黄金卷04（北京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．2024年数字提升行动升级扩容，小红书推出“乡村漫游”公益计划，“乡村咖啡厅”“乡村博物馆”“大地艺术”等乡村文旅融合新业态内容点赞收藏量超7700000．数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．剪纸文化是中国传统的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点、、在同一条直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 6．如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八边形的一个外角的大小为（    ）    A． B． C． D． 7．某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．要使分式有意义，则的取值范围是 ． 10．因式分解： ． 11．方程的解为 ． 12．若点和点都在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 13．小明为了解本社区居民最喜欢的支付方式，对本社区不同年龄层次的居民进行问卷调查（只选一种方式），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图.该社区中岁的居民约有人，请根据图中信息估算其中岁的居民中最喜欢微信支付方式的人数约为 人. 14．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的长为 ． 15．已知为的直径，为上一点，连接.如图，若为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，则的长为 . 16．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了 局比赛． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．解不等式组 ． 19．已知，求分式的值． 20．(1)如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为 ．（从以下选项中选取） A．正方形     B ．菱形         C．矩形 (2)如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的值． 21．如图1，小慧买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖，套口到分界处的距离为．未开始使用时，铅笔长度是铅笔套长度的3倍多，且铅笔长度比铅笔套长度多． (1)请分别求出铅笔和铅笔套的长度． (2)如图2，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离也是．当总长度（笔尖到套尾的距离）小于时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少长度？ 22．平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6  6  7  7  7  8  9  9  9  10 乙：6  7  7  8  8  8  8  9  9  10 b．服务质量得分统计图（满分10分）：      c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． (2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE//BC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求sin∠DAB． 25．综合与实践：手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求的最大值． 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究． （1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象． 【解决问题】 （4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数） ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数） 26．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围． 27．如图1，中，，，点、别在边、上，且//． (1)求证：； (2)围绕点旋转，使其一边落在线段上（如图2所示），连接、并延长相交于点．试求的度数． 28．如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远离数”． (1)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点______（填“”、“”、“”或“D”），关于直线的“远离数”为______； 若直线的函数表达式为．求关于直线的“远离数”； (2)在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“远离数”是，求直线的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．2024年数字提升行动升级扩容，小红书推出“乡村漫游”公益计划，“乡村咖啡厅”“乡村博物馆”“大地艺术”等乡村文旅融合新业态内容点赞收藏量超7700000．数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【详解】解：数字用科学记数法表示为， 故选C． 2．剪纸文化是中国传统的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 3．如图，点、、在同一条直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出的度数，再根据，由，代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平角的定义，角的和差．理解和掌握平角的定义及角的和差计算是解题的关键． 4．若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由已知可得，，再根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，不等式一定成立，不符合题意； D、若，，此时，而，即不等式不一定成立，符合题意， 故选：D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值． 【详解】∵原方程有两个相等的实数根， ∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0； 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 6．如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八边形的一个外角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和为即可解答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴正八边形的一个外角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了求正多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为． 7．某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画树状图如下：    由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有2种， ∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为， 故选：C 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 8．如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，如图，延长交于点H，得出，利用勾股定理即可得出，故③正确，再将进行恒等变形即可判断①正确，然后利用三角形三边关系即可判断②正确，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于点H， ∵点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形， ∴，B，C，G三点共线，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故①正确，符合题意； 在中， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，分式有意义，是解题的关键． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可； 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 11．方程的解为 ． 【答案】x=5 【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解： 方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0. 故答案为：x=5. 【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. 12．若点和点都在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先把点代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再代入点即可得到答案． 【详解】把点代入得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数自变量的值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 13．小明为了解本社区居民最喜欢的支付方式，对本社区不同年龄层次的居民进行问卷调查（只选一种方式），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图.该社区中岁的居民约有人，请根据图中信息估算其中岁的居民中最喜欢微信支付方式的人数约为 人. 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，根据组人数和百分比求出问卷调查的居民人数，再求出问卷调查的居民最喜欢微信支付方式的人数，进而可得问卷调查中岁的居民最喜欢微信支付方式的居民人数，再用乘以其占比即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：问卷调查的居民人数为人， ∴问卷调查的居民最喜欢微信支付方式的居民人数为人， ∴问卷调查中岁的居民最喜欢微信支付方式的居民人数为人， ∴估算其中岁的居民中最喜欢微信支付方式的人数约为人， 故答案为：． 14．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解： ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 15．已知为的直径，为上一点，连接.如图，若为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，则的长为 . 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可． 【详解】 为的直径， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 16．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了 局比赛． 【答案】19 【分析】先确定了乙与丙打了4局，甲与丙打了10局，进而确定三人一共打的局数和甲、乙、丙当裁判的局数，即可得到答案． 【详解】解：甲当了4局裁判， 乙、丙之间打了4局， 又乙、丙分别共打了9局、14局， 乙与甲打了局，丙与甲打了局， 甲、乙、丙三人共打了局， 故答案为：19． 【点睛】本题考查统计和概率的推理与论证．解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法．并递推出相关的关系式．从而解决问题． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键． 18．解不等式组 ． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定口诀即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式得：， ， ， ， 解不等式得：， ， ， ， 原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了，是解题的关键． 19．已知，求分式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的求值能力．先化简，再由题意得，最后代入求解． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式． 20．(1)如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为 ．（从以下选项中选取） A．正方形     B ．菱形         C．矩形 (2)如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的值． 【答案】(1)C (2)①证明见详解；②； 【分析】（1）根据可得，结合 可得，，再根据平移得到，可得，即可得到答案； （2）①根据平移可得，，即可得到四边形是平行四边形，根据，结合根据勾股定理可得，即可得到证明；②根据，即可得到，结合即可得到，根据 可得，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平移得到， ∴， ∴四边形的形状为矩形， 故选C； （2）①证明：∵平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件． 21．如图1，小慧买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖，套口到分界处的距离为．未开始使用时，铅笔长度是铅笔套长度的3倍多，且铅笔长度比铅笔套长度多． (1)请分别求出铅笔和铅笔套的长度． (2)如图2，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离也是．当总长度（笔尖到套尾的距离）小于时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少长度？ 【答案】(1)铅笔的长度为，铅笔套的长度为 (2)该铅笔最多可以使用 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设铅笔套的程度为，则铅笔的长度为，根据铅笔长度比铅笔套长度多，列出方程，即可解得答案． （2）设该铅笔最多可以使用，由总长为，将不再适合正常书写，可列出方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设铅笔套的程度为，则铅笔的长度为，根据题意得： 解得：， 则， 答：铅笔的长度为，铅笔套的长度为； （2）解：设该铅笔最多可以使用， 根据题意得：， 解得， ∴该铅笔最多可以使用． 22．平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可得到答案； （2）根据数形结合思想方法，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得； （2）解：如图：   ， 由（1）得，一次函数解析式为：， 当时，， 把代入得，， 解得：， 观察图象，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，则． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键． 23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6  6  7  7  7  8  9  9  9  10 乙：6  7  7  8  8  8  8  9  9  10 b．服务质量得分统计图（满分10分）：     c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． (2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】(1)7.5； (2)甲公司，理由见解析 (3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 【详解】（1）由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；； （2）∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司； （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． 24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE//BC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求sin∠DAB． 【答案】（1）见详解；（2）sin∠DAB=． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的定义得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝∠ACB=90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB值，进而得出BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值，最后由sin∠DAB=求得sin∠DAB的值． 【详解】解：（1）连接OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAE＝∠OAD， ∴∠ADO＝∠DAE， ∴OD∥AE， ∴∠ODE+∠E＝180° ∴∠ODE＝180°﹣∠E 为⊙的直径， ∵DE∥BC， ∴∠E＝ 90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OF＝1，BF＝2， ∴OB＝3， ∴BA＝6． ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠ADB＝∠DFB， 又∵∠DBF＝∠ABD， ∴△DBF∽△ABD， ∴， ∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12． ∴BD＝ 在RT△ADB中 ∵∠ADB＝90° ∴sin∠DAB=． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质、圆周角定理、切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质，并用之求锐角的三角函数．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键． 25．综合与实践：手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求的最大值． 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究． （1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象． 【解决问题】 （4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数） ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1）；（2）500；（3）见解析；（4）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）或 【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得的取值范围； （2）将代入计算即可得； （3）先描出其余各点，再顺次连接即可画出函数的大致图象； （4）①根据函数图象即可得； ②根据函数图象即可得． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）当时，，即， 故答案为：500． （3）画出函数的大致图象如下所示： （4）①由函数图象可知，长方体盒子的容积最大约为（答案不唯一）； ②由函数图象可知，当时，（答案不唯一）或． 26．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）把代入求解即可判断； （2）把代入可得与的关系，根据抛物线与只有一个交点可得，进而求解即可． （3）先证明一次函数过，计算当时，，当一次函数的图象过时，可得得：，可得一次函数为：，结合当时，满足条件；从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得： ， 二次函数的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）解：∵抛物线为定点抛物线， ∴， 整理得：， ∴抛物线为， ∵抛物线为与直线只有一个公共点， ∴方程有两个相等实根， ∴方程有两个相等实根， ∴， 解得：； （3）解：∵定点抛物线过， 当时，， ∴一次函数过， 如图， 当时，， 当一次函数的图象过时， ∴， 解得：， ∴一次函数为：， ∴当时，即时，满足条件； 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，新定义的含义，二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键． 27．如图1，中，，，点、别在边、上，且//． (1)求证：； (2)围绕点旋转，使其一边落在线段上（如图2所示），连接、并延长相交于点．试求的度数． 【答案】(1)证明见解析部分． (2)50°． 【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADE＝∠AED，推出AD＝AE即可解决问题． （2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，可得∠BAD＝∠CMD＝50°． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即BD＝EC． （2）解：如图2中， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ADB＝∠CDM， ∴∠BMC＝∠BAD＝50°． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 28．如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远离数”． (1)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点______（填“”、“”、“”或“D”），关于直线的“远离数”为______； 若直线的函数表达式为．求关于直线的“远离数”； (2)在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“远离数”是，求直线的函数表达式． 【答案】(1)①；；②关于直线的“远离数”为 (2) 【分析】（1）①利用“远点“和“远离数”的定义解答即可； 利用函数的解析式求得与坐标轴的交点坐标，再利用直角三角形的边角关系定理和含角的直角三角形的性质求得线段，进而得到线段，的长度，用“远离数”的定义解答即可； （2）设直线的函数表达式为，利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，过点作于点，过点作轴于点，利用“远离数”的定义求得线段的长度，得到为等腰直角三角形，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设，利用全等三角形的判定与性质得到，，进而得到，，列出关于，的方程组，解方程组得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可得出结论；当时，利用中的方法解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得：关于直线的“远点”是点， 点的坐标为，的半径为， ，，， ， ， 关于直线的“远离数”为． 故答案为：；； 设直线分别交轴，轴于点，， 令，则， ， ． 令，则， 解得：， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 关于直线的“远离数”为； （2）设直线的函数表达式为， 当时， 由题意得：，，， ． 过点作于点，过点作轴于点，如图， ，， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， ， ， 直线的函数表达式为； 当时， 由题意得：，，， ． 由知：， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，，，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 直线的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决此类问题常用的方法． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C D B A C D 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9． 10． 11．x=5 12． 13． 13. 14． 14.12 15. 16.19 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17.【详解】解：原式（3分） ．（5分） 18.【详解】解：， 解不等式得：， ， ， ，（2分） 解不等式得：， ， ， ，（2分） 原不等式组的解集为：．（5分） 19．【详解】解： ．（3分） ∵， ∴． ∴原式．（5分） 20．【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平移得到， ∴， ∴四边形的形状为矩形， 故选C；（1分） （2）①证明：∵平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；（4分） ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．（6分） 21．【详解】（1）解：设铅笔套的程度为，则铅笔的长度为，根据题意得： 解得：， 则， 答：铅笔的长度为，铅笔套的长度为；（3分） （2）解：设该铅笔最多可以使用， 根据题意得：， 解得， ∴该铅笔最多可以使用．（6分） 22．【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴，（1分） ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得；（2分） （2）解：如图：   ， 由（1）得，一次函数解析式为：， 当时，， 把代入得，， 解得：，（4分） 观察图象，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，则．（5分） 23．【详解】（1）由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；；（2分） （2）∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司；（4分） （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）（5分） 24.【详解】解：（1）连接OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAE＝∠OAD， ∴∠ADO＝∠DAE， ∴OD∥AE， ∴∠ODE+∠E＝180° ∴∠ODE＝180°﹣∠E 为⊙的直径， ∵DE∥BC， ∴∠E＝ 90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∴DE是⊙O的切线；（3分） （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OF＝1，BF＝2， ∴OB＝3， ∴BA＝6． ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠ADB＝∠DFB， 又∵∠DBF＝∠ABD， ∴△DBF∽△ABD， ∴， ∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12． ∴BD＝ 在RT△ADB中 ∵∠ADB＝90° ∴sin∠DAB=．（6分） 25.【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则．（2分） （2）当时，，即， 故答案为：500．（3分） （3）画出函数的大致图象如下所示：（4分） （4）①由函数图象可知，长方体盒子的容积最大约为（答案不唯一）； ②由函数图象可知，当时，（答案不唯一）或．（5分） 26.【详解】（1）解：把代入得： ， 二次函数的图象经过点，是“定点抛物线”．（1分） （2）解：∵抛物线为定点抛物线， ∴， 整理得：， ∴抛物线为， ∵抛物线为与直线只有一个公共点， ∴方程有两个相等实根， ∴方程有两个相等实根， ∴， 解得：；（4分） （3）解：∵定点抛物线过， 当时，， ∴一次函数过， 如图， 当时，， 当一次函数的图象过时， ∴， 解得：， ∴一次函数为：， ∴当时，即时，满足条件；（6分） 27.【详解】（1）证明：如图1中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即BD＝EC．（4分） （2）解：如图2中， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ADB＝∠CDM， ∴∠BMC＝∠BAD＝50°．（7分） 28.【详解】（1）解：①由题意得：关于直线的“远点”是点， 点的坐标为，的半径为， ，，， ， ， 关于直线的“远离数”为． 故答案为：；；（2分） 设直线分别交轴，轴于点，， 令，则， ， ． 令，则， 解得：， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 关于直线的“远离数”为；（4分） （2）设直线的函数表达式为， 当时， 由题意得：，，， ． 过点作于点，过点作轴于点，如图， ，， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， ， ， 直线的函数表达式为； 当时， 由题意得：，，， ． 由知：， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，，，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 直线的函数表达式为．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $$