黄金卷04（广西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广西专用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B A D D A C B A B B 二、填空题：（本大题共4题，每题2分，共8分.） 13．4 14． 15．10 16． / 三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17.【详解】（1） （4分） （2）方程两边同时乘以， 得， 解得：， 检验：当时，， 则原分式方程的解为．（8分） 18.【详解】解：（1）如图，点P为所作；（5分） （2）设BP=x，则AP=x，CP=BC-PB=8-x， 在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2， ∴（8-x）2+42=x2，解得x=5， 即AP的长为5．（10分） 19．【详解】（1）∵20个数据中，按大小顺序排列，最中间的2个数据是第10和11个数据， ∴八年级成绩的中位数是（分）； 九年级成绩的中位数是（分）； 九年级20名同学的成绩中，8分出现次数最多，共有6次，故众数c=8（分）， 故答案为：7.5；8；8；（3分） （2）八年级8分及以上的人数有（人）， 九年级8分及以上的人数有（人）， 350＋275＝625（人）． 所以估计这1200名学生中成绩达8分及以上的人数有625（人）；（7分） （3）由表格可知九年级成绩的中位数比八年级的高，所以九年级的成绩要更优异．（10分） 20．【详解】（1）证明：连接，如图所示：    是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，是的平分线， ， ， 是的半径， 为的切线；（4分） （2）解：连接，如图：    ，平分， ，， ，， ，， ， 设，则， 是切线， ， ， ， 解得，（8分） ，， 为直径， ， ∴， ， ， 即， ．（10分） 21．【详解】（1）解：， ∴y与x的关系式是． 故答案为：．（5分） （2）在中利用勾股定理，得， 根据题意，得， 解得，（8分） ∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车， ∵， ∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多．（10分） 22．【详解】（1）解：如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴；（4分） （2）∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值；（8分） （3）解：①当时， ∵, ∴， ∴，即， 解得 ． ②当时，． ∴． ∴，即． 解得 ． ③当时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时． 或当时，， ∵， ∴情况不成立． 综上所述，当或时，为等腰三角形．（12分） 23．【详解】（1）①∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；（8分） （3）连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴．（12分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广西专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（    ） A． B． C． D． 2．下列图标中属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D．   3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，是上两点，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   6．初二年级的甲、乙、丙、丁四位同学进行跳绳练习，每人的10次跳绳练习的平均成绩均是186个/分钟，但四人的成绩方差分别是，，，，成绩最稳定的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．如图，直线，直线分别交，于，，若，则（    ）    A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A． B． C． D． 10．如图，排水管截面的直径为，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 11．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接，与y轴交于点C，且轴，D是x轴正半轴上一点．连接，，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题：（本大题共4题，每题3分，共12分.） 13． 14．因式分解： ． 15．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为 厘米．（参考数据：，，．） 16．如图，在正方形中，，、分别为、的中点，连接、，、分别为、的中点，连接．则的长为 ．    三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（1）计算：．（2）解分式方程：． 18．如图，在中，． （1）在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，，试求线段的长． 19．北京冬奥会开幕式以24节气为倒计时，充分展现了我国传统文化的博大精深．某中学在八、九年级共1200名学生中开展“中国24节气”知识竞赛，并从八、九年级学生中各抽取20名学生统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下：九年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若该校八年级700人，九年级500人，估计这1200名学生中成绩达8分及以上的总人数； (3)根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级学生的本次知识竞赛成绩更优异． 20．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．    (1)求证：为的切线； (2)当，时，求线段的长． 21．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车，如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡上预留的安全距离． (1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ； (2)若该超市扶手电梯水平距离为4m，高为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 22．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)求x为何值时，最大？ (3)直接写出x为何值时，为等腰三角形？ 23．（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广西专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案． 【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作， 故选：A． 2．下列图标中属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D．   【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键． 4．如图，是的直径，是上两点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据邻补角互补得到，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，邻补角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为：    故选：D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键． 6．初二年级的甲、乙、丙、丁四位同学进行跳绳练习，每人的10次跳绳练习的平均成绩均是186个/分钟，但四人的成绩方差分别是，，，，成绩最稳定的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差越大，则平均值的离散程度越大，波动大；反之，则它与其平均值的离散程度越小，波动小，稳定性越好，比较方差大小即可得出答案． 【详解】∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的同学是丁， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是方差．熟练应用方差的性质是解题的关键． 7．如图，直线，直线分别交，于，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质推出． 【详解】解：直线， ． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则分别进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键． 9．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握利用顶点的平移解决二次函数的平移问题． 10．如图，排水管截面的直径为，水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果． 【详解】解：∵排水管截面的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴水的最大深度， 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长是解决此题的关键． 11．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于x的一元二次方程； 【详解】设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x， 依题意，得， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接，与y轴交于点C，且轴，D是x轴正半轴上一点．连接，，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，过作轴交轴于，过作轴交轴于，可求，，则，再根据，即可求解，理解的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴交轴于，过作轴交轴于，    ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ，， 则 ， ． 故选：B． 二、填空题：（本大题共4题，每题3分，共12分.） 13． 【答案】 【分析】先算，再开根即可． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则． 14．因式分解： ． 【答案】 【分析】提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 15．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为 厘米．（参考数据：，，．） 【答案】10 【分析】过点A作于点F，在中，根据，可得厘米，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点F， 根据题意得：，，厘米， 在中，， ∴， 解得：厘米， ∴厘米， 即小球在最高和最低位置时的高度差为10厘米． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 16．如图，在正方形中，，、分别为、的中点，连接、，、分别为、的中点，连接．则的长为 ．    【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质可得，，进一步可证是的中位线，可得，在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的长． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，如图所示： 点是的中点， ， 在正方形中，，，， ， 在和中， ， ， ，， 点是的中点， ， ，， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点，， ， 在中，根据勾股定理，得， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（1）计算：．（2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可，注意运算顺序．（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1） （2）方程两边同时乘以， 得， 解得：， 检验：当时，， 则原分式方程的解为． 【点睛】（1）本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （2）此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18．如图，在中，． （1）在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，，试求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于P点，则PA=PB； （2）设BP=x，则AP=x，CP=BC-PB=8-x，然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到（8-x）2+42=x2，再解方程即可． 【详解】解：（1）如图，点P为所作； （2）设BP=x，则AP=x，CP=BC-PB=8-x， 在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2， ∴（8-x）2+42=x2，解得x=5， 即AP的长为5． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 19．北京冬奥会开幕式以24节气为倒计时，充分展现了我国传统文化的博大精深．某中学在八、九年级共1200名学生中开展“中国24节气”知识竞赛，并从八、九年级学生中各抽取20名学生统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下：九年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 年级 八年级 九年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a b 众数 7 c 合格率 85% 90% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若该校八年级700人，九年级500人，估计这1200名学生中成绩达8分及以上的总人数； (3)根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级学生的本次知识竞赛成绩更优异． 【答案】(1)；8；8 (2)625人 (3)九年级 【分析】（1）由图表可求解； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、优秀率的角度来分析． 【详解】（1）∵20个数据中，按大小顺序排列，最中间的2个数据是第10和11个数据， ∴八年级成绩的中位数是（分）； 九年级成绩的中位数是（分）； 九年级20名同学的成绩中，8分出现次数最多，共有6次，故众数c=8（分）， 故答案为：7.5；8；8； （2）八年级8分及以上的人数有（人）， 九年级8分及以上的人数有（人）， 350＋275＝625（人）． 所以估计这1200名学生中成绩达8分及以上的人数有625（人）； （3）由表格可知九年级成绩的中位数比八年级的高，所以九年级的成绩要更优异． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法以及用样本估计总体等知识，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 20．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．    (1)求证：为的切线； (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可证明，根据是的半径，即可证明结论； （2）连接，求出，设，则，根据切线性质得出，得出，得出，解得，证明，根据，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，是的平分线， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接，如图：    ，平分， ，， ，， ，， ， 设，则， 是切线， ， ， ， 解得， ，， 为直径， ， ∴， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的判定和性质，数形结合． 21．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车，如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡上预留的安全距离． (1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ； (2)若该超市扶手电梯水平距离为4m，高为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 【答案】(1) (2)17辆，扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 【分析】本题考查函数关系式，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）1辆购物车时长度为，每增加一辆长度增加，据此写出y与x的关系式即可； （2）在中利用勾股定理求出，根据题意列关于x的一元一次不等式并求解，比较x的最大值与12的大小关系即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴y与x的关系式是． 故答案为：． （2）在中利用勾股定理，得， 根据题意，得， 解得， ∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车， ∵， ∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 22．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)求x为何值时，最大？ (3)直接写出x为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，正确证明是关键． （1）根据等边对等角，可以证得，然后根据三角形的外角的性质，证得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值； （3）解：①当时， ∵, ∴， ∴，即， 解得 ． ②当时，． ∴． ∴，即． 解得 ． ③当时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时． 或当时，， ∵， ∴情况不成立． 综上所述，当或时，为等腰三角形． 23．（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；②连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合①结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得,结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得,根据,得，得点I、J重合，即得 【详解】（1）①∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等腰三角形性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$