第03讲 乘法公式（5个知识清单+7类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第03讲 乘法公式 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01运用平方差公式进行运算.................................................................................................................................................3 题型02平方差公式与几何图形.....................................................................................................................................................5 题型03运用完全平方公式进行运算.............................................................................................................................................7 题型04通过对完全平方公式变形求值........................................................................................................................................10 题型05完全平方公式在几何图形中的应用................................................................................................................................13 题型06求完全平方式中的字母系数............................................................................................................................................18 题型07完全平方式在几何图形中的应用....................................................................................................................................19 分层练习.........................................................................................................................................................................................22 夯实基础.........................................................................................................................................................................................22 能力提升.........................................................................................................................................................................................38 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 题型01运用平方差公式进行运算 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能熟记公式是解题的关键，；根据平方差公式判断即可． 【详解】A、不能用平方差公式进行计算，故本选项错误； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项错误； C、能用平方差公式进行计算，故本选项正确； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项错误； 故选：C 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）用简便方法计算： ． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 按照平方差公式将进行转化为，即可简便计算结果. 【详解】 ． 故答案为：1． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、平方差公式、合并同类项，正确求解是解答的关键． （1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可求解； （2）利用平方差公式求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型02平方差公式与几何图形 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式，能够表示出左右两个图形的面积是解题的关键． 把大正方形的面积与小正方形的面积用字母表示出来，再用大正方形的面积减去小正方形的面积得到平行四边形的面积． 【详解】大正方形的面积为：，小正方形的面积为： 则平行四边形的面积=． 故选：C． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）在一个边长为的正方形中间挖出一个边长为的正方形，剩余部分的面积为 ． 【答案】150 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据正方形的面积列式，再通过平方差公式进行变形，即可作答． 【详解】解：∵在一个边长为的正方形中间挖出一个边长为的正方形， ∴， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：150． 6．（22-23七年级·江苏宿迁·期中）图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）由图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再结合正方形的面积公式即可解答； （2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，从而可得出等式； （3）由平方差公式求解即可． 【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：． 故答案为：； （2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：． 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 将代入上式，得：， 解得：． 【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想是解题关键． 题型03运用完全平方公式进行运算 7．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，先求出，再把代入所求式子中利用完全平方公式求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知：，，…， 是从2，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为2的个数是 ． 【答案】35 【知识点】运用完全平方公式进行运算、加减消元法 【分析】本题考查完全平方公式、二元一次方程组，利用完全平方公式求得，设有m个2，n个0，k个，再根据题中的式子列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵，，…， 是从2，0，这三个数中取值的一列数， ∴设有m个2，n个0，k个， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 由得，， 解得， 即，，…，中为2的个数是35， 故答案为：35． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的方程组 (1)若，求的值； (2)设，，比较与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、加减消元法 【分析】本题考查加减消元法，完全平方公式，做差法比较大小等知识，运用加减法求得和是解题得关键． （1）将方程组两个方程相加得到，结合即可得解； （2）运用和求得，再代入，中，做差并判断符号即可得解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 又∵， ∴， 解得：； （2），理由如下： 由（1）得：， 得：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型04通过对完全平方公式变形求值 10．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，熟练的利用完全平方公式的变形求值是解本题的关键，由，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选：C． 11．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值 ． 【答案】36 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可． 【详解】解：设，则， 所以， 即， 所以， 即． 故答案为：36 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． (3)已知有理数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可； （3）根据题意得到，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值． 【详解】（1） ∵， ∴， ∴的最小值是； （2） ∵， ∴ ∴； （3）∵ ∴ ∴当时，最小，最小值为4． 题型05完全平方公式在几何图形中的应用 13．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．40 B．44 C．32 D．50 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用．由图可得，根据列式，再利用完全平方公式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：由图可知， ， =， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 14．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，C是上一点，分别以、为边画正方形与正方形，连接、．已知 ，的面积为，则正方形与正方形的面积的和为 ．    【答案】// 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设，根据正方形的性质得到，由得到，由的面积为，得到，据此利用完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵四边形、都是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积的和为， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握公式的变形是解题的关键． （1）根据同一个图形面积的不同表示方法求解； （2）根据（1）中的公式得，再整体代入求解； （3）先把题中的条件进行变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：∵图2中的阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为：， ∴图中阴影部分面积为9． 题型06求完全平方式中的字母系数 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（    ） A．2或 B．或 C． D．或0 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项分别为，则一次项为，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选：A． 17．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若多项式恰好是一个完全平方式，那么k的值= ． 【答案】或13 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 根据完全平方公式得，进行计算即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或13， 故答案为：或13． 18．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 题型07完全平方式在几何图形中的应用 19．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．    【答案】4 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量． 【详解】解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积是解题的关键． 20．（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形． (1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）； (2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________； (3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) (4) 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、列代数式 【分析】（1）根据观察图形，可得小正方形的边长； （2）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二； （3）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案； （4）根据（3）中的等量关系，可得答案． 【详解】（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为： （2）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①，②， 故答案为：； （3）由（2）中面积的两种表示方法可得：， 故答案为： （4）由（3）得 又∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．若，，求的值是（      ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，根据条件求出xy的值，将x-y平方后代入已求条件再开方即可求出． 【详解】∵， ∴， ∴． ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助． 2．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 3．已知，且，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平分公式的知识，解题的关键是掌握，进行计算，即可． 【详解】∵， ∴当，时，． 故选：C． 4．已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（    ） A．或 B．1 C． D．或 【答案】C 【分析】根据已知条件，得到，然后由为整数，进而得出结论． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为平方数， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，正确掌握做题的方法是解题的关键． 5．若，则的值是（     ） A．－3 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】把变形为，代入得到，根据非负数的性质求出a、b、c的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 把代入中得： ， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式的构造和非负数的性质，准确地对式子变形构造完全平方公式是解题的关键． 6．已知实数m，n满足，则的最小值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再判断出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴（当时，取等号）， ∴， ∴（当时，取等号）， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键． 7．若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解． 【详解】解：， ， 故． 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 8．分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有(　　) A．一组 B．两组 C．三组 D．四组 【答案】D 【分析】分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断 即可求解． 【详解】解：图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、， 所以有：， 因此图符合题意； 图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为， 所以有：， 因此图符合题意； 图，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为， 所以有：， 因此图符合题意； 图，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为， 另外两个长方形的长为，宽为，则面积为， 所以有， 即， 因此图4符合题意； 综上所述，四组均符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】40 【分析】根据平方差公式展开计算即可． 【详解】原式=． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了应用平方差公式解题，掌握平方差公式是解题的关键．即． 10．如图，在边长为a的正方形的右下角，剪去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于a，b的等式为 ． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式求出第一个图形的面积，根据平行四边形面积公式求出第二个图形的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵第一个图形的面积是， 第二个图形的面积是：， ∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是能用算式表示出阴影部分的面积． 11．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    （1）以上两个图形反映了等式： ； （2）运用（1）中的等式，计算 ． 【答案】 【分析】（1）根据图和图中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案； （2）原式可化为，再根据（1）中的结论进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可得， 图中阴影部分的面积为：， 图中长方形的长为，宽为， 面积为：， 则两个图形阴影部分面积相等，； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键． 12．若，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式 ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键． 13．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】4037 【分析】依据题意展开后得到，展开后得到，从而得到的值． 【详解】解：∵展开后得到， ∴； ∵展开后得到， ∴， ∴ ． 故答案为：4037． 【点睛】此题考查了完全平方公式及平方差公式，熟练运用其公式是解题关键． 14．如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形面积的一半减去小正方形面积的一半，再减去上下两个全等三角形的面积，求解即可． 【详解】解：依题意可得图中阴影部分的面积为 故答案为：6． 【点睛】考查学生对图形面积的计算以及把不规则图形问题转化成规则图形问题，涉及到三角形和正方形面积，再一个难点就是怎样利用完全平方公式把代数式化成含有或的式子，考查学生对完全平方公式运用的熟练程度． 三、解答题 15．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】先化简代数式，再代入数值求解即可． 【详解】解：原式= = = ， 当时， 原式= = =． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，涉及到了完全平方公式和平方差公式，解题关键是牢记公式． 16．化简求值： ，其中，． 【答案】，0 【分析】先算中括号里的，化简得，再将，代入即可得． 【详解】解： =-a-b， ∵，， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是能够正确化简． 17．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)变小了，理由见解析 【分析】（1）将改造后池塘的长与宽分别用代数式表示出来，即可计算出长方形的面积； （2）将改造前后的面积作差，即可判断出大小． 【详解】（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a+3）m，宽为（2a-3）m， ∴改造后的面积为：． （2）原来的面积为：， ∵＞0， ∴改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了． 【点睛】本题考查了列代数式、整式的乘法及平方差公式等知识，能够根据题意列出代数式并根据公式法则进行运算是解题关键． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】a2+3ab，． 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解：-a（a+b）+（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2， =-a2-ab+a2-4b2+a2+4ab+4b2 =a2+3ab， 当，b=33时， 原式=（）2+3××33 =+1 =． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 19．某市有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化． (1)绿化部分的面积是多少平方米（用含，的式子表示）？ (2)若，满足，求绿化部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）根据多项式乘以多项式求出a与b的值，再将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由题知，绿化部分的面积是 . 故绿化部分的面积是； （2）解：∵， 即， ∴，， ∴． 故绿化部分的面积是． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解本题的关键． 20．把一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1） (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示） 方法1：________________________． 方法2：________________________． (2)根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式，，间的等量关系：________________． (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足，，请求出的值 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （2）根据两种方法计算的阴影部分的面积相等即可得出三个代数式之间的等量关系； （3）将，，代入三个代数式之间的等量关系，求出的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）方法1：由题意得：阴影部分为一正方形，其边长正好为， ∴阴影部分的面积， 方法2：图中阴影部分的面积用大正方形的面积减去四个小长方形的面积可得：； （2）解：由图2得： 则； （3）解：，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查完全平方公式和长方形的面积公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法的运算法则以及完全平方公式解答即可． 【详解】A、，原计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法以及完全平方公式，解题的关键是熟记积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法的运算法则以及完全平方公式． 22．已知，，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．3954 D．4046 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的变形求解． 【详解】∵，， ① ② ①+②，得 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式及其变形求解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 23．若，则的值为 ． 【答案】//15.75 【分析】本题考查了立方和公式、完全平方公式以及代数式求值等知识，熟练掌握相关运算公式是解题关键．首先根据立方和公式可得，再用完全平方公式变形，整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ． 故答案为：． 24．若是完全平方式，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】根据完全平方公式的特点：首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 整理得：或， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先将原式变形为，然后利用平方差和完全平方公式计算即可； （）先将原式变形为，然后利用完全平方公式和单项式乘以多项式计算即可； 本题考查了添括号法则，平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：；构图三： 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，平方差公式的几何背景，数形结合，掌握列代数式准确表示题中几何图形关系是解题的关键． 构图一：（1）根据图1和图2中阴影部分的面积不变，数形结合列出代数式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式变形，再整体代入求解； 构图二：根据体积不变求解； 构图三：先求出小长方形的短边，再求解． 【详解】解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，根据阴影部分面积不变得到， 故选：B； （2）①，即， ， 故答案为：3； ②， 故答案为：1； 构图二：根据体积不变得； 构图三：由题意知小长方形的短边为， 八边形的面积为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 乘法公式 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01运用平方差公式进行运算.................................................................................................................................................3 题型02平方差公式与几何图形.....................................................................................................................................................5 题型03运用完全平方公式进行运算.............................................................................................................................................7 题型04通过对完全平方公式变形求值........................................................................................................................................10 题型05完全平方公式在几何图形中的应用................................................................................................................................13 题型06求完全平方式中的字母系数............................................................................................................................................18 题型07完全平方式在几何图形中的应用....................................................................................................................................19 分层练习.........................................................................................................................................................................................22 夯实基础.........................................................................................................................................................................................22 能力提升.........................................................................................................................................................................................38 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 题型01运用平方差公式进行运算 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）用简便方法计算： ． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）计算：（1）； （2）． 题型02平方差公式与几何图形 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（     ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）在一个边长为的正方形中间挖出一个边长为的正方形，剩余部分的面积为 ． 6．（22-23七年级·江苏宿迁·期中）图①、图②分别由两个长方形拼成： (1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 题型03运用完全平方公式进行运算 7．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知：，，…， 是从2，0，这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中为2的个数是 ． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的方程组 (1)若，求的值； (2)设，，比较与的大小关系并说明理由． 题型04通过对完全平方公式变形求值 10．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 11．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值 ． 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． (3)已知有理数x，y满足，求的最小值． 题型05完全平方公式在几何图形中的应用 13．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．40 B．44 C．32 D．50 14．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，C是上一点，分别以、为边画正方形与正方形，连接、．已知 ，的面积为，则正方形与正方形的面积的和为 ．    15．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 题型06求完全平方式中的字母系数 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（    ） A．2或 B．或 C． D．或0 17．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若多项式恰好是一个完全平方式，那么k的值= ． 18．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 题型07完全平方式在几何图形中的应用 19．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．    20．（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形． (1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）； (2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________； (3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 夯实基础 一、单选题 1．若，，求的值是（      ） A．8 B． C． D．4 2．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 3．已知，且，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（    ） A．或 B．1 C． D．或 5．若，则的值是（     ） A．－3 B．3 C．6 D．9 6．已知实数m，n满足，则的最小值为（　 　） A． B． C． D． 7．若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 8．分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有(　　) A．一组 B．两组 C．三组 D．四组 二、填空题 9．计算： ． 10．如图，在边长为a的正方形的右下角，剪去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于a，b的等式为 ． 11．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    （1）以上两个图形反映了等式： ； （2）运用（1）中的等式，计算 ． 12．若，那么的值为 ． 13．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 14．如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 15．先化简，再求值：．其中． 16．化简求值： ，其中，． 17．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．某市有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化． (1)绿化部分的面积是多少平方米（用含，的式子表示）？ (2)若，满足，求绿化部分的面积． 20．把一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1） (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示） 方法1：________________________． 方法2：________________________． (2)根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式，，间的等量关系：________________． (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足，，请求出的值 能力提升 一、单选题 21．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．3954 D．4046 二、填空题 23．若，则的值为 ． 24．若是完全平方式，则的值为 ． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 26．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$