第02讲 整式的乘法（3个知识清单+6类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第02讲 整式的乘法 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01计算单项式乘单项式........................................................................................................................................................2 题型02计算单项式乘多项式及求值............................................................................................................................................4 题型03单项式乘多项式的应用....................................................................................................................................................6 题型04计算多项式乘多项式........................................................................................................................................................8 题型05多项式乘多项式与图形面积...........................................................................................................................................11 题型06（x+p）（x+q）型多项式乘法.......................................................................................................................................14 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................27 知识点1．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点2．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点3．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 题型01计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式乘以单项式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握单项式乘以单项式，积的乘方的运算法则． 根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】A．，A错误； B. ，B正确； C．，C错误； D．，D错误． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型02计算单项式乘多项式及求值 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据单项式乘多项式运算法则进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若等式□成立，则□内应填 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了去括号与添括号，根据去括号法则计算即可作出判断． 【详解】解：， 所以□内应填写， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型03单项式乘多项式的应用 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可． 【详解】解： ， 故被墨水污染了的应是， 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高如图所示，则它的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查单项式的乘法，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．先根据长方体的体积等于长、宽、高的乘积列出代数式，再根据单项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解：由题意，该长方体的体积为， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 【答案】（1）   （2）    （3）64 【知识点】列代数式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，关键是割补思想的应用； （1）由，结合整式的乘法即可求解； （2）由，结合整式的乘法即可求解； （3）利用（1）（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）连接，如图3， 由（1）可得的面积， 由（2）可得：三角形的面积为， 所以，的面积， 故答案为：64． 题型04计算多项式乘多项式 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算即可得． 【详解】解： ， 则计算的结果中，含的项的系数为， 故选：A． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个三角形的底边长为，底边上的高为，则该三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的运用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边长为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握单项式和多项式的运算法则是解决本题的关键． （1）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （2）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （3）先利用多项式乘多项式计算，再合并同类项； （4）先利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型05多项式乘多项式与图形面积 13．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，若要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（    ）    A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的运用．由题意知要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形的面积应该等于的积，运算多项式乘多项式法则展开即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 需要类卡片4张， 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长、宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 ． 【答案】 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘多项式等知识点，根据图形正确列出代数式是解题的关键． 由题意可知，小阳同学这幅作品的长为，宽为，然后根据“面积长宽”即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：小阳同学这幅作品的长为，宽为， 小阳同学的这幅作品的面积是：， 故答案为：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 【答案】（1）；（2）需要15个C类图形；（3）， 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用； （1）根据图③面积两种求法即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边． 【详解】解：（1）图③面积由面积公式可得，由四个图形拼成可得面积， ∴； 故答案为：； （2）∵，边长为b的大正方形（C类）面积为， ∴长方形的长和宽分别为和，需要15个C类图形； （3）图形如下： ∴长方形的面积为，它长是，宽是． 故答案为：，． 题型06（x+p）（x+q）型多项式乘法 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先利用多项式乘以多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）已知，则 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据多项式乘法法则将括号展开后再合并，根据系数相等求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 又 ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 18．（七年级下·北京昌平·期末）计算： 【答案】x2+x-2． 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式=x2+2x-x-2 =x2+x-2． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 夯实基础 一、单选题 1．若，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出关于m，n的等式求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故， 解得：， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握多项式乘法运算法则是解题关键． 2．一个长方形的长、宽分别是和，则这个长方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：长方形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查用字母表示数量关系，多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握法则． 根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．若等式____________成立，则____________填写的单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的混合运算，利用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：由题意得，． 则填写的单项式可以是． 故选：C． 5．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算积的乘方、再计算单项式乘多项式，将所得的结果与选项对比即可． 【详解】解： = =， 故选：C． 【点睛】本题考查积的乘方和单项式乘多项式，熟记法则，能依据法则计算是解题关键． 6．已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 【答案】C 【分析】先按照整式乘法法则运算可得，再加括号可得，最后将整体代入即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、整式的乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 8．长方形的一边长为，另一边长比它小，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据整式的加减求出长方形的另一边长，再利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵长方形的一边长为，另一边长比它小， ∴这个长方形的另一边长为， ∴长方形的面积为 ， 故选：D． 二、填空题 9．去括号： ． 【答案】/ 【分析】本题考查去括号，单项式乘多项式，将分别与和相乘，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了单项式的乘法以及同底数幂的乘法运算，理解并掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．根据单项式的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：6． 11．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为，再根据整式的混合运算法则整理即可． 【详解】解：由题意得，小芳卧室的面积 ． 故答案为：． 12．计算a2•（﹣6ab）的结果是 ． 【答案】 【分析】利用单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】∵•（﹣6ab）=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键． 13．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为 ； 【答案】 【分析】首先利用多项式乘以多项式法则进行计算，再根据结果中不含x的一次项(即一次项的系数为零)求出a的值即可． 【详解】解： 的展开式中不含有x的一次项， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 14．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 【答案】23 【分析】本题考查多边形的乘法与图形的面积．设，，用含，的式子表示，，，根据列方程，即可解得答案． 【详解】解：设，， 三个正方形，，的边长分别为4，3，2， ，，， ，，， ， ， 化简整理得：， ，即大长方形的面积为23， 故答案为：23． 三、解答题 15．先化简，再求值 ，已知，． 【答案】，37． 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，最后把，代入中即可得． 【详解】解：原式= =， 把，代入得：=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算法则． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方运算，合并同类项等知识，正确运用法则是解题的关键． （1）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则即可求解； （2）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则即可求解； （3）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则，合并同类项法则即可求解； （4）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则，合并同类项法则即可求解． 【详解】（1）解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 17．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)变小了，理由见解析 【分析】（1）将改造后池塘的长与宽分别用代数式表示出来，即可计算出长方形的面积； （2）将改造前后的面积作差，即可判断出大小． 【详解】（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a+3）m，宽为（2a-3）m， ∴改造后的面积为：． （2）原来的面积为：， ∵＞0， ∴改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了． 【点睛】本题考查了列代数式、整式的乘法及平方差公式等知识，能够根据题意列出代数式并根据公式法则进行运算是解题关键． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知．当时，求对称式的值． 【答案】(1)①③； (2)6． 【分析】本题主要考查了新定义，分式的求值，多项式乘以多项式： （1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，即可做出选择； （2）已知，则可得到；进而得到，再根据进行代值计算即可； 【详解】（1）解：根据“对称式”的意义，得①③是“对称式”，②不是是“对称式”， 故答案为：①③； （2）解：∵， ∴； ∴当时，， ∴。 20．（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积； （2）根据题目中的图形，可得这块长方形地块的长为，宽为，利用面积公式计算即可． 【详解】解：（1）纸片的面积是：， 小正方形的面积是：， 则折成无盖盒子所用硬纸片的面积是． （2）长方形地的长为，宽为， 这块地的面积为． 能力提升 一、单选题 21．设（2x﹣1）3＝ax3＋bx2＋cx＋d，则下列结论：①a＝8；②a＋b＋c＋d＝1；③a＋c＝14；④b＋d＝﹣13．正确的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd可解决此题． 【详解】解：∵（2x−1）3 ＝（2x−1）2（2x−1） ＝（4x2＋1−4x）（2x−1） ＝8x3−4x2＋2x−1−8x2＋4x ＝8x3−12x2＋6x−1， ∴a＝8，b＝−12，c＝6，d＝−1． ∴a＋b＋c＋d＝1，a＋c＝14，b＋d＝−13． ∴①②③④均正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 22．下列计算中，正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式，根据单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：故运算正确，符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 综上可知：运算正确，共个， 故选：． 二、填空题 23．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 24．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为，例如：时，．对于两位正整数与，其中，(，且为整数)．若能被5整除，则的值为 ，在此条件下，若，其中为整数，则此与乘积的最大值为 ． 【答案】 5 9118 【分析】本题考查了整式的乘法运算，二元一次方程的整数解，理解整除的意义是解题的关键．根据题意列式表示，并根据整除的意义求解． 【详解】解：， ， 能被5整除，， ； ， ∴同理可得：， ， ， ， ， ， 为整数， 或， ∴是奇数，是偶数， ∴x是奇数， 又，，要使与乘积的最大值，s与t都要取最大值， ∴x的最大值是9， 将代入或中得：或， 解得：或5或2或7， ∴，时，当， ，， 的值为：94或83或72或61， 的最大值为：， 故答案为：5，9118． 三、解答题 25．小明设计了两张卡片，第一张的宽是，长比宽多，第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多． (1)求第二张卡片的长与宽； (2)求第二张卡片的面积． 【答案】(1)第二张卡片的长是，宽是 (2)第二张卡片的面积是 【分析】本题考查了整式的加减和多项式乘多项式，熟练掌握多项式的法则是解题的关键； （1）根据整式的加减法则，列式即可； （2）根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则计算即可解答． 【详解】（1）解：∵第一张的宽是，长比宽多， ∴第一张的长为， ∵第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多， ∴第二张的宽是，第二张的长是，即； （2）解：第二张卡片的面积是． 26．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（）． (1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________； (2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为，每个丙种矩形纸板的面积为，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】（1）根据图形可得九张小纸板面积的和；根据图形可知用两边的乘积表示为；根据等面积法即可得出 （2）根据题中条件可以得到，，恒等变形即得，结合几何意义即可得到，从而求得结论． 【详解】（1）解：观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为；根据图形可知用两边的乘积表示为；根据等面积法即可得出； 故答案为：， ，； （2）解：根据题意可得：，， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为． 【点睛】本题考查看图写代数式以及因式分解得实际应用，看懂图形，读懂题意，利用因式分解恒等变形得到要求的量是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式的乘法 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01计算单项式乘单项式........................................................................................................................................................2 题型02计算单项式乘多项式及求值............................................................................................................................................4 题型03单项式乘多项式的应用....................................................................................................................................................6 题型04计算多项式乘多项式........................................................................................................................................................8 题型05多项式乘多项式与图形面积...........................................................................................................................................11 题型06（x+p）（x+q）型多项式乘法.......................................................................................................................................14 分层练习.........................................................................................................................................................................................15 夯实基础.........................................................................................................................................................................................15 能力提升.........................................................................................................................................................................................27 知识点1．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点2．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点3．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 题型01计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型02计算单项式乘多项式及求值 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若等式□成立，则□内应填 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型03单项式乘多项式的应用 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高如图所示，则它的体积为 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 题型04计算多项式乘多项式 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个三角形的底边长为，底边上的高为，则该三角形的面积为 ． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05多项式乘多项式与图形面积 13．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，若要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（    ）    A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长、宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 题型06（x+p）（x+q）型多项式乘法 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）已知，则 18．（七年级下·北京昌平·期末）计算： 夯实基础 一、单选题 1．若，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．一个长方形的长、宽分别是和，则这个长方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．若等式____________成立，则____________填写的单项式可以是（   ） A． B． C． D． 5．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．长方形的一边长为，另一边长比它小，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．去括号： ． 10．若，则 ． 11．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 12．计算a2•（﹣6ab）的结果是 ． 13．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为 ； 14．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 三、解答题 15．先化简，再求值 ，已知，． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 18．计算： (1)； (2)． 19．阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知．当时，求对称式的值． 20．（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 能力提升 一、单选题 21．设（2x﹣1）3＝ax3＋bx2＋cx＋d，则下列结论：①a＝8；②a＋b＋c＋d＝1；③a＋c＝14；④b＋d＝﹣13．正确的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 22．下列计算中，正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 23．计算： ． 24．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为，例如：时，．对于两位正整数与，其中，(，且为整数)．若能被5整除，则的值为 ，在此条件下，若，其中为整数，则此与乘积的最大值为 ． 三、解答题 25．小明设计了两张卡片，第一张的宽是，长比宽多，第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多． (1)求第二张卡片的长与宽； (2)求第二张卡片的面积． 26．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（）． (1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________； (2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为，每个丙种矩形纸板的面积为，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$