专题01 概率初步（八大题型）（题型专练）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

专题01 概率初步（八大题型） 【题型1 事件类型】 【题型2 可能性大小】 【题型3 概率的意义】 【题型4 几何概率】 【题型5 概率公式】 【题型6 频率估计概率】 【题型7 用列举法或树状图求概率】 【题型8游戏的公平性】 【题型1 事件类型】 1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．水涨船高 D．守株待兔 2．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其内角和是； B．任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上； C．在一个标准大气压下加热到时，水沸腾； D．太阳从东方升起． 3．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．打开电视机，正播放新闻 B．抛一枚硬币背面朝上 C．正方形有四条边 D．在一个仅装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球 4．下列事件，是随机事件的是（    ） A．掷一枚骰子，向上一面点数大于0 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．一个三角形的内角和为 D．在操场向上抛一块石头，石头终将落地 5．“盲盒里有3个白球和5个黑球（除了颜色不同，其余都相同），任意摸一个球摸到红球”这一事件为（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不是 【题型2 可能性大小】 6．掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法正确的是（　　） A．每次必有次正面向上 B．可能有次正面向上 C．必有次正面向上 D．不可能有次正面向上 7．将只印有“太阳”“月亮”“星星”中的一种图案且其他完全相同的若干张卡片放置于不透明的袋子中，进行放回式摸卡片试验，多次试验后发现摸到“太阳”卡片的频率稳定在左右．由此可知，摸到卡片可能性最大的是（    ） A．“太阳”卡片 B．“月亮”卡片 C．“星星”卡片 D．无法确定 8．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3 9．口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是 ． 10．马聪在五张背面完全相同的卡片的正面分别写了“一”“起”“向”“未”“来”这5个字．现在将卡片背面向上打乱洗匀，从中随机摸出一张卡片，这张卡片写有“未”的可能性大小是 ． 【题型3 概率的意义】 11．下列叙述中正确的是（   ） A．“如果a、b是实数，那么”是不确定事件 B．某种彩票的中奖概率为，则买7张彩票一定有1张中奖 C．“某班50名同学中至少有2名同学的生日是同一天”是随机事件 D．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的调查方式比较合适 12．以下说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D．张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 13．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 14．“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 15．下列说法正确的是（    ） A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式 B．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定 C．“任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是必然事件 D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上” 16．下列说法正确的是（     ） A．某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中就都是红球 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件 C．如果明天降水的概率是，那么明天有半天时间在降雨 D．几个人用抽签的方式决定电影票的归属，先抽的人得到电影票的概率大 17．下列说法正确的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的一定是10次 B．“任意画出一个等腰三角形，它是轴对称图形”是不可能事件 C．“概率为的事件”是随机事件 D．“任意选取三条线段构造一个三角形”是必然事件 【题型4 几何概率】 18．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 19．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在蓝扇形区域的概率是（    ） A． B． C． D． 20．如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（   ） A． B． C． D． 21．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 22．如图所示，镖盘为半径比为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个的扇形，向大圆上投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 23．小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【题型5 概率公式】 24．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 25．盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 26．如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 27．一个不透明的袋子中，装有若干个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是时，则袋中有 个红球． 28．不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球、3个蓝球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，它是彩球的概率是 ． 29．“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 【题型6 频率估计概率】 30．盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色再放回，如此重复450次，摸出白色乒乓球50次，由此估计摸一次可以摸出白色乒乓球的概率为（   ） A． B． C． D． 31．如图，某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植千棵树苗时，成活的数量约是（   ） A．棵 B．棵 C．棵 D．棵 32．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动，如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（   ）． A．6 B． C． D．20 33．将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（   ） A．0.45 B．0.46 C．0.47 D．0.50 34．一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 35．小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（    ）    A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．任意写一个整数，它能被3整除的概率 C．抛一枚硬币，出现反面的概率 D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率 36．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 根据表中数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是 ． 投篮次数 投中次数 投中频率 【题型7 用列举法或树状图求概率】 37．一个盒子中装有标号分别为1，2，3的三个小球，这些球除标号外，其他都相同．随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，则两次摸出的小球的标号均为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 38．在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比的活动中，共设置了“．交通安全”“．消防安全”“．饮食安全”三个主题内容．小林和小芳两名学生参加评比，若她们每人从以上三个主题内容中随机选取一个，每个主题被选择的可能性相同． A．交通安全B．消防安全C．饮食安全 (1)小林选择交通安全手抄报的概率为_____； (2)请用画树状图或列表的方法，求小林和小芳选择同一主题手抄报的概率． 39．为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“A．篮球韵律操”“B．银饰雕刻”“C．酿酒”“D．摄影”四门实践课程中选择一门．学校制作了如图所示的转盘、转盘被分成了四等份，学生转动转盘一次，指针指到的课程即为自己参加的实践课程（当指针指到分界线上时，则重新转动转盘）． (1)若小明是该校的一名学生，他参加“C．酿酒”实践课程的概率是______； (2)同校的小亮是小明的好朋友，他们想参加相同的实践课程，请用列表或画树状图的方法．求小明和小亮参加实践课程相同的概率． 40．某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类（A．特别好，B．好，C．一般，D．较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查采取了________方式（普通或抽查），王老师一共调查了________名学生； (2)扇形统计图中A类的圆心角度是________________°； (3)假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； (4)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 41．暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次． (1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____； (2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率． 42．粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． (1)如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； (2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 43．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（） 频数 频率 A B 20 C D 4    根据图表信息，回答下列问题： (1)表中___，___； (2)若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___； (3)学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 【题型8游戏的公平性】 44．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“5点朝上”的频率___________； (2)小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是___________； (3)小颖和小红各投掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数，则小颖获胜，若两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数，则小红获胜，请问游戏对双方公平吗？ 45．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 46．有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 47．在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字，0，1，2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； (2)若规定：如果摸出的两个小球上的数字之和是正数，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的数字之和是负数，那么小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由． 48．小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 49．美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． (1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； (2)游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 概率初步（八大题型） 【题型1 事件类型】 【题型2 可能性大小】 【题型3 概率的意义】 【题型4 几何概率】 【题型5 概率公式】 【题型6 频率估计概率】 【题型7 用列举法或树状图求概率】 【题型8游戏的公平性】 【题型1 事件类型】 1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．水涨船高 D．守株待兔 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A. 竹篮打水是不可能事件，故该选项不符合题意；     B. 水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；     C. 水涨船高是必然事件，故该选项不符合题意； D. 守株待兔是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 2．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其内角和是； B．任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上； C．在一个标准大气压下加热到时，水沸腾； D．太阳从东方升起． 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故不符合题意； B、任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上，是随机事件，符合题意； C、在一个标准大气压下加热到时，水沸腾，是必然事件，故不符合题意； D、太阳从东方升起，是必然事件，故不符合题意． 故选：B． 3．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．打开电视机，正播放新闻 B．抛一枚硬币背面朝上 C．正方形有四条边 D．在一个仅装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，可能会发生的事件是随机事件，一定不会发生的事件是不可能事件，据此解答即可求解，掌握以上定义是解题的关键． 【详解】解：、打开电视机，正播放新闻是随机事件，该选项不合题意； 、抛一枚硬币背面朝上是随机事件，该选项不合题意； 、正方形有四条边是必然事件，该选项符合题意； 、在一个仅装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球是不可能事件，该选项不合题意； 故选：． 4．下列事件，是随机事件的是（    ） A．掷一枚骰子，向上一面点数大于0 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．一个三角形的内角和为 D．在操场向上抛一块石头，石头终将落地 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及三角形内角和定理．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、掷一枚骰子，向上一面点数大于0是必然事件，不符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军是随机事件，符合题意； C、一个三角形的内角和为是不可能事件，不符合题意； D、在操场向上抛一块石头，石头终将落地是必然事件，不符合题意； 故选：B． 5．“盲盒里有3个白球和5个黑球（除了颜色不同，其余都相同），任意摸一个球摸到红球”这一事件为（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的分类；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵盲盒里有3个白球和5个黑球（除了颜色不同，其余都相同），没有红球， ∴“任意摸一个球摸到红球”这一事件是不可能事件． 故选：B 【题型2 可能性大小】 6．掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法正确的是（　　） A．每次必有次正面向上 B．可能有次正面向上 C．必有次正面向上 D．不可能有次正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据事件发生可能性的大小逐项判断即得答案，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚质地均匀的硬币次，每次不一定有次正面向上，原说法错误，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的硬币次，可能有次正面向上，原说法正确，符合题意； 、掷一枚质地均匀的硬币次，不一定有次正面向上，原说法错误，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的硬币次，可能有次正面都向上，原说法错误，不符合题意； 故选：． 7．将只印有“太阳”“月亮”“星星”中的一种图案且其他完全相同的若干张卡片放置于不透明的袋子中，进行放回式摸卡片试验，多次试验后发现摸到“太阳”卡片的频率稳定在左右．由此可知，摸到卡片可能性最大的是（    ） A．“太阳”卡片 B．“月亮”卡片 C．“星星”卡片 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据题意得出摸到“太阳”卡片的概率为左右，据此，即可求解． 【详解】解：∵多次试验后发现摸到“太阳”卡片的频率稳定在左右． 则摸到“太阳”卡片的概率为左右 ∴摸到卡片可能性最大的是“太阳”卡片， 故选：A． 8．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3 【答案】A 【分析】本题考查可能性大小的比较，根据题意与概率的计算公式，比较四个选项中包含的情况的概率，比较可得答案． 【详解】解：A．面朝上的点数是6的概率为； B．面朝上的点数是偶数的概率为； C．面朝上的点数大于2的概率为； D．面朝上的点数小于3的概率为； 出现的可能性比较小的是：面朝上的点数是6， 故选：A． 9．口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是 ． 【答案】 【分析】根据绿球有5种可能，利用摸到绿球的可能性是求出总球数，再计算出黄球数，进而求黄球可能性即可， 本题考查了可能性的意义，掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性大小为是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得球总数为：（个）， 故黄球有（个）， 故摸出一个黄球的可能性是：， 答：提出一个黄球的可能性是． 故答案为：． 10．马聪在五张背面完全相同的卡片的正面分别写了“一”“起”“向”“未”“来”这5个字．现在将卡片背面向上打乱洗匀，从中随机摸出一张卡片，这张卡片写有“未”的可能性大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．从中随机抽取一张，共有5种等可能的结果，其中符合条件的有1种，即可确定其概率． 【详解】解：共有5种等可能结果，所以随机摸出一张卡片，卡片上写有“未”的可能性大小是； 故答案为： 【题型3 概率的意义】 11．下列叙述中正确的是（   ） A．“如果a、b是实数，那么”是不确定事件 B．某种彩票的中奖概率为，则买7张彩票一定有1张中奖 C．“某班50名同学中至少有2名同学的生日是同一天”是随机事件 D．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的调查方式比较合适 【答案】C 【分析】本题考查了考查统计调查，随机事件及概率的意义，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 根据抽样调查和普查的定义，确定事件、随机事件的定义，以及概率的意义即可作出判断． 【详解】A．如果a，b是实数，那么是必然事件，选项不符合题意； B．某种彩票的中奖概率为，因为每次买彩票的中奖结果都是相互独立的随机事件，则买7张彩票可能中奖，也可能不中奖，故选项不符合题意； C．“某班50位同学中至少有2位同学生日是同一天”一年最多366天（闰年），50名同学有可能生日都不同，也有可能至少2有名同学生日在同一天，所以这是一个随机事件是随机事件，故选项符合题意； D．为了了解一批炮弹的杀伤力，调查具有破坏性，应采用抽样调查方式比较合适．故选项不符合题意； 故选：C． 12．以下说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D．张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义、平行四边形的性质，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，选项A说法错误，不符合题意； B、由于路口交通信号灯不确定，故经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率不一定为，选项B说法错误，不符合题意； C、∵任意平行四边形是中心对称图形， ∴“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项C说法正确，符合题意； D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D错误，不符合题意． 13．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】解：由于硬币质地均匀， 所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是． 故选:C． 14．“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，理解随机事件发生的可能性是可能发生，也可能不发生．根据相关概念判断，即可解题． 【详解】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨， 故选：C． 15．下列说法正确的是（    ） A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式 B．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定 C．“任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是必然事件 D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上” 【答案】B 【分析】根据随机事件的定义、三角形内角和定理、全面调查与抽样调查的定义、方差的性质进行解题即可．本题考查随机事件、三角形内角和定理、全面调查与抽样调查、方差，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：A、为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故该项说法不正确，不符合题意； B、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，故该项说法正确，符合题意； C、“任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件，故该项说法不正确，不符合题意； D、抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面朝上”，故该项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 16．下列说法正确的是（     ） A．某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中就都是红球 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件 C．如果明天降水的概率是，那么明天有半天时间在降雨 D．几个人用抽签的方式决定电影票的归属，先抽的人得到电影票的概率大 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的分类，事件的可能性，概率的意义等等，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小，概率表示的事件发生的可能性，并不一定代表事件发生或不发生，据此求解即可． 【详解】解：A、某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中不一定都是红球，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件，原说法正确，符合题意； C、如果明天降水的概率是，那么明天下雨的可能性是，原说法错误，不符合题意； D、几个人用抽签的方式决定电影票的归属，所有抽的人得到电影票的概率相同，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 17．下列说法正确的是（    ） A．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的一定是10次 B．“任意画出一个等腰三角形，它是轴对称图形”是不可能事件 C．“概率为的事件”是随机事件 D．“任意选取三条线段构造一个三角形”是必然事件 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的意义以及事件的确定方法，直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】A. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的不一定是10次，故该选项不正确，不符合题意； B. “任意画出一个等腰三角形，它是轴对称图形”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； C. “概率为的事件”是随机事件，故该选项正确，符合题意； D. “任意选取三条线段构造一个三角形”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型4 几何概率】 18．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，只需要计算出白色区域面积在整个转盘的面积的占比即可得到答案．解题的关键是掌握几何概率的求法：用符合条件的部分线段的长度（或部分区域的面积）和整条线段的长度（或整个区域的面积）的比叫做几何概率． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，其中白色区域有两个扇形， ∴任意转动这个转盘次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是． 故选：C． 19．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在蓝扇形区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：∵蓝色扇形区域的圆心角为， 所以蓝色区域所占的面积比例为， 即转动圆盘一次，指针停在蓝色区域的概率是， 故选D． 20．如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的求解方法是解题的关键：有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积或线段的长度来计算：此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．在数学上，这些问题的概率又称为几何概率． 按照几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：豆子落在阴影区域中的概率， 故选：． 21．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可； 【详解】解：设每个小正方形格子的长度都是1， ∴ 黑色区域的面积，游戏板的面积， 所以击中黑色区域的概率为， 故答案为：． 22．如图所示，镖盘为半径比为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个的扇形，向大圆上投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算——几何概率，分别求出阴影部分的面积和大圆的面积，它们的比值就是所求． 【详解】解： 设小圆的半径为r，则大圆半径为2r， ∴，， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率为 故答案为：． 23．小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，根据概率=相应的面积与总面积之比求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为，阴影部分的面积为 ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【题型5 概率公式】 24．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案． 【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， ∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选：D． 25．盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求解随机事件的概率，用出现偶数的情况除以总情况数即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出偶数的情况有2种， 故摸出偶数的概率是． 故选：B． 26．如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单概率计算，结合电路图进行分析时解题关键．由电路图可知，随机闭合两个开关，可有三种可能，其中能使小灯泡发光的有2种可能结果，即可获得答案． 【详解】解：由电路图可知，随机闭合两个开关，可有三种可能， 闭合开关，小灯泡发光， 闭合开关，小灯泡发光， 闭合开关，小灯泡不发光， 所以，随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为． 故选：C． 27．一个不透明的袋子中，装有若干个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是时，则袋中有 个红球． 【答案】4 【分析】本题考查了概率公式，设有x个红球，根据题意列方程即可，熟知概率的计算方法是解答此题的关键． 【详解】解：设有x个红球，根据题意， 得， 解得，即袋子中有4个红球． 故答案为：4． 28．不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球、3个蓝球和8个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，它是彩球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式．用彩球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：不透明袋子中装有20个球，其中有5个红球、4个绿球和3个蓝球，8个白球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是彩球的概率是； 故答案为：． 29．“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 【答案】1600 【分析】本题主要考查了概率的基本计算，由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答． 【详解】解：P（获一等奖）， P（获二等奖）， 则当天参与此项活动的顾客为（人）． 故答案为：1600 【题型6 频率估计概率】 30．盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色再放回，如此重复450次，摸出白色乒乓球50次，由此估计摸一次可以摸出白色乒乓球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由题意可知： 摸一次可以摸出白色乒乓球的频率为，由此估计摸一次可以摸出白色乒乓球的概率为， 故选：． 31．如图，某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植千棵树苗时，成活的数量约是（   ） A．棵 B．棵 C．棵 D．棵 【答案】B 【分析】本题考查折线统计图，利用样本的频率估计总体，频率估计概率，根据图形可以发现，在附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知，移植千棵树苗时成活的频率为， ∴这种树苗移植成活的概率为， ∴成活的数量约是（棵）， 故选：． 32．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动，如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（   ）． A．6 B． C． D．20 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率．根据频率稳定在左右，得到概率为，进而得到黑色部分的总面积比上正方形的面积为，进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为， ∴黑色部分的总面积； 故选：B． 33．将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（   ） A．0.45 B．0.46 C．0.47 D．0.50 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下，频率的稳定值即概率值是解题的关键． 根据大量反复试验下，频率的稳定值即概率值，结合概率的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：根据统计图可知，大量反复试验下，频率的稳定在0.46附近， 即抛掷一枚图钉，针尖触地的概率是0.46， 故选：B． 34．一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2， ∵袋中白球的个数为4， ∴估计袋子中共有个球， 则可估计袋子中黑球的个数为个， 故选A． 35．小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（    ）    A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．任意写一个整数，它能被3整除的概率 C．抛一枚硬币，出现反面的概率 D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率以及运用概率公式求概率，掌握利用频率估计概率的方法成为解答本题的关键． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率， A．一枚骰子有1点到6点，出现4点的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； B．整数中每三个数就有一个能被 3 整除，所以概率是，符合统计图．符合统计图，故该选项符合题意； C．一枚硬币共有两面，出现反面的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； D． 一副扑克牌共有54张，任取一张，取到“大王”的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； 故选：B． 36．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 根据表中数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是 ． 投篮次数 投中次数 投中频率 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结果． 【详解】由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为． 故答案为：． 【题型7 用列举法或树状图求概率】 37．一个盒子中装有标号分别为1，2，3的三个小球，这些球除标号外，其他都相同．随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，则两次摸出的小球的标号均为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．正确运用列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号均为奇数的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图所示： ∵共有6种等可能的结果，其中两次摸出的小球的标号均为奇数有2种结果， ∴两次摸出的小球的标号均为奇数的概率为． 故选：D． 38．在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比的活动中，共设置了“．交通安全”“．消防安全”“．饮食安全”三个主题内容．小林和小芳两名学生参加评比，若她们每人从以上三个主题内容中随机选取一个，每个主题被选择的可能性相同． A．交通安全B．消防安全C．饮食安全 (1)小林选择交通安全手抄报的概率为_____； (2)请用画树状图或列表的方法，求小林和小芳选择同一主题手抄报的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先根据题意列表，然后根据概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵手抄报有三个主题内容， ∴小林选择交通安全手抄报的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下． 小林 小芳 A B C A B C 共有9种等可能的结果，两人恰好选中同一主题手抄报的结果有3种，则小林和小芳选择同一主题手抄报的概率为． 39．为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“A．篮球韵律操”“B．银饰雕刻”“C．酿酒”“D．摄影”四门实践课程中选择一门．学校制作了如图所示的转盘、转盘被分成了四等份，学生转动转盘一次，指针指到的课程即为自己参加的实践课程（当指针指到分界线上时，则重新转动转盘）． (1)若小明是该校的一名学生，他参加“C．酿酒”实践课程的概率是______； (2)同校的小亮是小明的好朋友，他们想参加相同的实践课程，请用列表或画树状图的方法．求小明和小亮参加实践课程相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，理解概率的定义是解决问题的关键． （1）根据简单概率公式解答即可； （2）用列表法表示小明、小亮所有选择可能出现的结果，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：参加“酿酒”实践课程的概率是， 故答案为：随机，； （2）解：设“篮球韵律操”“银饰雕刻”“酿酒”“摄影”四门实践课程分别用A、B、C、D表示，用列表法表示小明、小亮所有等可能出现的结果如下： A B C D A B C D 共有16种等可能出现的结果，其中，小明和小亮参加实践课程相同的的情况有4种， 所以小明、小亮同时参加“篮球韵律操”实践课程的概率为． 40．某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类（A．特别好，B．好，C．一般，D．较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查采取了________方式（普通或抽查），王老师一共调查了________名学生； (2)扇形统计图中A类的圆心角度是________________°； (3)假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； (4)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)抽查；20人 (2)54 (3)360名 (4) 【分析】本题主要考查了列表求概率、条形统计图与扇形统计图等知识点，从条形统计图与扇形统计图中正确获取信息是解答本题的关键． （1）先确定调查方式，由题意可得：王老师一共调查学生：（名）； （2）扇形统计图中A类的圆心角度是用A类所占的百分比乘以即可得出； （3）全校总学生人数乘以A所占的百分比； （4）据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案． 【详解】（1）解：本次调查采取了抽查方式， 王老师一共调查了：名学生． （2）解：A类学生所占百分比为：， 则扇形统计图中A类的圆心角度是． （3）解： (名) 答：估计该校新课程改革效果达到A类学生有360人． （4）解：D类男生：（名）， 列表如下：A类中的两名男生分别记为和， 男 男 女A 男D 男男D 男男D 女A男D 女D 男女D 男女D 女A女D 共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为． 41．暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次． (1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____； (2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了频率的含义，画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由频率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是； （2）解：成都、太原、武汉、重庆四个城市分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，班长抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的情况有2种， ∴2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率为． 42．粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． (1)如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； (2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：∵决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝 ∴只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是； 故答案为：． （2）解：画树状图如图所示：    由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的结果有2种， （李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”）． 43．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（） 频数 频率 A B 20 C D 4    根据图表信息，回答下列问题： (1)表中___，___； (2)若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___； (3)学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率． 【答案】(1)0.55；12 (2)660名 (3)树状图见解析，甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为 【分析】（1）由扇形统计图可得的百分比，用表格中的频数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数乘以扇形统计图中的百分比可得的值，进而可得等级的频数，用等级的频数除以抽取的学生人数可得的值． （2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中等级的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果，以及甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人， ， 等级的频数为， ． 故答案为：0.55；12． （2）解：（人． 估计该校成绩为等级的学生人数约为660人． 故答案为：660． （3）解：解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种， ∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、频数与频率、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 【题型8游戏的公平性】 44．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“5点朝上”的频率___________； (2)小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是___________； (3)小颖和小红各投掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数，则小颖获胜，若两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数，则小红获胜，请问游戏对双方公平吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)不公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由他们共做了60次实验，5点朝上的有20次，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）由他们共做了60次实验，4点朝上的有8次，能求出概率，则在投掷第61次骰子时，概率是一样的； （3）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数和5的倍数的情况，再利用概率公式求出各自获胜的概率，进而可求得答案． 【详解】（1）解：“5点朝上”的频率为：； 故答案为：； （2）解：4点朝上的概率是， 小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是， 故答案为：； （3）列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴一共有36种情况，两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的有9种情况，两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数的有7种情况， ∴小颖获胜的概率为：，小红获胜的概率为：， ∵， ∴游戏对双方不公平． 45．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，理由见解析，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 【详解】（1）列表如下： 小真小帅 1 2 3 4 1 2 3 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，为，，∴P（积为6）； （2）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），，所以不公平 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 注：这道题列这种表不扣分 小真 小帅 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中积为6的有2种，为，， ∴P（积为6）； （3）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），， 所以不公平． 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 46．有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)公平，见解析． 【分析】（1）列表表示两次摸到纸牌上数字之和为6的所有情况，再根据概率公式计算即可得到答案； （2）分别计算纸牌上数字之和为奇数和偶数的概率，进行比较即可得到游戏是否公平，即可作答． 此题考查列表法或列树状图的方法求事件的概率，正确理解题中的事件是放回或是不放回事件是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，列表如下 和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能的情况，其中两次摸到纸牌上数字之和为6的等可能的情况有三种， ∴（和为6）； （2）解：游戏公平，理由如下： 由（1）得两次摸到纸牌上数字之和为奇数的等可能的情况有8种，两次摸到纸牌上数字之和为偶数的等可能的情况有8种， ∴（和为奇数），（和为偶数）， ∴游戏公平． 47．在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字，0，1，2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； (2)若规定：如果摸出的两个小球上的数字之和是正数，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的数字之和是负数，那么小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)12种 (2)不公平，见解析 【分析】本题考查列表法求概率，利用概率判断游戏公平性： （1）列表法表示出可能出现的所有结果即可； （2）求出小明和小亮各自赢的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：可能出现的结果列表如下：       第一次第二次 0 1 2 0 1 2 ∴共有12种结果； （2）不公平，理由如下： 由（1）知摸出的两个小球上的数字之和为正数的可能一共有6种，摸出的两个小球上的数字之和为负数的可能一共有4种， 小明赢的概率为；而小亮赢的概率为， ∵ ∴游戏不公平． 48．小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对双方是不公平的，理由见解析 【分析】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为8的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：列表如下： 3 4 5 3 4 5 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为8的结果有3种， 因此P（两数和为8）； （2）这个游戏规则对双方不公平． 理由：因为P（和为奇数），P（和为偶数）， 因为， 所以这个游戏规则对双方是不公平的． 49．美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． (1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； (2)游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）根据列表法计算结果种数即可． （2）利用列表法解答即可． 本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 红1 蓝1 红2 黄1 红3 （红1，红3） （蓝1，红3） （红2，红3） （黄1，红3） 蓝2 （红1，蓝2） （蓝1，蓝2） （红2，蓝2） （黄1，蓝2） 黄2 （红1，黄2） （蓝1，黄2） （红2，黄2） （黄1，黄2） （2）解：根据上述表格可得，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的结果有3种， 分别为（红1，蓝2），（红2，蓝2），（蓝1，红3）， ， 则； ， 即不能配成紫色的可能性大一些 此游戏对双方不公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$