精品解析：湖南省岳阳市岳阳楼区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年下期期末教学质量监测八年级数学试卷 温馨提示： 1．本试卷共3道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内； 3．考试结束后，考生不得将答题卡带出考场． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 2. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果，两边同时加上5得，则A不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则B不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则C符合题意； 如果，两边同时乘得，则D不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解． 【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意； B、 ，故该选项不正确，不符合题意； C、 ，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键． 4. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 5. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 6. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即分式的值保持不变， 故选：D． 8. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及内错角、对顶角、平方根和不等式的性质。根据初中数学知识逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A.内错角相等只有在两直线平行时才成立，该命题是假命题，不合题意． B.对顶角总是相等，该命题是真命题，符合题意． C.若，则，不一定，，该命题是假命题，不合题意． D.若，当、为负数时，可能小于，该命题是假命题，不合题意． 故选：B． 9. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可． 【详解】解：∵式子有意义 ∴，解得：． 故答案为：． 12. 各种不同的物质，它们的分子直径不同，较小的氢分子直径为厘米，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法-表示较小的数，对于科学记数法，一般表示为，其中，当数的绝对值小于1时，为负数，利用科学记数法-表示较小的数的方法即可得出答案．熟练掌握科学记数法表示较小的数的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 不等式的解集是_______ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 14. 若m，n为实数，且，则的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的平方根是． 故答案为：． 15. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 16. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 17. 为替助灾区群众重建家园，岳阳市组织开展2024年“慈善一日捐——灾后重建”募捐活动，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意，列式，即可作答． 【详解】解：依题意，第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，且两次人均捐款额恰好相等．设第一次捐款人数为x人， ∴x满足的方程是， 故答案为：． 18. 对于正数，规定，例如：，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，分式的加法运算，涉及新定义运算，根据，得到，从而得到规律，运用规律计算即可得到答案，理解新定义运算并发现规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】利用零指数幂，二次根式的性质对各项进行计算，再依次进行合并即可．本题考查了零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当 时， 原式. 21. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】， 解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查解不等式组、数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法并正确求出解集是解答的关键．先求得每一个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可，注意端点为实心点． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为 22. （1）等腰三角形的一个外角为，求它的顶角度数． （2）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）或；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，等边对等角，尺规作图． （1）分两种情况：顶角的外角是和底角的外角是，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可． （2）过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）三角形的一个外角为， 三角形的一个内角为 当为顶角时，所求顶角度数为； 当为底角时，顶角度数； （2）等腰直角如图所示： ． 23. 如图，已知，，，，，且点B在线段上． （1）求的长； （2）猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）证明求出的长，进而求出的长即可； （2）根据三角形内角和定理证明，进而证明，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元 （2）该商场最少购进甲种纪念品件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元． 【小问2详解】 设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该商场最少购进甲种纪念品件． 25. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组 研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： （1）直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解： ； ． 的有理化因式是；后分母有理化的结果为． 【小问2详解】 ， ． ， ． 【小问3详解】 ． 26. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3）的面积为10； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后证明出； （2）同（1）可得，，得到，然后根据结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （4）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末教学质量监测八年级数学试卷 温馨提示： 1．本试卷共3道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内； 3．考试结束后，考生不得将答题卡带出考场． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 5. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 8. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 若，则 D. 若，则 9. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 各种不同的物质，它们的分子直径不同，较小的氢分子直径为厘米，用科学记数法表示为________． 13. 不等式的解集是_______ 14. 若m，n为实数，且，则的平方根是________． 15. 分式方程的解为______． 16. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 17. 为替助灾区群众重建家园，岳阳市组织开展2024年“慈善一日捐——灾后重建”募捐活动，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是________． 18. 对于正数，规定，例如：，，则的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． 22. （1）等腰三角形的一个外角为，求它的顶角度数． （2）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 23. 如图，已知，，，，，且点B在线段上． （1）求的长； （2）猜想与的位置关系，并说明理由． 24. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 25. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组 研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： （1）直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 26. 【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $