第03讲 乘法公式（6个知识清单+6类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第03讲 乘法公式 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01运用平方差公式进行运算.................................................................................................................................................3 题型02平方差公式与几何图形.....................................................................................................................................................5 题型03运用完全平方公式进行运算.............................................................................................................................................7 题型04完全平方公式在几何图形中的应用.................................................................................................................................8 题型05整式乘法混合运算...........................................................................................................................................................13 题型06多项式乘多项式——化简求值.......................................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................17 夯实基础.........................................................................................................................................................................................17 能力提升.........................................................................................................................................................................................30 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点4．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点5．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点6．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型01运用平方差公式进行运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用平方差公式进行计算： (1)； (2)． 题型02平方差公式与几何图形 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增加了还是减少了？通过计算说明理由． 题型03运用完全平方公式进行运算 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意有理数A，B，现用“☆”定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算的结果是 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若x满足，求的值． 题型04完全平方公式在几何图形中的应用 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的倍，则大正方形与小正方形的面积之比为（   ） A． B． C． D． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）一个正方形的边长增加到原来的3倍还多，它的面积就增加到原来的9倍还多，则这个正方形原来的边长是 ． 12．（24-25七年级下·全国·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成如图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来） 图1表示：_________________； 图2表示：_________________； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 题型05整式乘法混合运算 13．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）找出以下几组算式的规律．；；；；如果，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）方程的解为 ． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距c米． (1)用多项式表示一个游泳池的面积； (2)当时，求两个游泳池的总面积． 题型06多项式乘多项式——化简求值 16．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值是 ． 18．（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 夯实基础 一、单选题 1．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列算式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（　　） A． B． C．2 D．4 5．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ） A．a+b=c B．ab=c C． D． 6．下列计算中，正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分的面积为（　　） A．2.5 B．2 C．3.5 D．1 8．如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．计算的结果等于 ． 10．已知，则 ． 11．填空 （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 12．若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 13．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 14．计算：（1） ；（2） ． 三、解答题 15．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 16．先化简，再求值：，其中，． 17．一块长为，宽为的长方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为的小正方形然后将剩余部分折成一个无盖的盒子，则这个盒子的表面积是多少？ 18．计算． (1)； (2)． 19．用乘法公式计算： (1)； (2)． 20．我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 能力提升 一、单选题 21．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ） A．a+b=c B．ab=c C． D． 22．关于m的一元二次方程的一个根为2，则的值是（    ） A．25 B．26 C．27 D．1 二、填空题 23．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是 ； 24．如果，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 26．先化简，再求值：已知的结果中不含关于字母的一次项，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 乘法公式 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01运用平方差公式进行运算.................................................................................................................................................3 题型02平方差公式与几何图形.....................................................................................................................................................5 题型03运用完全平方公式进行运算.............................................................................................................................................7 题型04完全平方公式在几何图形中的应用.................................................................................................................................8 题型05整式乘法混合运算...........................................................................................................................................................13 题型06多项式乘多项式——化简求值.......................................................................................................................................15 分层练习.........................................................................................................................................................................................17 夯实基础.........................................................................................................................................................................................17 能力提升.........................................................................................................................................................................................30 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点4．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点5．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 知识点6．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 题型01运用平方差公式进行运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式计算即可求解，掌握整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用平方差公式进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的运用．熟练掌握平方差公式，把两个因数分别转化成二数和与二数差，是解题的关键． （1）先将原式变形为二数和与二数差的积，再根据平方差公式求解即可； （2）先将原式变形为二数和与二数差的积，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型02平方差公式与几何图形 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形，计算其面积，根据面积不变性质，建立等式解答即可． 本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形， 根据面积不变性质，建立等式得． 故选：D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为： 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增加了还是减少了？通过计算说明理由． 【答案】增加了，改造后草坪面积增加了144平方米．理由见解析 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】用正方形的边长表示出原来长方形的长，宽，计算其面积，与正方形的面积作差比较即可． 本题考查了平方差公式的应用，整式的加减运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：增加了．理由如下： 由题可得，原来长方形草坪长米，宽米，面积为平方米，则草坪面积的变化为（平方米）， 故改造后草坪面积增加了144平方米． 题型03运用完全平方公式进行运算 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意有理数A，B，现用“☆”定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题目中给出的定义利用完全平方公式化简计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算的结果是 ． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若x满足，求的值． 【答案】11 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，多项式乘多项式，结合完全平方公式求得关于的等式是解题的关键．设，可得，再利用完全平方公式可得，即可求解的值，进而可求解． 【详解】解：设， 则， 所以， 所以， 解得， 即． 题型04完全平方公式在几何图形中的应用 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的倍，则大正方形与小正方形的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得，图②阴影部分面积，图③阴影部分面积，即得，得到，据此即可求解，根据图形表示出图①②阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：由图②可得，阴影部分面积， 由图③可得，阴影部分面积， ∵图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的倍， ∴， 整理得，， ∴， ∴， 故选：． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）一个正方形的边长增加到原来的3倍还多，它的面积就增加到原来的9倍还多，则这个正方形原来的边长是 ． 【答案】4 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设这个正方形原来的边长为，则原来的面积就是，边长增加后的面积就是．根据“边长增加后的面积原来面积的9倍”即可列方程解答． 【详解】解：设正方形原来边长为，根据题意得： ， ， ， 解得， 即这个正方形原来的边长为． 故答案为：4． 12．（24-25七年级下·全国·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成如图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来） 图1表示：_________________； 图2表示：_________________； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)， (2)12 (3)． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可． （3）根据，，，，可以利用代入求值即可． 【详解】（1）解：（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （2）解：， ，， ； （3）解：由题意得， ， ， ， ， ， ， 阴影． 即图中阴影部分的面积为． 题型05整式乘法混合运算 13．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）找出以下几组算式的规律．；；；；如果，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式乘法混合运算、数字类规律探索 【分析】通过观察，下边算式的数字比上边对应算式的数字一个小1，一个大1，结果也小1，由此得出规律即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得：下边算式的数字比上边对应算式的数字一个小1，一个大1，结果也小1， ∴如果，那么． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律探究，要从给出的特例着手，仔细观察，得到启示，找出一般规律，然后运用规律做题． 14．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，解一元一次方程，先根据整式乘法运算法则化简方程，然后再解一元一次方程即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 即． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距c米． (1)用多项式表示一个游泳池的面积； (2)当时，求两个游泳池的总面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算 【分析】此题考查了整式乘法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形表示出每一个游泳池的长与宽，即可表示出面积； （2）结合（1）的结论，将带入到整式并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意得：； （2）两个游泳池的面积为， 将代入上式，得． ∴两个游泳池的总面积为． 题型06多项式乘多项式——化简求值 16．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则的值是 ． 【答案】// 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值 【详解】本题考查代数式的求值、多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则将展开即可得出结果． 【分析】解： ∵，， ∴原式 故答案为：． 18．（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 夯实基础 一、单选题 1．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可. 【详解】解：，此时计算最简便； 故选B 2．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式的计算方法是解题的关键． 根据平方差公式进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B ． 3．下列算式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式求解即可判断出来． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．已知，则（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键．先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ） A．a+b=c B．ab=c C． D． 【答案】D 【分析】将a，c相加可得c=0，再将c代入c＝，即可得a，b的关系． 【详解】∵a+c＝+＝a， ∴c=0， ∴＝0， ∴a-b+c=0， ∴a=b， ∴=(a-b)(a+b)=0=c2． 故选：D． 【点睛】本题考查了整数的加减，平方差公式的应用，关键将a与c相加得出c等于0． 6．下列计算中，正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式，根据单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：故运算正确，符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 综上可知：运算正确，共个， 故选：． 7．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分的面积为（　　） A．2.5 B．2 C．3.5 D．1 【答案】C 【分析】由图可知阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，列代数式，利用完全平方公式进行变形，将，整体代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知： ， 把，代入可得： ． 故选C． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握，能够根据面积关系列出代数式． 8．如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积差列方程． 【详解】①大正方形的边长为a+b，面积为100 故①正确 ②小正方形的边长为a-b，面积为16 故②正确 ③ 故③错 ④ 故④正确 故选C 【点睛】此题考查了平方差公式、完全平方公式及数形结合的应用，关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，对每一项进行分析计算，进而得出结果． 二、填空题 9．计算的结果等于 ． 【答案】18 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键． 10．已知，则 ． 【答案】 【分析】运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：已知， ∴，展开得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 11．填空 （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；；； 【点睛】本题考查了平方差公式，整式的乘法运算，掌握平方差公式是解题的关键． 12．若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 【答案】或或 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可． 【详解】解：，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 13．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，完全平方公式，利用整体代入法是解题关键．由一元一次方程的解的定义得到，再将变形为，代入计算求值即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故答案为：14． 14．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是： （1）利用多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则进行计算，可得到答案； （2）利用平方差公式进行计算，可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：. 三、解答题 15．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2． 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当，时，原式=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．一块长为，宽为的长方形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为的小正方形然后将剩余部分折成一个无盖的盒子，则这个盒子的表面积是多少？ 【答案】这个盒子的表面积是 【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法混合运算，解题的关键是根据题意列出算式．用长方形的面积减去4个小正方形的面积得出剩余部分的面积，即可得出这个盒子的表面积． 【详解】解：依题意，得： ． 即这个盒子的表面积是． 18．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为，然后利用完全平方公式进行计算即可； （2）将变形为，然后利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义将原式变形为，再利用平方差公式进行简便运算； （2）根据新定义将原式变形为，通过整理可得一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 所以当时，． 能力提升 一、单选题 21．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ） A．a+b=c B．ab=c C． D． 【答案】D 【分析】将a，c相加可得c=0，再将c代入c＝，即可得a，b的关系． 【详解】∵a+c＝+＝a， ∴c=0， ∴＝0， ∴a-b+c=0， ∴a=b， ∴=(a-b)(a+b)=0=c2． 故选：D． 【点睛】本题考查了整数的加减，平方差公式的应用，关键将a与c相加得出c等于0． 22．关于m的一元二次方程的一个根为2，则的值是（    ） A．25 B．26 C．27 D．1 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的解得到，然后方程两边同时除以n得到，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵关于m的一元二次方程的一个根为2， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题 23．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是 ； 【答案】7 【分析】将已知等式变形成零加零的形式求得的值，再根据题意及三边关系求得，即可求解 【详解】 、、都是正整数 的周长 故答案为:7 【点睛】本题考查了非负数之和为0，三角形三边关系，求解不等式组的正整数解，完全平方公式，熟悉以上知识点是解题的关键． 24．如果，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 // 【分析】（1）根据可得，即有，，将去括号，再代入计算即可； （2）变形为，将，代入计算即可求解． 【详解】（1） 即：，， ， 故答案为：； （2）根据（1）中可知：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，根据等式的恒等性得出，是解题的关键． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．先化简，再求值：已知的结果中不含关于字母的一次项，求的值． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式的法则，平方差公式，合并同类项，首先利用多项式的乘法法则计算，由结果中不含关于字母的一次项，即一次项系数等于，即可求得的值，然后把所求的式子化简，然后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】由 ， ∵的结果中不含关于字母的一次项， ∴，解得：， 由 ， 当时， 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$