精品解析：江苏省泰州市2024-2025学年高三下学期开学调研测试数学试题

江苏省泰州市2025届高三下学期开学调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，.若，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出的值，即可求出，再根据求出的坐标，最后再计算其模. 【详解】因为，且， 所以，则， 所以，则. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式、分式不等式求解得到，再由交集、补集运算即可求解； 【详解】解：，， 或， 故选：A 3. 已知复数z满足(为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意整理结合复数的运算求z，进而可得其虚部. 【详解】已知，等式两边同时乘以，可得 整理得， 则 所以z的虚部为 故选：B. 4. 已知随机变量服从二项分布若，则（ ） A. 144 B. 48 C. 24 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布方差公式，结合方差的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 故选：D 5. 已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由整体代入法求得的对称中心，即可判断； 【详解】解：， 令，即，， 即的对称中心，， ，”是“的图象关于点对称的”充分不必要条件， 故选：A 6. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点，再求导函数，得出切线方程应用点到直线距离为1得出，最后应用基本不等式计算即可求参. 【详解】令，则， ，，则，切线为即， 直线又与单位圆相切，则，即， 则， 当且仅当即，即，时取“. 故选： 7. 对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有（ ） A. 89种 B. 55种 C. 54种 D. 34种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，根据染蓝色的多少，结合组合的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下： ，8个格子都涂蓝色，共1个结果; ，8个格子有7个格子涂蓝色有个结果; ，8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色，红色不相邻，插空个结果; ，8个格子有5个格子涂蓝色，3个涂红色，红色不相邻，插空个结果; ，8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色，红色不相邻，插空个结果. 所以 故选：B 8. 已知R，，函数，则（ ） A. 当时，函数在其定义域上单调递减 B. 当时，函数在其定义域上单调递增 C. 存在实数a，使函数的图像是轴对称图形 D. 当时，函数的图像恒为中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】求的导数即可判断AB，计算即可判断C，计算是否为定值即可判断D. 【详解】由已知， 的定义域为， 当时，的定义域为，，函数在上单调递增， 当时，的定义域为，，函数在上单调递减，故B错误； 当时，的定义域为，，函数在上单调递减，故A错误； 若 ，故不存，故C错误； ， 当，即时，为定值，则关于对称. 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则下列选项中正确的是（ ） A B. C. 的最大值为12 D. 的最小值为128 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解A，利用点到直线的距离公式即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，利用基本不等式，结合指数幂的运算性质即可求解D. 【详解】，当且仅当，即时取到等号，故A对； 表示直线上的点与原点的距离， 则距离的最小值，B对； ，，，当时，取最大值12，此时矛盾，C错； ，当且仅当即时，等号成立，D对. 故选：ABD 10. 假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，假设为种群灭绝事件，为第一个细胞成功分裂事件，为第一个细胞分裂失败事件．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分析可知，可判断A选项；利用条件概率公式可判断BC选项；根据题中条件可得出关于的等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，A对； 对于B选项，， 或由第一个细胞分裂失败，后面不会有新的细胞产生，故必然种族灭绝， B错； 对于D选项，一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为， 则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞， 在这两个细胞中每个细胞灭绝的概率均为， 所以，，解得，D错； 对于C，，C正确. 故选：AC. 11. 若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“Q”球．在四棱锥中，，四边形ABCD为矩形，是边长为1的正三角形．若二面角的大小为，则（ ） A. 当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变 B. 当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为 C. 当时，四棱锥不存在“Q”球 D. 存在a，使得四棱锥有半径为的“Q”球 【答案】ACD 【解析】 【分析】取AD中点为E，BC中点为F，确定二面角大小，再建立空间直角坐标系，求出四棱锥各侧面所在平面的法向量，利用空间角及空间距离的向量求法逐项分析推理判断. 【详解】在四棱锥中，取AD中点为E，BC中点为F，连接PE、EF、PF， 则，，由等边三角形，得， 则即为二面角的平面角，， 以点E为坐标原点，直线EF、ED分别为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAB的法向量为，则，取，得， 设平面PAD的法向量为，则，取，得， ，平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值不变， 因此当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变，A正确； 设PB与平面PAD所成角为， 则 ， 则当时，取得最大值，的最大值大于，B错误； 若四棱锥存在“Q”球，设球心为H，平面PAB与平面PCD关于平面PEF对称， 由对称性知，球心H在平面PEF内，平面PEF，平面PAD，平面ABCD， 则平面平面PAD，平面平面ABCD， 又平面平面，平面平面， 则点H到直线PE、PF的距离即为点H到平面PAD、平面ABCD的距离，都为球半径， 又点H在的角平分线上，又，则， 设，，，设平面PBC的法向量为， 则，取，得， 点H到平面PAB的距离为， 点H到平面PBC的距离为， 由，而，解得， 由，整理得， 显然和不同时满足等式， 即当时，四棱锥不存在“Q”球，C正确； 而当时，，，则， 即当时，存在正实数a满足等式， 因此存在a，使得四棱锥有半径为的“Q”球，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，利用代数的方法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，，公差若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而，判断的正负即可下结论. 【详解】由已知，得， 则， ，，，，当时，， 故答案为： 13. 已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体法即可结合余弦函数的单调性得求解. 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 14. 已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆上三个不同的点依次逆时针排列若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用极坐标方程和权方和不等式求解即可. 【详解】设，，， ，， ， ， 且 ， ， ， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用极坐标设出，，，然后利用角度关系，得出，再结合权方和不等式求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，若点D在边BC上，， （1）求角A的大小； （2）若，， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的长． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，得到，然后得出的值； （2）（i）由角正切值求出正弦和余弦值，由三角形三个内角和、诱导公式、和差角公式求出； （ii）由（i）求得，然后的求得，由正弦定理求出的长. 【小问1详解】 由条件得， ∴ ，，，； 【小问2详解】 （i），，， ∴； （ii）由（i）得， 由已知得， 在中，由正弦定理得，求得. 16. 在三棱锥中，与都是边长为6的等边三角形，点为的中点，点在线段上， （1）求证：； （2）求的长 （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，根据线面垂直的判定定理和性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用两点距离公式计算即可求解； （3）利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 取AC中点M，连接BM，PM， ，， ，， 又，PM、平面PBM， 平面PBM，平面PBM， ，即 【小问2详解】 ， ，， 如图，以为原点，为轴，轴建立空间直角坐标系， ，，， ，， 【小问3详解】 ， ，，， 设平面PAC的一个法向量， 则，令，得， ，设直线与平面所成角为， ， 即求直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知，， （1）若，曲线上一点P处的切线与直线垂直，求点P坐标； （2）若恒成立，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线垂直与斜率的关系求解即可； （2）设，，进而利用导数分，进行讨论求解函数最小值，进而结合恒成立问题求解即可. 【小问1详解】 因为，设点， 则点P处切线的斜率，因为， 由曲线上一点P处的切线与直线垂直， 得，所以， 即点P坐标为. 【小问2详解】 设，， 因为恒成立， 所以恒成立，，且， 因为， 若，则，故在区间上单调递减， 当时，，与恒成立矛盾， 若，则，令，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时， 当时，，与恒成立矛盾， 当，即时，当时，，与恒成立矛盾， 当，即时，， 所以恒成立，，即恒成立， 综上所述： 18. 在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. （1）求曲线方程； （2）已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出等式，化简可得； （2）（i）设直线方程为，联立可得，同理可得，由，可得； （ii）由及，可得，设，则，即得. 【小问1详解】 设，由题意知， 化简得方程为 【小问2详解】 设直线方程为，则， 联立，可得，故， 因在右支上，故，得即，解得， 设方程为，则， 联立，得，故， 因在右支上，故得，即，解得， 综上可知，. （ii），，， 故， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问根据几何性质可得，结合，，代入后利用函数的性质求最大值即可. 19. 设数列的前项和为， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用分组求和法及裂项相消法计算可得； （3）首先利用作差法证明（），从而得到（），利用放缩法证明即可. 【小问1详解】 因为，即， 当时，，所以； 当时，， 所以， 而也满足上式， ； 【小问2详解】 因为，，， ， ； 【小问3详解】 由（1）可得， 因为 （）， 所以（） 所以（）， 【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省泰州市2025届高三下学期开学调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知向量，.若，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 2 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足(为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从二项分布若，则（ ） A. 144 B. 48 C. 24 D. 16 5. 已知函数，则“，”是“的图像关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 7. 对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有（ ） A. 89种 B. 55种 C. 54种 D. 34种 8. 已知R，，函数，则（ ） A. 当时，函数在其定义域上单调递减 B. 当时，函数在其定义域上单调递增 C. 存在实数a，使函数的图像是轴对称图形 D. 当时，函数的图像恒为中心对称图形 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知正数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为12 D. 的最小值为128 10. 假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，假设为种群灭绝事件，为第一个细胞成功分裂事件，为第一个细胞分裂失败事件．若，则（ ） A B. C. D. 11. 若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“Q”球．在四棱锥中，，四边形ABCD为矩形，是边长为1的正三角形．若二面角的大小为，则（ ） A. 当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变 B. 当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为 C. 当时，四棱锥不存在“Q”球 D. 存在a，使得四棱锥有半径为的“Q”球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，，公差若，则的最小值为________. 13. 已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为________. 14. 已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆上三个不同的点依次逆时针排列若，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，若点D在边BC上，， （1）求角A的大小； （2）若，， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的长． 16. 在三棱锥中，与都是边长为6的等边三角形，点为的中点，点在线段上， （1）求证：； （2）求的长 （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知，， （1）若，曲线上一点P处的切线与直线垂直，求点P坐标； （2）若恒成立，求a的值． 18. 在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求最大值． 19. 设数列的前项和为， （1）求的通项公式； （2）设，求数列前项和； （3）设，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$