第03讲 二次根式的加减（5个知识清单+8类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第03讲 二次根式的加减 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01同类二次根式......................................................................................................................................................................3 题型02二次根式的加减运算.........................................................................................................................................................5 题型03二次根式的混合运算.........................................................................................................................................................8 题型04分母有理化.......................................................................................................................................................................10 题型05已知字母的值，化简求值................................................................................................................................................12 题型06已知条件式，化简求值...................................................................................................................................................14 题型07比较二次根式的大小.......................................................................................................................................................15 题型08二次根式的应用...............................................................................................................................................................17 分层练习.........................................................................................................................................................................................20 夯实基础.........................................................................................................................................................................................20 能力提升.........................................................................................................................................................................................29 知识点1．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点5．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01同类二次根式 1．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 题型02二次根式的加减运算 4．（23-24八年级下·全国·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知长方形的长和宽分别为，则它的周长是 ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03二次根式的混合运算 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列运算中错误的是（     ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 9．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）计算： (1) (2) 题型04分母有理化 10．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 11．（2025八年级下·全国·专题练习）化简的结果是 ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中 题型05已知字母的值，化简求值 13．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 14．（23-24八年级下·全国·期末）若则代数式的值为 15．（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）先化简，再求值：，，求的值． 题型06已知条件式，化简求值 16．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 17．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 18．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简：，并求出时式子的值． 题型07比较二次根式的大小 19．（21-22八年级下·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 20．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 21．（23-24八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与； (2)与． 题型08二次根式的应用 22．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 23．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在一个矩形中放入面积分别为和的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为 ． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和下落高度近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度 m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 夯实基础 一、单选题 1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的有（ ） （1）；（2）； （3）；（4）； （5）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是(　　) A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 8．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 9．下列运算正确的是（ ） A．+ = B．3﹣2=1 C．2+=2 D．a﹣b =（a﹣b） 10．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 相同的二次根式进 ． 13．计算： ． 14．2﹣的相反数是 ，倒数是 ． 15．计算：（2﹣2）2= ． 16．规定，则的值是 ． 17．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 18．对于任意的正数、定义运算“★”为：，则的运算结果为 ． 能力提升 三、解答题 19． 20．计算： （1）4 （2）(48)÷2 21．当时，求代数式的值． 22．计算：（1）；     （2） 23．计算： （1） （2） 24．已知a、b、c为有理数，且等式a+b+c=成立，求代数式2a+999b+1001c的值． 25．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例， 例，， ________；________． 请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律． 利用上面的结论，求下列式子的值． ． 26．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 相反数 倒数 绝对值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的加减 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01同类二次根式......................................................................................................................................................................3 题型02二次根式的加减运算.........................................................................................................................................................5 题型03二次根式的混合运算.........................................................................................................................................................8 题型04分母有理化.......................................................................................................................................................................10 题型05已知字母的值，化简求值................................................................................................................................................12 题型06已知条件式，化简求值...................................................................................................................................................14 题型07比较二次根式的大小.......................................................................................................................................................15 题型08二次根式的应用...............................................................................................................................................................17 分层练习.........................................................................................................................................................................................20 夯实基础.........................................................................................................................................................................................20 能力提升.........................................................................................................................................................................................29 知识点1．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点5．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01同类二次根式 1．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 先化简各选项，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意，故A错误； B、，符合题意，故B正确； C、，不符合题意，故C错误； D、，不符合题意，故D错误； 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式 【分析】题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，根据题意可知这两个最简二次根式是同类二次根式，然后列出方程求解即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 【答案】(1)符合条件的正整数的值为5，15，21 (2)如果是整数，那么符合条件的有无数个．其中的最大值为21，没有最小值． 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时，a的取值是有限的，当a为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键． （1）由于a是正整数，所以可得此时的情况有，，三种； （2）当a是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值，最大值是21． 【详解】（1），且与的被开方数相同， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． 符合条件的正整数的值为5，15，21． （2）由（1），得当时，； 当时，； …… 如果是整数，那么符合条件的有无数个． 其中的最大值为21，没有最小值． 题型02二次根式的加减运算 4．（23-24八年级下·全国·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先分别化简对应选项中的二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知长方形的长和宽分别为，则它的周长是 ． 【答案】/厘米 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式加减运算的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接利用长方形的周长计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵一个长方形的长和宽分别是， ∴它的周长为：， 故答案为：． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的加减运算． （1）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （3）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （4）先对二次根式进行化简，再去括号、合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ＝2 ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型03二次根式的混合运算 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列运算中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据分母有理化对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断． 【详解】解：、原式，所以选项的计算正确，不符合题意； B、原式，所以选项的计算正确，不符合题意； C、与不能合并，所以选项的计算错误，符合题意； D、原式，所以选项的计算正确，不符合题意． 故选C． 8．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型04分母有理化 10．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）化简的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值、实数的混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值、实数的混合运算、分母有理化，将除法转化为乘法约分即可化简，根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质求出的值，代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型05已知字母的值，化简求值 13．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 14．（23-24八年级下·全国·期末）若则代数式的值为 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的运算，把代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把代入得， 原式， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）先化简，再求值：，，求的值． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握以上知识是解题的关键；本题先根据二次根式的性质把、和进行化简，然后求得和的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把和代入： 即； 题型06已知条件式，化简求值 16．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 17．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】把代入二次根式求值即可得结果．本题主要考查代数式求值，算术平方根，解答本题的关键要注意二次根式的符号． 【详解】解：根据题意，把代入得： ． 故答案为：4． 18．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 题型07比较二次根式的大小 19．（21-22八年级下·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】把二次根式变形后比较被开方数即可. 【详解】解：=，=， ∵45<75， ∴<． 即<， 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算术平方根就越大是解决此题的关键. 20．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 21．（23-24八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可； （2）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 题型08二次根式的应用 22．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：D． 23．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在一个矩形中放入面积分别为和的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，分别得出两个正方形的边长，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意，两个正方形的边长分别为：和， 则阴影部分的面积为， 故答案为：． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和下落高度近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度 m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)80 (3)能，理由见解析 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用： （1）先计算高度得到，然后把h的值代入公式得到t的值； （2）把代入公式，然后求出h的值即可； （3）先计算高度得到，再利用公式计算出的玻璃碎片从16层楼下落到地面上产生的动能E为，然后利用可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【详解】（1）解：， 当时，， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当时，， 解得：； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： ， 当时，， ∵， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 夯实基础 一、单选题 1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的定义，熟练掌握以上知识点是解题关键．根据同类二次根式的定义“化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，所以此项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，所以此项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，所以此项不符合题意； D、，与是同类二次根式，所以此项符合题意； 故选：D． 2．如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】D 【分析】根据题目中的数据分别求出大长方形的长、宽、周长和面积，以此即可解答． 【详解】解：∵小长方形的长为、宽为， ∴大长方形的长为（故选项A正确）， 大长方形的宽为（故选项B正确）， 大长方形的周长为（故选项C正确）， 大长方形的面积为（故选项D不正确）． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质及运算法则是解题关键． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B、 ===，此选项正确； C、=（5-）÷=5-，此选项错误； D、 =，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算，即可进行解答． 【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序以及将二次根式化为最简二次根式的方法．注意． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据算术平方根的定义、二次根式的加减法则、二次根式的除法和乘法法则逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意； B、，故本选项运算错误，不符合题意； C、，故本选项运算错误，不符合题意； D、，故本选项运算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6．下列运算正确的有（ ） （1）；（2）； （3）；（4）； （5）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】，，，，，故这五个式子都错了，故选A． 7．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是(　　) A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 【答案】D 【详解】a=－=（-1），b=-1；c===×（-1）， ∵＞1＞， ∴a＞b＞c． 故选D． 8．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【详解】解:∵，，， 又， ∴． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键． 9．下列运算正确的是（ ） A．+ = B．3﹣2=1 C．2+=2 D．a﹣b =（a﹣b） 【答案】D 【详解】利用二次根式的加减法计算，可知： A、 + 不能合并，此选项错误；   B、3﹣2=，此选项错误； C、2+不能合并，此选项错误； D、a﹣b=（a﹣b），此选项正确． 故选D． 10．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，故A错误，不符合题意； B、与不能合并，故B错误，不符合题意； C、，故C项正确，符合题意； D、，故D项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】由题意直接根据合并同类二次根式的运算法则进行计算即可得出答案. 【详解】解：. 故答案为：. 【点睛】本题考查二次根式的加法运算，熟练掌握并利用合并同类二次根式的运算法则进行计算是解题的关键. 12．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 相同的二次根式进 ． 【答案】 最简二次根式 被开方数 合并 【分析】根据二次根式加减的法则即可得出答案； 【详解】解：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进合并； 故答案为：最简二次根式，被开方数，合并 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握方法是解题的关键 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】先计算二次根式和绝对值的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，最简二次根式，绝对值的性质，理解二次根式加减的运算法则是解答关键． 14．2﹣的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】根据实数的性质及相反数和倒数的定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，倒数是． 故答案为： ，． 【点评】本题主要考查了实数的性质和分母有理化，熟练掌握实数的性质进行求解是解决本题的关键． 15．计算：（2﹣2）2= ． 【答案】16﹣8 【详解】试题解析：（2﹣2）2=22-2×2×2+（2）2 =16﹣8. 故答案为16﹣8. 16．规定，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据规定列出算式，再分母有理化，利用乘法公式计算． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 【点睛】此题属于新定义运算，考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 17．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 18．对于任意的正数、定义运算“★”为：，则的运算结果为 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得：，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义运算，二次根式的化简与二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解本题的关键． 能力提升 三、解答题 19． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】原式= 【点睛】本题考查二次根式的运算，能根据二次根式的性质化简二次根式是关键. 20．计算： （1）4 （2）(48)÷2 【答案】（1）46；（2）． 【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化成最简二次根式，再合并小括号里面的同类二次根式，最后计算除法运算． 【详解】解：（1）原式324 =46； （2）原式=(84)÷2 2 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 21．当时，求代数式的值． 【答案】 【分析】把代入代数式，利用完全平方公式、二次根式的混合运算法则，合并求值即可． 【详解】解：把代入，可得： 原式 ． 【点睛】本题考查了代数式求值问题、二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的混合运算法则．二次根式的乘法法则：． 22．计算：（1）；     （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） =2- =； （2） = = = 23．计算： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）原式＝ ； （2）原式＝ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及平方差公式，熟知运算法则以及平方差公式是解题的关键． 24．已知a、b、c为有理数，且等式a+b+c=成立，求代数式2a+999b+1001c的值． 【答案】2000 【详解】试题分析：将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值． 试题解析：解：∵==+，∴a+b+c=+，∴a=0，b=1，c=1，∴2a+999b+1001c=2000． 25．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例， 例，， ________；________． 请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律． 利用上面的结论，求下列式子的值． ． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题； （2）根据分母有理化可以解答本题； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】； ； （2）； （3） = = =. 【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 26．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 相反数 倒数 绝对值 【答案】见解析 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案． 【详解】解： 相反数 倒数 -5 绝对值 【点睛】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$