精品解析：江西省吉安市2025届高三上学期期末教学质量检测数学试题

吉安市高三上学期期末教学质量检测2025.1 数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求指数函数的值域求集合，再由集合的交补运算求结果. 【详解】由题意， ∴，故. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解. 【详解】依题意，，则， 所以. 故选：A 3. 已知数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式代入计算可得结果. 【详解】由题意可知是以1为首项，4为公比的等比数列， 显然代表数列的前66项和， 所以. 故选：B 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 5. 为响应教育部推出的“德智体美劳全面发展以及五育并举”的相关政策，某高中成立了钢琴兴趣社团，5名同学为一小组，若某次钢琴专业知识测试中某小组的5名成员测试成绩分别为50，49，51，48，52，则该组数据的平均数和方差分别为（ ） A. 50，2 B. 50，10 C. 51，2 D. 51，1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的概念求解即可. 【详解】由题意可得该组数据的平均数为， 方差为． 故选：A. 6. 某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求圆台的高，利用圆台体积公式计算，借助于混凝土密度即可求得圆台石墩的质量. 【详解】 由题意可得，，，因此该圆台石墩的高为， 故该圆台形石墩的体积约为， 故该圆台石墩的质量约为 故选：A 7. 已知函数的最小正周期为，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由题知函数的周期和对称轴，分类讨论当和时，利用辅助角公式和三角函数的图象性质求解即可. 【详解】因为，所以对称轴为， 当时，．则函数周期，则， ∴，对称轴为，，不合题，舍去； 当时，，其中， 得的最小正周期，∴，∴， 由，令，得，即，得， ∴．∴． 故选：C. 8. 已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，点P为其渐近线在第一象限上的动点，则当取得最大值时，点P的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先转化，再根据坐标表示两角差的正切公式，最后代入基本不等式，即可求解. 【详解】由已知得，，在第一象限的渐近线方程为， 设，则，．∵， ， 当且仅当，即时等号成立，∴点P的横坐标为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若方程有三个实根，则b的可能取值为（ ） A. -1 B. C. 0 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】问题转换成由三个零点，求导确定函数单调性，求得极值，通过极值构造不等式求解即可； 【详解】由题意可设函数，由题意可转化为有三个零点，且， 由，可得或，由，可得， 所以在单调递增，在单调递减； ∴在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则解得， 结合选项只有BD符合； 故选：BD 10. 已知，且（均为正数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题设得，对于选项A，利用基本不等式，即可求解；对于B，利用基本不等式，再结合选项A中结果，即可求解；对于C，通过取特殊值，，即可求解；对于D，通过变形得，根据条件，利用选项A中结果，即可求解. 【详解】因为随机变量，且，由正态曲线的对称性，可得， 对于选项A，∵，，所以，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以选项A正确， 对于选项B，由，当且仅当， 即时取等号，由选项A知，，当且仅当时，等号成立， 所以，故选项B错误， 对于选项C，令，，满足，此时，所以选项C错误， 对于选项D， 因为由选项A知， 所以，当且仅当时取等号，所以选项D正确， 故选：AD. 11. 现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：假设，结合题意推出矛盾；对于BC：结合选项A可知：或（且），假设，结合题意推出矛盾，可得，即可得；对于D：可求，结合单调性分析求解. 【详解】对于选项A：若，则， 可得，两者相矛盾，故A错误； 对于选项B：因为为正整数，且单调递增， 结合选项A可知：或（且）． 若（且）， 令，则； 再令，则，可得． 因为，则，即， 这与矛盾．即（且）不成立． 所以，可得，即，故B正确； 对于选项C：令，，即．故C错误； 对于选项D：令，，即． 又为正整数．且单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于本题的推理，采取正难则反的思想，关键在于利用反证法，先假设再推出矛盾. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作曲线的切线的斜率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 13. 已知，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】联立已知条件，平方相加，利用同角三角函数的关系和余弦的差角公式求解即可. 【详解】由题意可得 平方相加得： ， ，． ∵，∴， ∴， 故答案为：. 14. 若，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式可得，即可根据全概率公式求解. 【详解】∵，∴． 又， ∴，解得， 故选： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积． （1）求A； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合立方和公式得到，再由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式求得，再结合余弦定理求得，即可求解； 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴． 又，∴． 【小问2详解】 ，∴． ，∴． 由正弦定理可得． 16. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是以P为顶点，腰长为的等腰直角三角形，，，． （1）求证：平面平面PAB； （2）求直线PB与平面PCD所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：∵平面平面ABCD，且平面平面， 且，平面ABCD，∴平面PAD． ∵平面PAD，∴， 又，且，PA，平面PAB，∴平面PAB． ∵平面PCD，故平面平面PAB． （2） 【解析】 【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再结合线面垂直的判定证明；（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和面的法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取AD中点为O，连接CO，PO． ∵，∴，∴． ∵，∴，则． 以O为坐标原点，分别以OC，OA，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，则，，，． 设为平面PCD的一个法向量，则由，得 令，则． 设与平面PCD的夹角为，则，故． 17. 在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为． （1）求直线与的斜率之积； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得，即可根据斜率公式求解， （2）根据弦长公式以及点到直线的距离公式，得三角形的面积表达，即可由基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由题可设直线：，，． 联立，消去，得． 当，即时，有，． ∴，，即， 可得，∴． 【小问2详解】 由（1）可知． 又点O到直线l的距离，∴的面积． 设，则，∵，∴， ，当且仅当，即时等号成立， ∴的面积最大值为． 18. 函数，． （1）求证：函数有且仅有一个零点； （2）讨论函数在区间上的单调性． 【答案】（1）证明见解析 （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增 【解析】 【分析】（1）先求导函数得出单调递增，再根据当时，，结合零点存在定理证明即可； （2）根据导函数判断单调性结合平移判定单调区间即可. 【小问1详解】 ∵，∴单调递增， 当时，，∵，又，∴，． ∴使，∴有且仅有一个零点． 【小问2详解】 ， 令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象． 由（1）知，，当时，，当时，，其中，． ∴当时，，当时，． ∴当时，，，，则，函数单调递增． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 19. 设正n边形，的外接圆圆心为P，且． （1）求证：； （2）若正n边形的顶点为定抛物线的顶点，且两相邻顶点，也在此抛物线上，记正n边形周长为． ①求证：抛物线与正n边形只有三个交点； ②讨论并证明数列的单调性． 【答案】（1）证明：易知， 同理：，…，，． 将上面n个等式相加，得． ∵， ∴． （2）①证明：∵正n边形的n个顶点共圆，圆心为点P，记该圆为． 又点抛物线，则与抛物线的交点至少有3个． 不妨以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． 设抛物线：，由对称性知点P也在y轴上（由于抛物线过点两个相邻顶点） 不妨设：，． 联立得， 令得关于t的方程有2个解：，． 原方程有3个实数解，，． ∴与抛物线至多有3个交点，即抛物线与正n边形只有三个交点． ②减函数，证明：在第①问中，正n边形中，中心角， ∴在等腰三角形中，． ∴直线倾斜角为，方程为． 联立，得，解得，． 故，∴． ∴， 令函数，． ． 令，则， 设，． ∴，∴，∴． ∴是减函数，即，， ∴数列单调递减． 【解析】 【分析】（1）运用向量的线性运算，结合正多边形的性质即可； （2）①设正多边形的外接圆，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系．由对称性知点P也在y轴上（由于抛物线过点两个相邻顶点），设：，．两个曲线联立.求出根，，即可； ②运用第①问中，正n边形中，中心角，得到直线倾斜角和方程．再与抛物线联立，求出，．进而得到，运用弦长公式得到和，构造函数，求导后换元再导，最后判断单调性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点点睛：第三问关键是运用弦长公式求出边长，进而得到周长，再构造函数这个工具来研究单调性.思维量大，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市高三上学期期末教学质量检测2025.1 数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 已知数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 为响应教育部推出的“德智体美劳全面发展以及五育并举”的相关政策，某高中成立了钢琴兴趣社团，5名同学为一小组，若某次钢琴专业知识测试中某小组的5名成员测试成绩分别为50，49，51，48，52，则该组数据的平均数和方差分别为（ ） A. 50，2 B. 50，10 C. 51，2 D. 51，1 6. 某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 8. 已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，点P为其渐近线在第一象限上的动点，则当取得最大值时，点P的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若方程有三个实根，则b的可能取值为（ ） A. -1 B. C. 0 D. 10. 已知，且（均为正数），则（ ） A. B. C. D. 11. 现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点作曲线的切线的斜率为______． 13. 已知，且，，则______． 14. 若，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，的面积． （1）求A； （2）若，求． 16. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是以P为顶点，腰长为的等腰直角三角形，，，． （1）求证：平面平面PAB； （2）求直线PB与平面PCD所成角的余弦值． 17. 在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为． （1）求直线与的斜率之积； （2）求面积的最大值． 18. 函数，． （1）求证：函数有且仅有一个零点； （2）讨论函数在区间上的单调性． 19. 设正n边形，的外接圆圆心为P，且． （1）求证：； （2）若正n边形的顶点为定抛物线的顶点，且两相邻顶点，也在此抛物线上，记正n边形周长为． ①求证：抛物线与正n边形只有三个交点； ②讨论并证明数列的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $