湖南省株洲市炎陵县第一中学等学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)“ 1、(期末考试题改编)直线√x-y+1=0的倾斜角是(B) 点君 B.哥 C. 5π D.2 6 3 2、(赛假作业)设S.是等差数列{a}的前n项和，若a+a:+a5=3,则S,=(A)r A.5 B.7 C.9 D.11 3.(寒假作业)抛物线y=2x2的焦点坐标为(D) .0 c.o n.0.3 4、(寒假作业)若点P(4,2)为圆x2+y2-6x=0的弦W的中点，则弦W所在的直线方程为 (C) A.2x+y-10=0B.x-2y-8=0C.x+2y-8=0 D.2x-y-6=0 5、(赛假作业)与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点且过点(-3,2)的椭圆的标准方程为（B), 6、(教材习题政编)已知直线：ax+2y=0与直线：x+(a+1y+4=0,则“a=1”是“1112” (A)知 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7、(寒假作业)设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(DB+DC-2D-(AB-AC)=0, 则△4BC一定是(B) A.直角三角形 B等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形例 8、(学法大视野)已知曲线y=ae+x血x在点L,ae)处的切线方程为y=2x+b则(D) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=el,b=1 D.a=e,b=-1 二、多项选择题（每小题6分，3个小题共18分，全部选对得6分，有选错的得0分，部分 选对的得部分分.) 9、(寒假作业)关于双曲线，y2-4x2=-16:下列说法正确的有(C）￥ A.实轴长为4B.焦点为（±25,0）C.右焦点到一条渐近线的距离为4D.离心率为5 10、(寒假作业改编)已知数列{a}的前n项和为S。,下列说法正确的有(BD) A.若Sn=(m+)2,则数列a}是等差数列 B.若数列{a.}是等差数列且a>0,S=S,则当n=13时，Sn取得最大值 C.若数列{a}是等比数列，则.S4.S。-S,S-S.成等比数列 D.若数列{an}是等差数列，则S21=(2n+Da1 日、（寒假作业）若方程二+ +上=1所表示的曲线为C,则下列四个命题正确的是（C” A若C为椭圆，则1<t<3 B.若C为双曲线.则t>3或t<1 C.曲线C可能是圆 D.若C为椭园且长轴在y轴上，则1<t<2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）+ 12、函数y=血严的单调递增区间为一(0，g_ 13、(教材原题)某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动， 共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天 收到的捐款都比前一天多10元这次募捐活动一共进行了15 天 、(24年高考题)设双曲线C:。-1的左、右焦点分别为R,,过r作平行于y抽 直线交曲线C于AB两点，|F4=13,AB=10,则C的离心率为 3 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15、(寒假作业改编)（本小题满粉13分，(1）(2)各4分，(3)5分)分别求符合下列条件 的直线的方程 (1)过点42.D且倾斜角为120 (2)过点P1,4)且与直线2x-y+1=0平行 (3)过点P2.D且在两坐标轴上的截距相等 (1)5x+y-1-25=0 (2)2x-y+2=0 (3)x-2y=0或x+y-3=0 16.(本小题满粉15分)已知等差数列{a,}的前n项和为S.,等比数列他J的前n项和为T., 且a=4=14+6=2w (1)若a+=3,求b3的通项公式 (2)若T=21,求S )由@，十b-3.得2+g一么将其与d+-1联立.解得-（会去.发 s0 d=-1, 写-2“图此，6，的通项公式为6- (2)由b,=1,T3=21,得g2+g-20=0,解得g=-5或4.当g=一5时，由d+q-1. 得4=6，则S=21:当9=4时，由+g=1,得d=-3.则S=-6.因此.S等于21或-6. 17.(2025株洲一模)（本小题满粉15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形， 2B0-骨 (1)求证：PB⊥AD, (2)若PB=6,求直线BD与平面PAC所成角的正弦 解：(I)证明：取AD的中点E,连接PE,BE.1分 :四边形ABCD为菱形，且∠B4D=60°，则BE⊥AD,.2分 (第15题图】 又，△PAD为等边三角形 .PE⊥AD,3分 而PEOBE-E,.4分 .AD⊥平面PBE5分 又PBC平面PBE,∴PB⊥AD 4…6分 (2) 解法一：若PB=6,由EB=EP=5可知，PE⊥EB,7分 而PE⊥AD.故PE⊥平面ABCD,而BE⊥AD.以点E为原点，EA,EB,EP分别为x轴、y轴、 轴的正方向建系.…8分 则A1.0.0),P0.0.V3),B0,5.0),D(-1,0.0),C(-2,5.0. 故DB=L√5,0)，P=-10⑤.AC=(-3,5,0) .9分 设平面P4C的法向量n=(x,只，) m1P.maP=0「-x+5:=0 n⊥ACn.AC=0-3x+5y=0 令x=5,则y=3,z=1 所以，平面P4C的法向量n=(53,).…1分 设直线BD与平面P4C所成角为B, 六血0cos<8D,n+BDa 1×√5+V5×3+0x1| 239 IBDP+(5衍×V(W5+3+I 13 2W39 所以直线BD与平面PAC所成角的正弦值为3 .13分 18、(赛假作业)（本小题满分17分）设数列{a,)满足a+3a++(2n-1)a,=n (1)求数列{a,}的通项公式 (2)求数列 的前n项和Sn+ 2n+1 用刀程想想评价学生的运算求解能力和推理论证能力. 13(1)因为a十3a:十十(2n-1)a,-n,故当n≥2时，a,+3a1+…十(2m-3)a4 g一1上述两式相减，得(2一a.=L所以a2气m2.由题意，可得a-1.当= 1时，a,一2×一一1仍然成立，从而a,的通项公式为a,一2与 ②记的前”项和为5，由①知21-2n+D2n- 马则s+号)++(6】 本题士距通计制修问面在从， 2n+1 19、(寒假作业改编)（本小题满粉17分，(1），(2)各6分，(3)5分)过双曲线-二 1 36 的右焦点F倾斜角为60的直线1交双曲线于4B两点，0为坐标原点 (1)求AB1: (2)求△4OB的面积 (3)证明：|A引+BE日A5|+B1 (1)右焦点为FG0),直线1的方程为y=√5x-3)…2分 设，).B(x22)P 由2--6=0得2-18x+33=0,所以5+5=185=33，一4分 y=5(x-3) |AB=0+[%+x)2-4J=V4082-4×33)=165…6分+ (2)原点00,0到直线1：x-y-35=0的距离d-358分 所以5a-d=16w5x23 2 =36…12分 (3)证明：由(2)知直线1与双曲线的右支相交于AB两点，由双曲线的定义得 |A引-4=25BR引-B5=2515分 所以AE1-AFBR|-BE,整理得AR引+BE曰AE|+BR引：17分 炎陵县 2025 年上期高二 数学 入学检测卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2、设是等差数列的前项和,若,则( ) A.5 B.7 C.9 D. 11 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4、若点为圆的弦MN的中点,则弦MN所在的直线方程为(　　) A. 　 B. 　 C．　　　 D． 5、与椭圆有相同焦点且过点(-3,2)的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 6、 已知直线与直线,则“”是“”(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则一定是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D. 等边三角形 8、已知曲线在点处的切线方程为则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，3个小题共18分，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9、关于双曲线：下列说法正确的有（ ） A.实轴长为4 B.焦点为 C.右焦点到一条渐近线的距离为4 D.离心率为5 10、已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ） A.若，则数列是等差数列 B.若数列是等差数列且，则当时，取得最大值 C. .若数列是等比数列，则.成等比数列 D. 若数列是等差数列，则 11、若方程所表示的曲线为C，则下列四个命题正确的是（ ） A若C为椭圆,则 B. 若C为双曲线,则或 C. 曲线C可能是圆 D. 若C为椭圆且长轴在轴上,则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12、 函数的单调递增区间为 13、某中学的 “希望工程” 募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动， 共收到捐款1200 元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前-一天多10元这次募捐活动一共进行了 天. 14、设双曲线C:的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交曲线C于两点，，则C的离心率为 四、解答题（本大题共5小题，共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分13分，（1）（2）各4分，（3）5分）分别求符合下列条件的直线的方程 （1）过点且倾斜角为 （2）过点且与直线平行 （3）过点且在两坐标轴上的截距相等 16．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且 （1）若，求的通项公式 （2）若，求 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形， （1）求证： （2）若，求直线BD与平面PAC所成角的正弦值 18、（本小题满分17分）设数列满足 （1）求数列的通项公式 （2）求数列的前项和 19、（本小题满分17分，（1），（2）各6分，（3）5分） 过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 （1）求； （2）求 的面积 （3）求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$