江苏省徐州市联考2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省徐州市联考九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的周长比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 2．（3分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2） 4．（3分）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 5．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．23﹣23（1﹣x）2＝16 D．23（1﹣2x）＝16 6．（3分）已知线段AB，且AB＜6，则经过A，B两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（3分）某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁2，若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是（　　） A．平均数不变，方差改变 B．平均数不变，方差不变 C．平均数改变，方差不变 D．平均数改变，方差改变 8．（3分）小徐说：若要二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），可有4个方法： ①向右平移2个单位长度 ②向下平移4个单位长度 ③向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 其中正确的方法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9．（4分）二次函数y＝﹣2x2的图象的开口向　 　． 10．（4分）在比例尺为1：50000的徐州交通旅游图上，新元大道的长约为8cm，它的实际长度约为　 　km． 11．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有实数根，则实数c的取值范围是　 　． 12．（4分）圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为　 　m． 13．（4分）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　． 14．（4分）如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为 （﹣1，0），则点C的坐标为 　 　． 15．（4分）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，若OA＝AA'，S△ABC＝8，则S△A'B'C'＝　 　． 16．（4分）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B在⊙O上，∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是　 　． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 18．（10分）某校组织九年级学生参加“掷实心球”测试，从中随机抽取10名学生的成绩，统计如下： 分数 7 8 9 10 人数 1 2 5 a 请根据上表，解决下列问题： （1）填空：a＝ 　 　； （2）这10名学生掷实心球成绩的众数是 　 　； （3）若该校九年级共600名学生，估计其中成绩为9分的有多少人． 19．（8分）徐州有着丰富的旅游资源，近年逐渐成为国内热门旅游城市．甲、乙两人分别从云龙山、博物馆、回龙窝这三个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，请用列表或画树状图的方法，求两人选择同一景点的概率． 20．（10分）如图，利用135°的墙角BAD修建一个梯形ABCD的储料场，已知新建墙BCD的总长为18m，∠C＝90°．设DC的长为x m，储料场的面积为y m2． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当DC取何值时，储料场的面积为30m2？ （3）该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE与AB交于点F，OD⊥AB，点 的延长线上． （1）若CF＝CE，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AF＝4，，求⊙O的半径． 22．（8分）如图，监控摄像头D固定在AB与BC构成的支架上，AB＝3m，BD＝1m，∠ABC＝120°．若该摄像头的可视角∠GDF＝50°，DE为∠GDF的平分线，当DE⊥BC时，求摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离．（精确到0.1米） 参考数据：tan25°≈0.47，sin25°≈0.42，cos25°≈0.9，tan35°≈0.70，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线． （1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由； （2）求的值． 24．（10分）分别按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC的外接圆； （2）如图2，在方格纸中，⊙P经过格点M，N，用无刻度的直尺确定圆心P的位置； （3）如图3，△ABC的顶点A、B在⊙O上，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，用无刻度的直尺画⊙O的内接三角形ADE，使△ADE与△ABC相似． 25．（12分）如图，二次函数y＝x2﹣5x+2的图象与y轴交于点A，点B在x轴的正半轴上，以AB为边在第一象限作矩形ABCD．（1）点A的坐标为 　 　； （2）若点C在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为2：1，求点B的坐标； （3）若矩形ABCD的面积为10，则OD的最大值是 　 　． 2024-2025学年江苏省徐州市联考九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A D B C C D 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的周长比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4， ∴这两个三角形的周长比是1：4， 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 2．（3分）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】用b表示a，代入求解即可． 【解答】解：∵＝， ∴a＝b， 即＝＝． 故选：A． 【点评】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握． 3．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2） 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴， ∴若图象经过点P（﹣2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 4．（3分）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【分析】用球的总个数乘以摸到红球频率的稳定值即可． 【解答】解：根据题意，袋中红球的个数约为60×0.25＝15（个）， 故选：D． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．23﹣23（1﹣x）2＝16 D．23（1﹣2x）＝16 【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴23（1﹣x）2＝16． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键． 6．（3分）已知线段AB，且AB＜6，则经过A，B两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据确定圆的条件判断即可． 【解答】解：作线段AB的垂直平分线， 以点A为圆心，3为半径作弧， ∵AB＜6， ∴弧与线段AB的垂直平分线有两个交点， ∴经过A，B两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握圆的概念是解题的关键． 7．（3分）某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁2，若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是（　　） A．平均数不变，方差改变 B．平均数不变，方差不变 C．平均数改变，方差不变 D．平均数改变，方差改变 【分析】根据平均数的定义和方差的意义计算判断． 【解答】解：两年后该足球队队员不变，队员前后年龄的平均数变大，但数据的波动性没有变化，所以方差不变． 故选：C． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了算术平均数． 8．（3分）小徐说：若要二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0），可有4个方法： ①向右平移2个单位长度 ②向下平移4个单位长度 ③向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 其中正确的方法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数图象的平移法则，逐项分析判断即可． 【解答】解：①若要二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； ②若要二次函数y＝x2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； ③若要二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； ④若要二次函数y＝x2的图象沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，平移后的图象过（2，0），正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移法则是关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9．（4分）二次函数y＝﹣2x2的图象的开口向　下　． 【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，根据这一性质直接判断． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2，a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， 故本题答案为：下． 【点评】本题考查了抛物线的开口方向的性质，抛物线的开口方向只与解析式的二次项系数符号有关． 10．（4分）在比例尺为1：50000的徐州交通旅游图上，新元大道的长约为8cm，它的实际长度约为　4　km． 【分析】根据“比例尺＝图上距离与实际距离的比”，进而得出答案． 【解答】解：8÷＝400000（cm）， 400000cm＝4km． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查比例尺，熟练掌握比例尺公式是解题的关键． 11．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有实数根，则实数c的取值范围是　c≤1　． 【分析】一元二次方程有实数根，说明根的判别式大于等于0．由此即可解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（﹣2）2﹣4×1•c≥0， 解得c≤1． 故答案为：c≤1． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是掌握根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．（4分）圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为　6　m． 【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可． 【解答】解：设母线长为x，根据题意得 2πx÷2＝2π×3， 解得x＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点． 13．（4分）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　130°　． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵∠BOD＝100° ∴∠A＝50° ∠BCD＝180°﹣∠A＝130° 故答案为：130°． 【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 14．（4分）如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为 （﹣1，0），则点C的坐标为 　（，﹣）　． 【分析】先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交y轴于G，那么∠GOE＝30°；在Rt△GOE中，则GE＝，OG＝．即可求得E的坐标，和E关于y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出． 【解答】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形可知： 在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝2． ∴GE＝，OG＝． ∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣），D（1，0），E（，），F（﹣，）． 故答案为：（，﹣）． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 15．（4分）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，若OA＝AA'，S△ABC＝8，则S△A'B'C'＝　32　． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AC∥A′C′，证明△AOC∽△A′OC′，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵OA＝AA'， ∴OA：OA'＝1：2， ∵△ABC与△A'B'C'是位似图形， ∴△ABC∽△A'B'C'，AC∥A′C′， ∴△AOC∽△A′OC′， ∴＝＝， ∴＝， ∵S△ABC＝8， ∴S△A'B'C′＝32， 故答案为：32． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 16．（4分）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B在⊙O上，∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是　　． 【分析】根据三角形中位线定理得到MN＝AB，根据直径是最长的弦、圆周角定理、等腰直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN＝AB， 当AB最大时，MN有最大值， 当AB为⊙O的直径时，AB最大， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴AB＝AC＝5， ∴MN的最大值是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】（1）先进行二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减法即可求解； （2）用配方法解答即可． 【解答】解：（1）原式＝1+2﹣4×+3 ＝1+2﹣2+3 ＝4； （2）x2﹣2x﹣1＝0， 移项，得x2﹣2x＝1， 配方，得x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2， 解得x﹣1＝± 所以x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等知识点的运算． （2）本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，熟悉配方法的步骤是解题的关键． 18．（10分）某校组织九年级学生参加“掷实心球”测试，从中随机抽取10名学生的成绩，统计如下： 分数 7 8 9 10 人数 1 2 5 a 请根据上表，解决下列问题： （1）填空：a＝ 　2　； （2）这10名学生掷实心球成绩的众数是 　9　； （3）若该校九年级共600名学生，估计其中成绩为9分的有多少人． 【分析】（1）用10减去其它成绩的人数可得a的值； （2）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）由题意可知，a＝10﹣1﹣2﹣5＝2， 故答案为：2； （2）因为9出现的次数最多，故众数为9． 故答案为：9； （3）600×＝300（人）， 答：估计其中成绩为9分的有300人． 【点评】本题考查了众数以及利用样本估总体，正确列出算式是解答本题的关键． 19．（8分）徐州有着丰富的旅游资源，近年逐渐成为国内热门旅游城市．甲、乙两人分别从云龙山、博物馆、回龙窝这三个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，请用列表或画树状图的方法，求两人选择同一景点的概率． 【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一景点的结果有3个，由概率公式求解即可． 【解答】解：设云龙山、博物馆、回龙窝这三个景点分别表示为A，B，C， 画树状图如图： 共有9个等可能的结果，两人选择同一景点的结果有3个， ∴两人选择同一景点的概率＝＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 20．（10分）如图，利用135°的墙角BAD修建一个梯形ABCD的储料场，已知新建墙BCD的总长为18m，∠C＝90°．设DC的长为x m，储料场的面积为y m2． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当DC取何值时，储料场的面积为30m2？ （3）该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设CD的长为x cm，则BC的长为（16﹣x）cm，过A作AG⊥BC于G，推出四边形ADCG是矩形，得到AG＝CD＝x，AD＝CG，根据梯形的面积公式即可解决问题； （2）结合（1）和二次函数的解析式，列出一元二次方程求解即可得到结论； （3）结合（1）和二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设CD的长为x m，则BC的长为（18﹣x）m， 如图，过A作AG⊥BC于G， ∵AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝135°， ∴∠ADC＝90°，∠ABC＝45°， ∴四边形ADCG是矩形， ∴AG＝CD＝x m，AD＝CG， ∴BG＝AG＝x m， ∴AD＝CG＝（18﹣2x）m， ∴y＝S梯形ABCD＝x（18﹣2x+18﹣x）＝﹣x2+18x； （2）∵y＝﹣x2+18x， ∴﹣x2+18x＝30， ∴x2﹣12x+20＝0， ∴x＝2或x＝10（舍去）， ∴当DC取2时，储料场的面积为30m2； （3）∵y＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣6）2+54， ∴当x＝6时，储料场的面积最大，最大面积是54平方米． 【点评】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE与AB交于点F，OD⊥AB，点 的延长线上． （1）若CF＝CE，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AF＝4，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠ODE＝∠OED，得到∠ODE+∠OFD＝90°，由CF＝CE，得到∠CEF＝∠CFE＝∠OFD，求得∠OED+∠CEF＝90°，得到∠OEC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设OA＝OD＝R，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切，理由如下： 连接OE， ∵OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵OD⊥AB， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ODE+∠OFD＝90°， ∵CF＝CE， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠OFD， ∴∠OED+∠CEF＝90°， ∴∠OEC＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴直线CE与⊙O相切； （2）设OA＝OD＝R， 在Rt△ODF中，OF＝AF﹣OA＝4﹣R，DF＝，OD2+OF2＝DF2， ∴R2+（4﹣R）2＝（）2， 解得R1＝1（不合题意舍去），R2＝3， 故⊙O的半径为3． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握切线 的判定定理是解题的关键． 22．（8分）如图，监控摄像头D固定在AB与BC构成的支架上，AB＝3m，BD＝1m，∠ABC＝120°．若该摄像头的可视角∠GDF＝50°，DE为∠GDF的平分线，当DE⊥BC时，求摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离．（精确到0.1米） 参考数据：tan25°≈0.47，sin25°≈0.42，cos25°≈0.9，tan35°≈0.70，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，． 【分析】过点D作DH⊥AG，垂足为H，过点B作BP⊥DH，垂足为P，根据题意可得：AB＝PH＝3m，BP＝AH，∠ABP＝∠DPB＝∠DHG＝90°，从而可得∠DBP＝30°，进而可得∠BDP＝60°，然后在Rt△BDP中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DP＝0.5m，BP＝0.5m，从而可得DH＝3.5m，再利用角平分线的定义可得∠GDE＝∠EDF＝25°，最后根据垂直定义可得：∠EDB＝90°，从而可得∠BDG＝115°，进而可得∠GDH＝55°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠DGH＝35°，再在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出HG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点D作DH⊥AG，垂足为H，过点B作BP⊥DH，垂足为P， 由题意得：AB＝PH＝3m，BP＝AH，∠ABP＝∠DPB＝∠DHG＝90°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠DBP＝∠ABC﹣∠ABP＝30°， ∴∠BDP＝90°﹣∠PBD＝60°， ∵BD＝1m， ∴DP＝BD＝0.5（m），BP＝DP＝0.5（m）， ∴DH＝DP+PH＝3.5（m）， ∵DE为∠GDF的平分线，∠GDF＝50°， ∴∠GDE＝∠EDF＝∠GDF＝25°， ∵ED⊥BC， ∴∠EDB＝90°， ∴∠BDG＝∠BDE+∠GDE＝115°， ∴∠GDH＝∠GDB﹣∠BDP＝115°﹣60°＝55°， ∴∠DGH＝90°﹣∠GDH＝35°， 在Rt△ADH中，HG＝≈＝5（m）， ∴AG＝GH+AH＝5+0.5≈5.9（m）， ∴摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为5.9m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线． （1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由； （2）求的值． 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝72°，然后利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，从而利用两角相等的两个三角形相似可得：△CBD∽△CAB，即可解答； （2）根据等角对等边可得：DA＝DB，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，从而可得AD＝DB＝BC，然后利用相似三角形的性质可得：＝，从而可得CB2＝AC•CD，再利用等量代换可得：AD2＝AC•CD，从而可得点D是AC的黄金分割点，最后利用黄金分割的定义即可解答． 【解答】解：（1）△ABC与△BDC相似， 理由：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝＝72°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∴∠A＝∠DBC＝36°， ∵∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB； （2）∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴DA＝DB， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∵∠C＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BD＝BC， ∴AD＝DB＝BC， ∵△CBD∽△CAB； ∴＝， ∴CB2＝AC•CD， ∴AD2＝AC•CD， ∴点D是AC的黄金分割点， ∴＝＝． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（10分）分别按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC的外接圆； （2）如图2，在方格纸中，⊙P经过格点M，N，用无刻度的直尺确定圆心P的位置； （3）如图3，△ABC的顶点A、B在⊙O上，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，用无刻度的直尺画⊙O的内接三角形ADE，使△ADE与△ABC相似． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径画圆，即可得到结论； （2）设过M的格线交圆于A，B，过N的格线交圆于K，T，连接AB，KT交于P，如图：于是得到结论； （3）延长BC交⊙O于D，连接DO并延长交⊙O于E，连接AE，AD，△ADE即为所求； 【解答】解：（1）作线段AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径画圆， 则圆O即为所求； （2）设过M的格线交圆于A，B，过N的格线交圆于K，T，连接AB，KT交于P，如图： 点P即为所求； 理由：由图可知，∠AMB＝90°＝∠KNT， ∴AB，KT是圆的直径， ∴P为圆心； （3）延长BC交⊙O于D，连接DO并延长交⊙O于E，连接AE，AD，如图： △ADE即为所求； 理由：∵DE为⊙O的直径， ∴∠DAE＝90°＝∠ACB， ∵＝， ∴∠E＝∠B， ∴△DEA∽△ABC； 【点评】本题是圆的综合题，考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． 25．（12分）如图，二次函数y＝x2﹣5x+2的图象与y轴交于点A，点B在x轴的正半轴上，以AB为边在第一象限作矩形ABCD．（1）点A的坐标为 　（0，2）　； （2）若点C在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为2：1，求点B的坐标； （3）若矩形ABCD的面积为10，则OD的最大值是 　　． 【分析】（1）令x＝0，则y＝2，即A（0，2）； （2）设B（t，0）（t＞0），作CE⊥x轴于点E，如图1所示，根据“一线三垂直”模型证明△AOB∽△BEC，从而可得比例式，再根据矩形的长宽之比为2：1，可得到当和两种情况，再根据每种情况分别列比例式得到C点坐标，把C点坐标代入解析式中求解方程即可； （3）如图2所示，作AF垂直于y轴交直线CD于点F，先证明△AOB∽△ADF，从而，即AB•AD＝AF•AO＝10，可得AF＝5，取AF中点M，连接DM，OM，DO，则由斜边中线定理可得DM＝AM＝MF＝，由勾股定理可得OM＝，故OD≤OM+DM＝+＝，当且仅当O、M、D三点共线时取等号，所以OD最大值为． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，即A（0，2）， 故答案为：（0，2）． （2）设B（t，0）（t＞0），作CE⊥x轴于点E，如图1所示， 由∠ABC＝90°，易证△AOB∽△BEC， ∴， ∵AO＝2，BO＝t， 当时，则BE＝4，CE＝2t， 即点C（t+4，2t），把C（t+4，2t）代入y＝x2﹣5x+2中可得2t＝（t+4）2+5（t+4）+2， 整理得t2+t﹣2＝0，解得t＝1或﹣2（负值舍去）； 当时，则BE＝1，CE＝， 即点C（t+1，），把C（t+1，）代入y＝x2﹣5x+2中可得＝（t+1）2+5（t+1）+2， 整理得2t2﹣7t﹣4＝0，解得t＝4或（负值舍去）， 综上，点B坐标为（1，0）或（4，0）． （3）如图2所示，作AF垂直于y轴交直线CD于点F， ∵∠OAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠OAB＝∠DAF， 又∵∠AOB＝∠ADF＝90°， ∴△AOB∽△ADF， ∴，即AB•AD＝AF•AO＝10， ∴2AF＝10，即AF＝5， 取AF中点M，连接DM，OM，DO，如图2， 则DM＝AM＝MF＝AF＝，OM＝＝＝， 故OD≤OM+DM＝+＝，当且仅当O、M、D三点共线时取等号， 所以OD最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握以上内容并正确作出辅助线是解题关键 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$