精品解析：广东省东莞市某校2024-2025学年高三上学期第一次测试数学试题

2024-2025学年度高三数学测试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A. B.  C.  D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，根据集合的运算以及集合的关系，判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得集合，则， ，则， 故，不是的真子集，，， 即ABD错误，C正确, 故选：C 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B 3. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 4. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为， 所以. 则即，通项公式为， 故展开式共有9项，当时，展开式为有理项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻， 即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有种, 故有理项都互不相邻的概率为, 故选：C 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用重要不等式能得出，故可以判断A；由，可得，整体代换即可判断B；先通过变形得出的取值范围，进而可以得出判断，即可判断C；由基本不等式可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，故，故选项A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故选项B错误； 对于C，因为，即，故， 所以，故选项C错误； 对于D，因为，当且仅当时取等号， 即，故选项D正确. 故选：D. 6. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将转化为，整体代入求解. 【详解】因为，，， ，故，且，故， 故. 故选：D. 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】， 时，，当时，，递减，时，，递增， 时，，时，，是极小值， 时，，在上是增函数， 时，，时，，且， 作出函数的大致图象，如图， 由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解， 方程有四解， 则方程有两解且， 记， 则，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（    ） A. 众数为2的概率是 B. 极差不变的概率是 C. 第25百分位数不变的概率是 D. 平均值变大的概率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意计算出的每个可能的取值相应的概率，结合各选项的条件确定X可能的取值，即可求出相应的概率，即得答案. 【详解】由，得， ， 对于A，众数是2，说明添加的数为2，则，A正确； 对于B，极差不变，说明添加的数，则极差不变的概率是，B正确； 对于C，由，得原数据和新数据的第25百分位数均为第2个数， 只要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列后，第二个数相同，都为1， 因此第25百分位数不变的概率是，C错误； 对于D，原样本数据的平均值为，平均值变大，则添加的数要大于2，即， 因此平均值变大的概率是，D正确. 故选：ABD 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数（，）的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 若将图象每个点的横坐标变为原来的倍后在上有且仅有2个极值点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图象求出的解析式，再利用正弦型函数的逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，而，在的递增区间上，则，A正确； 依题意，，，解得， 函数的周期，解得，， 对于B，，的图象关于点对称，B正确； 对于C，当时，，当，即时，取得最大值2， 因此在上不单调，C错误； 对于D，将图象每个点的横坐标变为原来的倍后，得的图象， 当时，，依题意，，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】或． 【解析】 【分析】应用二倍角公式及两角差余弦公式化简最后由同角三角函数公式计算即可. 【详解】 当, 当. 故答案为：或. 13. 现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设“取出第个袋子”，“，结合全概率公式，即可求解. 【详解】由题意，设“取出第个袋子，其中”， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且两两互斥． ，所以， 所以，． 故答案为： 14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图记直线与直线的交点为P，且连接，则， 由对称性有过坐标原点O且． 由有，， 又，，， ，，，即，， 在中，， 在中，，解得， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用给定条件求出各个三角形的边长，然后利用余弦定理表示同一个角，得到所要求的离心率即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连续打四局比赛的概率； （2）求在前四局中甲轮空两局的概率； （3）求第四局甲轮空的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率； （2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可； （3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可. 【小问1详解】 若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜， 所以甲连续打四局比赛的概率； 【小问2详解】 在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空， 故在前四局中甲轮空两局的概率； 【小问3详解】 甲第四轮空有两种情况： 第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空， 第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空， 第1种情况的概率；第2种情况的概率； 由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为. 16. 已知锐角的三个内角，所对的边为，. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式转化，再应用正弦定理和余弦定理即可求值； （2）应用正弦定理转化为角的关系，再由三角恒等变换转化为只含角三角函数关系，应用角的范围求出函数值域即可. 【小问1详解】 解：由 可得， 即, 由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：应用正弦定理可得，设， 因为，，为锐角三角形， 所以，所以 所以 因为， 所以， 所以， 即的取值范围为. 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）设BD，AC交点为F，连接EF，结合平面PAC平面ABD，通过证明EFAC可证明结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 设BD，AC交点为F，连接EF. 由题可得PO平面ABD，又平面PAC，则平面PAC平面ABD. 因为底面圆的内接正三角形，且为底面直径， 则，. 又因，则，. 注意到，则. 因， 则，即EFAC. 因平面PAC平面ABD，平面PAC，平面平面ABD， 则EF平面ABD，又平面，则平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知，PO平面ABD，EF平面ABD，则POEF. 又，，则. 因为OC中点，结合POEF，则E为PC中点， 得，，. 过O作DB平行线，如图以此平行线所在直线为x轴，O为原点建立空间直角坐标系. 则. . 设平面法向量为，则， 取，则直线与平面所成角的正弦值 . 18. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【小问1详解】 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； 【小问2详解】 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值； （3）证明：当时，有． 【答案】（1） （2） （3） 令，则， 故在上单调递增，故， 即当时，， 由，则， 令，则， 故当时，要证，只需证， 即只需证， 即只需证， 即只需证， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，故，即得证. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义可得其切线斜率，再利用点斜式计算出切线方程即可得； （2）参变分离得到在上恒成立，即在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性可得其最大值，即可得解； （3）借助当时，，从而得到，从而将其转化为证明，再构造相应函数证明即可得. 【小问1详解】 ，则， 又， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 若不等式恒成立，即恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，故， 又，故， 故整数的最小值为； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助当时，，从而得到，从而将其转化为证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高三数学测试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A. B.  C.  D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（    ） A. 众数为2的概率是 B. 极差不变的概率是 C. 第25百分位数不变的概率是 D. 平均值变大的概率是 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 11. 已知函数（，）的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 若将图象每个点的横坐标变为原来的倍后在上有且仅有2个极值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______． 14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连续打四局比赛的概率； （2）求在前四局中甲轮空两局的概率； （3）求第四局甲轮空的概率. 16. 已知锐角的三个内角，所对的边为，. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值； （3）证明：当时，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $