精品解析：湖北省武汉市江岸区、江汉区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ） A. y=2x B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可； 【详解】对于A，易知不幂函数，错误； 对于B，易知其为偶函数，错误； 对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为， 又，奇函数，正确； 对于D，易知其为偶函数，错误； 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 3. 已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 4. 已知, ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质以及对数的性质即可求解. 【详解】由于，， 故， 故选：A 5. 已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 7. 已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数定义域为，对于，则有. 解得.  因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，.  综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为.  故选：B. 8. 已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为 和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，…使得（其中i=1，2，…，n），则称为的“n重覆盖函数”.若 为 的“2025 重覆盖函数”，则正实数ω的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的值域，再根据“2025 重覆盖函数”函数定义，列等式求解即可. 【详解】由 ，令，， 因为，所以，所以， 所以， 若 为 的“2025 重覆盖函数”， 所以恰好存在2025个不同的实数，…，使得， 因为，所以，所以 有2025个， 所以由正弦函数性质得，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对正弦函数周期及值域的应用. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. “”是“不等式 成立”的必要不充分条件 C. 一元二次不等式 的解集为，则 D. 若且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据命题的否定判断A，根据分式不等式的解集结合必要不充分条件判断B，应用一元二次不等式的解集求参判断C，应用基本不等式计算求解判断D. 【详解】的否定是“”，A选项正确； 不等式 等价于，则“”是“不等式 成立”的必要不充分条件，B选项正确； 一元二次不等式 的解集为，则，所以，此时等式 即，其解集为，不合题意，C选项不正确； 因为，所以，当且仅当取等号， 即得，则，解得，即，D选项错误. 故选：AB. 10. 在平面直角坐标系中，已知角终边经过点，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ） A. 的解析式为 B. 若（且），则实数 的取值范围为 C. 函数的零点为1， D. 方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可得即可求解A，根据函数的单调性以及奇偶性即可根据求解B，求方程的根即可求解C，将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可利用一元二次方程根的分布求解D. 【详解】根据题意可得，根据的图象与无限接近，所以，故，因此，故A错误， 由于函数，故为偶函数，当时，为单调递增函数，由得，解得或，故B正确， 对于C，令，则，故，故，解得，C正确， 对于D，要使有四个不同的实数根，令，则在上有两个不相等的实数根，故，解得，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. ______. 【答案】0 【解析】 【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解； 【详解】， 故答案为：0 13. 一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在______h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）. 【答案】4.8 【解析】 【详解】设最迟应在小时内再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得， 整理，得， 又因为， ∴最迟应在4.8h内再向病人的血液补充这种药． 14. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，则在时的零点为______. 【答案】 【解析】 【分析】由得或，设，则为增函数，由，故，解方程可得. 【详解】， 由得即， 故或， 设，则为增函数， 当时，，故， 化简得即，故，得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2） . 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解， （2）根据对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数 （1）若函数最小正周期为2，求图象的对称轴方程； （2）若求在区间的单调减区间及最小值. 【答案】（1）， （2）和，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称轴方程特征进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性，结合最值性质进行求解即可. 小问1详解】 依题意：，∴，令，得，， 所以图象的对称轴方程为，； 【小问2详解】 令，因为，的单减区间是和，且得， 由得 所以在区间的单调减区间为和 又，当即时，，取最小值. 17. 某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； （2）请在网格图中用光滑曲线作，的简图； （3）若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】（1）表格见解析 （2）简图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）运用三角函数的对应关系求解填写； （2）根据列表，结合五点法画图即可； （3）根据函数图象，结合零点概念得解. 【小问1详解】 x 0 -1 0 1 1 0 1 2 【小问2详解】 根据上表和五点法，画出函数图象如下： 【小问3详解】 当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 18. 已知且 （1）求的值； （2）若求的最值； （3）对成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由平方求得，进而求得，即可求解； （2）由（1）得，通过换元，由二次函数即可求解； （3）求解得到，进而可判断m范围. 【小问1详解】 因为①，∴ ∴，∴，又 ②，由①②得，，； 【小问2详解】 ∵ 令，则， 当时，， 当或即或时，； 【小问3详解】 要使，即 所以，即， 依题意得，所以数m的取值范围是. 19. 如图所示，已知函数，在内取得一个最大值和一个最小值. （1）求函数解析式: （2）是否存在实数m满足?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意，得到， ，进而求得，得到，代入点，求得的值，即可得到函数的解析式； （2）由实数满足，求得，再由函数在上单调递增，求得，即可得到结论. 【小问1详解】 由题意可得，，则， 可得，所以， 因为点在函数图象上，可得，即， 因为，则，可得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 则实数满足，解得， 因为，则， 同理可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 令，可知函数在上单调递增， 若，只需，解得， 综上所述：存在，使成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ） A. y=2x B. C. D. 2 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知, ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ） A 2 B. C. D. 9 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为 和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，…使得（其中i=1，2，…，n），则称为的“n重覆盖函数”.若 为 的“2025 重覆盖函数”，则正实数ω的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. “”是“不等式 成立”的必要不充分条件 C. 一元二次不等式 解集为，则 D. 若且，则 10. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ） A. 的解析式为 B. 若（且），则实数 的取值范围为 C. 函数的零点为1， D. 方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. ______. 13. 一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在______h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）. 14. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，则在时的零点为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2） . 16. 已知函数 （1）若函数最小正周期为2，求图象的对称轴方程； （2）若求在区间的单调减区间及最小值. 17. 某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； （2）请在网格图中用光滑曲线作，的简图； （3）若函数有三个零点，求实数m 值取范围. 18. 已知且 （1）求的值； （2）若求的最值； （3）对成立，求实数m取值范围. 19. 如图所示，已知函数，在内取得一个最大值和一个最小值. （1）求函数的解析式: （2）是否存在实数m满足?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $