上取点，使，请同学们参考以上方法，完成作图，并写出证明过程． 尝试应用： (2)如图2，平行四边形中，，，点在边上，点是延长线上的一点，连接与交于点，当时，求的值； 类比拓展： (3)如图3，菱形中，，点在边上，点是延长线上一点，且满足，连接与交于点，，直接写出的值．用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）（3） 【分析】（1）在线段上取点，使，证明得出，即为中点； （2）如图所示，在上取一点，使得，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）如图所示，在上取一点，使得，作于点，证明，可得，，根据，得出，解得，进而表示出，根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）在线段上取点，使，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即为中点； （2）如图所示，在上取一点，使得，    ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，在上取一点，使得，作于点，    设，则，，， 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 则，， 由， 得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质于判定，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，求一个角的余弦，正确的添加辅助线解题的关键． 23．若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． (1)如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． (2)若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 【答案】(1)①或；②或 (2)①或；②m的值为或 【分析】（1）①分两种情况：一次函数经过A、C两点时；一次函数经过B、D两点时；分别利用待定系数法即可求解； ②设，则可得点B的坐标，由点B在图象上，可求得t的值，进而求得点A的坐标； （2）①由待定系数法求出抛物线的解析式，并求出其顶点坐标，由题意得两个不等式组：或，解不等式组即可； ②分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，轴，，， ； 当一次函数经过A、C两点时， ，解得：， ； 同理，当一次函数经过B、D两点时，； 故答案为：或； ②设， 轴，，， 点B的坐标， 点B在图象上， ， 解得：； 当时，，此时； 当时，，此时； 点A的坐标为或； （2）解：①，，轴， ； 经过A，C两点， ，解得：， ； ， 顶点坐标为； ∵抛物线与矩形有且仅有两个交点， 或， 解得：或； ②由（2）①知，， 当时，；当时，； 下面分四种情况考虑： （一）当，即时， 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （二）当，即，且时， 当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （三）当，即时， 当时，函数值在顶点取得最小值， 若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； （四）若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； 综上，m的值为或． 【点睛】本题是三种函数的综合，考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，涉及分类讨论思想的运用． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$