第01讲 概率初步（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第01讲 概率初步 【题型1 事件类型】 【题型2 可能性大小】 【题型3 概率的意义】 【题型4 几何概率】 【题型5 概率公式】 【题型6 频率估计概率】 【题型7 用列举法或树状图求概率】 【题型8游戏的公平性】 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，在这次比赛中，事件“冠军属于中国选手”为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不对 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月 B．在只有白球的盒子里摸到黑球 C．经过交通信号灯的路口遇到红灯 D．太阳从东方升起 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． 【题型2 可能性大小】 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）现有同一品牌的足球100个，其中有4个次品，从中任取1个，则（   ） A．一定是次品 B．很可能是次品 C．不大可能是次品 D．不可能是次品 【变式2-1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）在一个不透明的口袋中，装有个黄球和5个红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，则摸到 球的机会大． 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【题型3 概率的意义】 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 B．天气预报“明天降水概率为，是指明天有的时间会下雨 C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，反面朝上的次数一定是50次 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）足球队员小航每场比赛的进球率约为，若他明天将参加一场足球比赛，则下列说法正确的是（   ） A．小航明天肯定进球 B．小航明天每射球10次必进球1次 C．小航明天一定不能进球 D．小航明天有可能进球 【变式3-2】（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（     ） A．某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中就都是红球 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件 C．如果明天降水的概率是，那么明天有半天时间在降雨 D．几个人用抽签的方式决定电影票的归属，先抽的人得到电影票的概率大 【题型4 几何概率】 【典例4】（2-23-2024.七年级下册·山东德州·期末）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球总面积的百分比，若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在陆地上的概率是 ． 【变式4-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【题型5 概率公式】 【典例5】（2025七年级下·全国·专题练习）不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球、3个蓝球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，它是彩球的概率是 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个路口的红绿灯时长为红灯、黄灯、绿灯．当某人到达该路口时，看见红灯的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个不透明的袋子中，装有若干个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是时，则袋中有 个红球． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）二十四节气，基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，如图所示，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（   ） A． B． C． D． 【题型6 频率估计概率】 【典例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 82 168 332 830 射中九环以上频率 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个瓶盖被抛落地后的频率和抛掷次数折线统计图，则这个瓶盖被抛掷后瓶盖口向下的频率稳定值约是 ． 【变式6-2】（22-23七年级下·广东深圳·期末）盒中有若干个白球和12个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个． 【变式6-3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【题型7 用列举法或树状图求概率】 【典例7】（22-23七年级下·四川成都·期末）第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【变式7-1】（23-24七年级·河南商丘·阶段练习）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23七年级下·河北保定·期中）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． (1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； (2)在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 【题型8游戏的公平性】 【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【变式8-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【变式8-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘平均分成9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘． （1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（        ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的布袋中装有白球和黑球共150个，它们除颜色外其他都相同．小红每次摸出1个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能是（   ） A．24 B．36 C．40 D．90 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据如下表（频率结果精确到）： 种子数 发芽数 发芽频率 依据上面的数据可以估计这种植物种子在该实验条件下发芽的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有7，9，x这三个号码．这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码大于5”是必然事件，则x的值可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶，是我们文化自信的源泉．川剧由昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中，除灯调系源于本土外，其余均由外地传入．如果小曦要选择其中一种声腔来学习，那么选中外地传入的声腔的概率为（   ） A． B． C．1 D． 7．（24-25七年级下·全国·期末）下列各选项的事件中，是必然事件的是（　　） A．角的余角是 B．打开电视，正在播放新闻 C．抛掷一枚正方体骰子，点数朝上 D．在中，若，则的形状是锐角三角形 8．（2021·山东潍坊·一模）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值不大于2的概率是 ． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一种抽奖游戏规则如下：在20个卡牌中，有5个卡牌的背面注明了一定的获奖金额，其余卡牌的背面是空白，若翻到空白卡牌就不得奖，游戏参与者共有三次翻牌的机会．小珂前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么小珂第三次翻牌获奖的概率是 ． 11．（2020·四川广元·中考真题）如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关，，中的两个时，小灯泡发光的概率为 ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某射击选手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，则该射击选手击中靶心的概率的估计值为 （结果精确到）． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）． 【实践方案设计】在草地的外围画了一个长、宽的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 a 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 (1)完成上述表格：_____________；_____________； (2)请估计当n很大时，频率将会接近_____________（精确到0.1），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_____________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 概率初步 【题型1 事件类型】 【题型2 可能性大小】 【题型3 概率的意义】 【题型4 几何概率】 【题型5 概率公式】 【题型6 频率估计概率】 【题型7 用列举法或树状图求概率】 【题型8游戏的公平性】 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，在这次比赛中，事件“冠军属于中国选手”为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．结合题意根据必然事件、不可事件，随机事件的定义即可作出判断． 【详解】解：根据题意可知“冠军属于中国选手”是一定发生的事件，是必然事件． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，不符合题意，选项错误； B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意，选项正确； C、小明能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意，选项错误； D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月 B．在只有白球的盒子里摸到黑球 C．经过交通信号灯的路口遇到红灯 D．太阳从东方升起 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，利用随机事件定义对各选项进行判断，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 【详解】解：A、13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月是必然事件，故A不符合题意； B、在只有白球的盒子里摸到黑球是不能事件，故B不符合题意； C、经过交通信号灯的路口遇到红灯是随机时间，故C符合题意； D、太阳从东方升起是必然事件，故D不符合题意， 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． 【答案】随机 【分析】此题主要考查了随机事件的概念，解决本题需要正确理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可解决． 【详解】解：“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是随机事件． 故答案为：随机． 【题型2 可能性大小】 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）现有同一品牌的足球100个，其中有4个次品，从中任取1个，则（   ） A．一定是次品 B．很可能是次品 C．不大可能是次品 D．不可能是次品 【答案】C 【分析】本题考查可能性的大小，首先根据随机事件发生的可能性，可得今从中任取一件，可能抽到次品，也可能抽到正品；然后根据正品、次品数量的多少，直接判断可能性的大小即可． 【详解】解：根据随机事件发生的可能性， 因为正品的数量是（个），次品数量是4个，96远大于4， 所以抽到次品的可能性较小，即不大可能抽到次品． 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 【答案】B 【分析】本题考查的是判断可能性大小的方法，掌握判断可能性大小的方法是解题的关键，根据判断可能性大小的方法解答． 【详解】解： A、奇思不一定记录错了，摸出黄球次数可能比白球少；原题说法错误； B、虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多；原题说法正确； C、6位同学中有5人都是摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误； D、因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，但是总体来说摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）． 【答案】绿 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最少．哪一种颜色少，指针指向那种颜色的可能性就小． 【详解】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块， 所以转动一次转盘后，指针指向绿颜色的可能性小， 故答案为：绿． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）在一个不透明的口袋中，装有个黄球和5个红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，则摸到 球的机会大． 【答案】黄 【分析】本题考查了可能性大小．根据黄球的个数多于红球的个数即可得到答案． 【详解】∵在一个不透明的口袋中，装有个黄球和5个红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，黄球的个数多于红球的个数， ∴摸到黄球的机会大．， 故答案为：黄． 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【题型3 概率的意义】 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 B．天气预报“明天降水概率为，是指明天有的时间会下雨 C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，反面朝上的次数一定是50次 【答案】A 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键． 根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故A正确； B、天气预报“明天降水概率，是指明天有的概率会下雨，故B错误； C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故C错误； D、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，故D错误． 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）足球队员小航每场比赛的进球率约为，若他明天将参加一场足球比赛，则下列说法正确的是（   ） A．小航明天肯定进球 B．小航明天每射球10次必进球1次 C．小航明天一定不能进球 D．小航明天有可能进球 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】解：根据以往比赛数据统计，小航进球率为，他明天将参加一场比赛小航明天有可能进球． 故选：D． 【变式3-2】（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（     ） A．某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中就都是红球 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件 C．如果明天降水的概率是，那么明天有半天时间在降雨 D．几个人用抽签的方式决定电影票的归属，先抽的人得到电影票的概率大 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的分类，事件的可能性，概率的意义等等，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小，概率表示的事件发生的可能性，并不一定代表事件发生或不发生，据此求解即可． 【详解】解：A、某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中不一定都是红球，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件，原说法正确，符合题意； C、如果明天降水的概率是，那么明天下雨的可能性是，原说法错误，不符合题意； D、几个人用抽签的方式决定电影票的归属，所有抽的人得到电影票的概率相同，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【题型4 几何概率】 【典例4】（2-23-2024.七年级下册·山东德州·期末）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求几何概率，解题的关键是根据平行四边形的性质，得平行四边形对角线所分成四个三角形的面积相等，再根据，阴影部分的面积为平行四边形面积的，即可． 【详解】解：由题意得，该图形为平行四边形， ∴平行四边形对角线所分成四个三角形的面积相等， ∵， ∴影部分的面积为平行四边形面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型，用阴影部分的面积除以总面积得到该小球停留在阴影部分的概率即可得到答案．熟记几何概率模型求概率的方法：概率阴影部分面积总面积． 【详解】 解：设图中一个阴影部分三角形的面积为，由图可知它为一个小正方形面积的， 所以所有阴影部分的面积是，大正方形的面积是个小正方形面积，即， 该小球停留在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球总面积的百分比，若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在陆地上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了饼图和概率公式的综合运用，用到的知识点为∶概率=相应的面积与总面积之比． 本题只要求出陆地占总地球的面积的百分比即可． 【详解】解：依题意得∶ 陆地上的概率为． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【题型5 概率公式】 【典例5】（2025七年级下·全国·专题练习）不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球、3个蓝球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，它是彩球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式．用彩球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球和3个蓝球，8个白球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是彩球的概率是； 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个路口的红绿灯时长为红灯、黄灯、绿灯．当某人到达该路口时，看见红灯的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，利用概率公式即可解答，熟练利用概率公式求概率是解题的关键． 【详解】解：看见红灯的概率是， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个不透明的袋子中，装有若干个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是时，则袋中有 个红球． 【答案】4 【分析】本题考查了概率公式，设有x个红球，根据题意列方程即可，熟知概率的计算方法是解答此题的关键． 【详解】解：设有x个红球，根据题意， 得， 解得，即袋子中有4个红球． 故答案为：4． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·期中）二十四节气，基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，如图所示，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 【题型6 频率估计概率】 【典例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 82 168 332 830 射中九环以上频率 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是（   ） A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90 【答案】A 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击1次时“射中九环以上”的概率约是0.83． 故选：A． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个瓶盖被抛落地后的频率和抛掷次数折线统计图，则这个瓶盖被抛掷后瓶盖口向下的频率稳定值约是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图．根据频率估计概率，频率都在左右波动，据此可得答案． 【详解】解：这批乒乓球“优等品”频率稳定值约是． 故答案为：． 【变式6-2】（22-23七年级下·广东深圳·期末）盒中有若干个白球和12个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个． 【答案】48 【分析】可根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数黑球个数白球个数“，“黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”． 【详解】解：设盒子里有白球x个， 根据题意得： 解得：， 经检验得是方程的解， 即盒中大约有白球48个， 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是根据概率公式列出方程． 【变式6-3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【分析】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意； 、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【题型7 用列举法或树状图求概率】 【典例7】（22-23七年级下·四川成都·期末）第六届天七数学文化节期间，学校开展了丰富多彩的游园活动．王老师为了解本班学生对华容道、数独、24点、七巧板这4项活动的喜爱情况，在本班学生中随机抽查部分学生，对他们最喜爱的游园项目（每人只选一项）进行问卷调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图，A：华容道，B：数独，C：24点，D：七巧板）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，王老师一共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)为进一步优化游园活动，提升活动的体验感，王老师从被调查最喜爱A和D学生中分别选取一名学生分享参与文化节活动的感受与建议，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图； （1）用条形统计图中B类别的人数除以扇形统计图中B的百分比可得共调查的学生人数． （2）求出A类别中女生的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）本次调查中，王老师一共调查了（名）． 故答案为：20． （2）由题意得，A类别的人数为（人）， ∴A类别中女生的人数为（人）， 补全条形统计图如图1所示． （3）列表如下： 男 女 男 （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 【变式7-1】（23-24七年级·河南商丘·阶段练习）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图得到所有的组合情况，只有C卡片正面是轴对称图形，找出没有轴对称图形的情况，用概率公式计算即可求解． 【详解】把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，如图： 共有12种情况，都是等可能性，这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的情况有6种（只有C卡片正面是轴对称图形），则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是． 故选：A． 【变式7-2】（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 【变式7-3】（22-23七年级下·河北保定·期中）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． (1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； (2)在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的有3种， ∴小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的概率为：． 【题型8游戏的公平性】 【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，理由及修改规则见解析 【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可． 【详解】（1）解：因为8张卡片中，有2张是印有4的， 所以（抽到印有4的卡片）． （2）不公平． 理由：根据题意，得（小明去），（小亮去）． 因为，所以不公平． 修改规则如下：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；抽到所印数字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片重新抽．（答案不唯一） 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)； (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的 概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国， 8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人， 所以小明获胜的概率为， 小华获胜的概率为， 小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏公平． 【变式8-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1)这个游戏对双方公平 (2)这个游戏的公平性和摸出球后放回时的一样 (3)这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】此题目是关于游戏公平性的问题，解题的关键是熟练掌握每种情况下的概率． （1）因为口袋里有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每次摸出一个球后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的； （3）因为口袋里有5个白球和5个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 【详解】（1）解：由于是摸出后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）解：由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，则他们获胜的概率和放回时一样都是，对双方公平； （3）解：游戏对双方公平，因为袋子中白球和黑球各有5个，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 【变式8-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘平均分成9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘． （1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）游戏不公平，理由见详解 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【详解】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有4个， ∴P（转到2的倍数）＝； （2）游戏不公平， 共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3、6、9共3种可能，2的倍数有2，4，6，8共4种可能，由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去， ∴小亮去参加活动的概率为：3÷9＝， 小芳去参加活动的概率为：， ∵＞， ∴游戏不公平． 【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（        ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】D 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右 ∴黄球的个数为 ∴布袋中白球可能有 故选：D 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的布袋中装有白球和黑球共150个，它们除颜色外其他都相同．小红每次摸出1个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能是（   ） A．24 B．36 C．40 D．90 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6左右，得到摸到黑球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：∵根据摸到黑球的频率稳定在0.6左右， ∴摸到黑球的概率为0.6， ∴布袋中黑球的个数可能是（个）； 故选D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据如下表（频率结果精确到）： 种子数 发芽数 发芽频率 依据上面的数据可以估计这种植物种子在该实验条件下发芽的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握以上知识点是解答本题的关键． 概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【详解】解：因为概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， 这种植物种子在该实验条件下发芽的概率是， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有7，9，x这三个号码．这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码大于5”是必然事件，则x的值可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．根据必然事件的意义，进行解答即可． 【详解】解：∵搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码大于5是必然事件， ∴， ∴x的值可能是6． 故选：A． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶，是我们文化自信的源泉．川剧由昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中，除灯调系源于本土外，其余均由外地传入．如果小曦要选择其中一种声腔来学习，那么选中外地传入的声腔的概率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，川剧一共有昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中昆腔、高腔、胡琴、弹戏4种属于外地传入的声腔，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：川剧一共有昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中昆腔、高腔、胡琴、弹戏4种属于外地传入的声腔， 则选中外地传入的声腔的概率为：， 故选：D 7．（24-25七年级下·全国·期末）下列各选项的事件中，是必然事件的是（　　） A．角的余角是 B．打开电视，正在播放新闻 C．抛掷一枚正方体骰子，点数朝上 D．在中，若，则的形状是锐角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可确定． 【详解】解：A、角的余角是，是不可能事件，故该选项错误； B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故该选项错误； C、抛掷一枚正方体骰子，点数朝上，是不可能事件，故选项错误； D、在中，若，根据三角形内角和定理可得，解得：，，故的形状是锐角三角形，是必然事件，故该选项正确； 故选：D． 8．（2021·山东潍坊·一模）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，   共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：B 二、填空题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值不大于2的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：任意抽取一张卡片，共有9种等可能的结果，其中绝对值不大于2的有，，0，1，2，共5种情况， ∴； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一种抽奖游戏规则如下：在20个卡牌中，有5个卡牌的背面注明了一定的获奖金额，其余卡牌的背面是空白，若翻到空白卡牌就不得奖，游戏参与者共有三次翻牌的机会．小珂前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么小珂第三次翻牌获奖的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．由于前两次翻牌均获得了奖金，则还有18个牌没有翻，且18个牌里有3个注明了奖金额，于是可根据概率公式可计算出小珂第三次翻牌获奖的概率． 【详解】解：小珂第三次翻牌获奖的概率 故答案为：． 11．（2020·四川广元·中考真题）如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关，，中的两个时，小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确画出树状图是解题的关键．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合， ，，， ∴能够让灯泡发光的概率为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某射击选手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，则该射击选手击中靶心的概率的估计值为 （结果精确到）． 【答案】 【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 【详解】解：依题意得击中靶心频率逐渐稳定在附近， ∵精确到， ∴估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．让获得奖励的人数除以参赛选手的人数即为周颖获得奖励的概率． 【详解】解：设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名， 所以选手周颖获得奖励的概率为． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)可以在盒子中放入6个黑球 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【详解】（1）由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； （2）P（任意摸出1个球是白球）； （3）能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）． 【实践方案设计】在草地的外围画了一个长、宽的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积． 【答案】石子落在草地内的概率0.8，草地的大致面积为 【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即是概率，根据表格中的四组数据，计算出相应频率，估计出石子落在草地内的概率，进而由几何概率模型求法：概率阴影部分面积正方形面积，代值计算即可得到答案，熟练掌握用频率估计概率及几何概率模型求概率方法是解决问题的关键． 【详解】解：分别求出四个小组石子落在草地内的次数与石子落在长方形内的次数比． 一组：； 二组：； 三组：； 四组：； 故估计石子落在草地内的概率为0.8， 草地的大致面积为． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数 60 122 180 298 a 604 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 (1)完成上述表格：_____________；_____________； (2)请估计当n很大时，频率将会接近_____________（精确到0.1），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_____________（精确到0.1）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1)295；0.745 (2)0.6；0.6 (3)144度 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：295、0.745； （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是0.6， 故答案为：0.6、0.6； （3）解：， 在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$