精品解析：广东省湛江市岭南师范学院附属中学2024-2025学年高二下学期核心素养调研数学试题

岭南师范学院附属中学 2024-2025学年第二学期 学科核心素养调研试题 高二年级 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选：A 2. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 3. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 4. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及等差中项的性质即可得解. 【详解】由已知为等差数列， 所以. 故选：C. 5. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质求解. 【详解】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列. 且，，所以. 所以. 故选：A 6. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 7. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 8. 已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求. 【详解】当时，，∴，故A正确； 当时，， ∴， ∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误； ∵， ∴数列为递减数列，故C正确； ∵， ∴， 两式相减得，， ∴，故D正确． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于是， 解得或， 所以公比q的值为或1. 故选：AB 10. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可. 【详解】解析：设公差为，则， ，，， 对于A：，知A正确； 对于B，由知B正确； 对于C，由通项公式知道，知C错误； 对于D，由时，，且，知D正确. 故选：ABD. 11. 已知圆，直线.则（ ） A. 直线与圆可能相切 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项. 【详解】，则恒成立， 故，则直线恒过， 因为，所以点在圆内部， 因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错； 对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确； 对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错； 因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，则该数列的通项公式______ 【答案】 【解析】 【分析】根据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果. 【详解】由得： ，即 又，则 由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列 则 本题正确结果： 【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式. 13. 若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程确定，再由等比中项定义求得值后可得渐近线方程． 【详解】由是双曲线方程得， 又m是2和8的等比中项，则，∴（4舍去）， 双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为． 故答案为：． 14. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线、椭圆的定义，结合矩形的条件列式求出即得离心率. 【详解】由双曲线：，得，且， 由椭圆：，得，解得， 由四边形为矩形，得，， 即，解得， 所以的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列，为等比数列，且，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可由通项公式求解， （2）根据等差等比的求和公式，结合分组求解即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为 由题意可知，， 可得， 所以； 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 结合（1）可得： 16. 已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆的弦的中垂线经过圆心，结合题设求出圆心和半径，即得圆的方程； （2）由弦长求出圆心到弦的距离，设直线的方程为，由点到直线的距离公式列方程，解之即得. 【小问1详解】 因为点，，所以直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为1.因线段的中点为， 则线段的垂直平分线的方程为. 由解得故圆心，半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，则点到直线的距离. 由，解得或， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面的法向量满足，即可证明； （2）由（1）可得，利用向量法求点面距即可求解. 【小问1详解】 由平面，平面， 得，又，建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，故， 且平面PBC，即平面； 【小问2详解】 由（1）知，，所以点D到平面的距离为 ， 即点D到平面的距离为. 18. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. （1）求，，并写出与的关系式； （2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 【答案】（1），， （2）7年 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【小问1详解】 由题意得，投入生产的启动资金共有万元， ， ， ． 【小问2详解】 由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 19. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1. （1）求点的轨迹的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点 ①求证：； ②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值. 【答案】（1）； （2）①证明：设过椭圆的右顶点的直线的方程为. 代入抛物线方程，得. 设､，则 ∴. ∴. ②证明：设､，直线的方程为， 代入，得. 于是，. 从而 ∵，∴. 代入，整理得. ∴原点到直线的距离为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意有，化简可得答案. （2）直线的方程为,与抛物线方程联立， ①由，将韦达定理代入可证明. ②由①可得，设､，直线的方程为，则，由方程联立，韦达定理可得，再由点到直线的距离公式可证明. 【详解】（1）设由题意， 两边平方，整理得： 所以所求点的轨迹方程为. （2）①略 ②略 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岭南师范学院附属中学 2024-2025学年第二学期 学科核心素养调研试题 高二年级 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 0 2. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 5. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 11. 已知圆，直线.则（ ） A. 直线与圆可能相切 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，则该数列的通项公式______ 13. 若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为______． 14. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列，为等比数列，且，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 18. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. （1）求，，并写出与的关系式； （2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 19. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1. （1）求点的轨迹的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点 ①求证：； ②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $