专题强化07：导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立）【10大题型 培优】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化07：导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立） 【题型归纳】 · 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 · 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 · 题型三、利用导数研究恒成立问题 · 题型四：利用导数研究能成立问题 · 题型五：利用导数研究零点问题 · 题型六：利用导数研究方程的根问题 · 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 · 题型八：利用导数研究双变量问题 · 题型九：利用导数研究实际问题 · 题型十、利用导数研究不等式问题 【题型探究】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 1．（23-24高二下·辽宁·期末）若对任意的，且，都有，则的最小值是（    ） A． B．e C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据题意将原不等式转化为，令，则，则可得在上递减，则，再次转化为在上恒成立，构造函数，求出，从而可求出的范围，进而可求得答案. 【详解】因为，，所以， 所以由，得， 所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立， 令，则， 所以在上递减，所以， 所以，所以的最小值是0. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）在时，对函数求导后分解因式，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性； （2）对函数求导后，对，，，的情况进行讨论，由题意即得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得或，即在，上单调递增． 综上，函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）由求导得， ① 当时，恒成立， 令，解得，即在上单调递减； 令，解得，即在上单调递增， 故时，函数在处取得极小值，符合题意； ②当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意． ③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0， 单调递增，故函数无极值，不符合题意． ④ 当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 3．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 4．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 【答案】 【分析】运用参变分离，转化为函数交点，借助导数和条件内只有一个零点，求出a,再根据零点概念求解零点，再求和. 【详解】，即在内有一个根． 即，与在内有一个交点. , 解得，单调递减；单调递增. 因此.当时，；当时，， 的图象与在内有一个交点.则，则. , 即， 令，解得，则的零点之和为 故答案为：. 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值， 所以当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． （2）不等式， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 6．（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：; (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明； （2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则， 则在单调递增， 所以，即， 所以. （2）由， 令， 则. 所以在单调递增，， ①时，，. 则在为增函数，在上无极值点，矛盾. ②当时，.由（1）知，， ，则，则使. 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 题型三、利用导数研究恒成立问题 7．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值. 【详解】假设,又因为,可得, 设,,单调递增， ,恒成立, 所以,即可得. 故选：B. 8．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，等价变形不等式，构造函数，按与分段讨论即可得解. 【详解】依题意，，， 显然，则有，于是， 令，求导得， 当，即时，，函数在上单调递增，，即； 当，即时，当时，，函数在上单调递减， ，，此时，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 故选：C 9．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意转化为存在，使，参变分离后，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【详解】，， 由题意可知，存在，使，即， 则，， 当时，取得最小值， 即，得. 故选：B 题型四：利用导数研究能成立问题 10．（23-24高三上·云南昆明）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可. 【详解】由，又， 因为任意，都有， 所以是函数的最小值，也是极小值， 故有两实根，即有两实根，则， 记二次函数的零点为， 且，则在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，因为是最小值， 所以，即， 解得，故， 故选：B． 11．（22-23高二下·江苏镇江·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】求出在有解，构造函数，根据函数的单调性求出的最大值即可． 【详解】由存在，使得不等式成立得： 在有解， 令，则， 故时，，此时函数是单调递减， 时，，此时函数单调递增， 故时，，时，， 又， 故函数的最大值是， ， 故选：A． 12．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为且图象有两个交点，利用导数研究的性质并画出函数图象草图，数形结合求参数范围. 【详解】由题，方程有两个实数根，即， 所以且图象有两个交点， 设，则，令，解得， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 所以有极小值， 当时，且，当时，， 作出函数的大致图象， 故，解得. 故选：C 题型五：利用导数研究零点问题 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 14．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数存在3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得. 【详解】函数，求导得， 当时，，函数在R上单调递增，该函数最多一个零点； 当时，由，得或，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 函数存在3个零点，当且仅当，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 15．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用导数刻画的图像，再根据直线与 的图像有3个不同的交点可得实数a的取值范围. 【详解】， 当或时，；当时，， 故在，上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为，的极小值为， 当时，，当时，， 故的图像如图所示： 故， 故选：A. 题型六：利用导数研究方程的根问题 16．（23-24高二下·重庆·期末）若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为有三个交点，构造，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解. 【详解】由可得， 记，则， 当或时，，当时，，故 在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极小值，，在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 方程恰有三个不相等的实根，即曲线与直线恰有三个不相等的交点， 与直线图象如下， 由图知，当时，曲线与直线恰有三个不相等的实根； 故选：A 17．（2024·四川攀枝花·二模）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程转化为，令，利用导数求函数单调性和极值，确定关于的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数的取值范围. 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 18．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而画出图象，令，数形结合列不等式组求解即可. 【详解】令， 当时，，当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，且， 而当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 令，该函数图象为恒过的动直线， 因为不等式的解集中恰有一个整数， 结合图象可得，即，所以. 故选：D 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 19．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 20．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式有且仅有1个整数解，转化为的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解，利用导数求得的单调性，构造出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围 【详解】由，可得不等式有且仅有1个整数解， 即不等式有且仅有1个大于1的整数解， 时，， 不等式可化为， 即的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解， 令，则 令， 则 则在上单调递减，又， 则在上恒成立，则在上恒成立， 则在上单调递减， 又的图像在直线的上方仅有1个大于1的整数解， 则这个整数解为2，则 又， 则实数的取值范围为 故选：D 21．（22-23高三上·山东烟台·期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可. 【详解】因为， 所以，设， 则，， 令 恒成立，故单调递减， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；. 故 所以，得到. 故选:A. 题型八：利用导数研究双变量问题 22．（20-21高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且， 又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立， 或， 又，，故， ，解得． 故选：C 23．（20-21高三上·安徽·阶段练习）已知函数，，若，t>0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值. 【详解】由题意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数的图象如图所示.由图可知，当t>0时，有唯一解，故，且， ∴.设，则，令解得t=e，易得在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴，即的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解. 24．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导并将问题转化为函数在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，， 则，则在上单调递增， 所以，即，解得， 则的取值范围是 故选：B. 题型九：利用导数研究实际问题 25．（23-24高二下·北京通州·期中）如图1所示，现有一块边长为1.5m的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积是容器底面边长的函数. (1)写出函数的解析式并注明定义域； (2)求这个容器容积的最大值. 【答案】(1)；定义域为. (2) 【分析】（1）根据题意求出三棱柱的高，再根据柱体的体积公式即可求解； （2）利用导数法求函数的最值即可求解． 【详解】（1）如图所示： 由题意可知, 所以，可得， 所以， 即三棱柱的高为， 所以， 所以，定义域为. （2）由（1）知，，定义域为. 因为， 所以， 令则，解得或（舍）， 又因为， 所以当时， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，取得极大值，也为函数的最大值， 所以． 故这个容器容积的最大值为. 26．（23-24高二下·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【答案】(1) (2)为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为2m 【分析】（1）根据题意求出长方体水池高，据此即可求解； （2）利用导数即可求解. 【详解】（1）因为水池底面边长，所以长方体水池高为， 所以； （2）令，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 所以为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为. 27．（23-24高二下·四川南充·期中）请你设计一个包装盒.如图1所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、、、四个点重合于图2中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点、在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设（单位：）. (1)某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问应取何值？ (2)设，（其中是的导数），已知在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数取得最大值 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知：，求导，利用导数分析最值即可； （2）由（1）分析可得在内恒成立，整理可得，构建，利用导数分析其最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则，，其中， 根据题意可知：， 则， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值. （2）由（1）可知：， 则， 由题意可知：在内恒成立，整理可得， 构建，原题意等价于在内恒成立， 则， 且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 题型十、利用导数研究不等式问题 28．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 29．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求的导数，利用导数与函数极值的关系即可得解； （2）利用，结合放缩法将不等式转化为证明恒成立，再构造函数，利用导数即可得证. 【详解】（1）易知的定义域为， 则， 若，则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值. （2）因为，所以， 要证，只需证即可， 即证即可，即证即可， 令，则， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以的最大值在或处取得，又，， 所以，即恒成立， 所以. 30．（23-24高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据题意，先求参数，进而用分离参数的方法解决恒成立问题即可. 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 （2）因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. （3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 【专题强化】 一、单选题 31．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得．令，由函数有两个极值点在区间上有两个实数根，然后利用导数研究函数的性质进而即得. 【详解】因为，， 令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根， 又，当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，， 要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故选：D. 32．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】问题转化为在上有且仅有一个零点，构造函数，，对其求导，结合导数分析的性质，进而可求． 【详解】解：因为在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个实根， 令，， 则，令，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 故时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 因为， 故当与在上只有一个交点时，． 故选：B． 33．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】C 【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D. 【详解】对于A，由题，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A不正确； 对应B，因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 对于C，令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：C 34．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解. 【详解】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根， 令，， 令，，所以在R上单调递增； 又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时， 要想有两个根，只需要，即 故选：A. 35．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合导数分析函数的性质，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求出范围. 【详解】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，求导得， 由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减， 当时，取得极大值，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 36．（23-24高二下·江苏苏州·期末），，若在其定义域上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出的单调区间，画出的大致图象，令，则问题转化为方程有两个不相等的实根，且，然后结合根与系数的关系可求得答案. 【详解】由，得， 由，得，解得或， 由，得，解得或， 所以在和上递增，在和上递减， 所以的大致图象如图所示， 令，由， 则，则， 所以方程有两个不相等的实根，则， 因为在其定义域上有且仅有两个零点， 所以由的图象可知， 不妨设，则， 因为，所以， 所以，得，所以， 由，得， 所以在上递增，所以， 即的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 37．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，下列说法正确的是（ ） A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程2024有两个不同的解 【答案】ABD 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断. 【详解】对于A，由，得， 所以， ，所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，由，得，解得， 所以的单调递减区间为，故B正确； 对于C，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，故C错误； 对于D，由C选项可知的最大值为， 当时，且， 所以函数与的图像的交点个数为2，即有2个解，故D正确. 故选：ABD. 38．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ） A． B． C．的极小值为 D．最小值为 【答案】BC 【分析】求出可判断AB，由导数与极值、最值的关系可判断CD. 【详解】当时，，此时函数无零点， 当时，，函数的零点为，所以，故A错误； 当时，， 由得，由，得， 所以在为减函数，在为增函数， 即函数在处取得极小值，极小值点为，极小值为， 当时，为递增函数，此时无极值，也无最大值， 所以，所以，故BC正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 39．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得. 【详解】对A：，由是上的增函数， 则有恒成立，即，解得，故A正确； 对B：由，则当时，， 故有两个不等实根，设这两个根分别为且， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故函数有两个极值，故B正确； 对C：令， 对，有，若，则， 此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误； 对D：当时，，则， ，由，则在点处的切线为， 令，即有，解得或， 故在点处的切线与有两个公共点，故D错误. 故选：AB. 40．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，则（    ） A．若，则函数的最小值为1 B．若，则 C．若，则方程仅有1个实数根 D．若方程无实数根，则α的取值范围是 【答案】AB 【分析】对求导，即可得单调性，进而可求解AB，构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解C，对于D，求导，对讨论，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【详解】若，则，，当时，，可得在上单调递减，当时，，可得在上单调递增，所以时，函数取得最小值，，A、B正确； 若，则，令，则， 当时，，可得在上单调递减， 当时，，可得在上单调递增， 又，，，所以函数有两个零点，即方程有2个实数根，C错误； 若方程无实数根，即无解，， 则， 若，在上恒成立，即在上单调递减； ，，在上有解，不合题意； 若，令，解得； 所以当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 在处取得极小值，也是最小值； 即， 依题意可得，所以即可； 解得，即α的取值范围是，D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、填空题 41．（23-24高二下·广东深圳·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过参变分离将不等式变形为，进而将恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合函数的单调性得，故而得解. 【详解】因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令， 因为， 所以， 所以函数在时单调递减， 所以， 所以. 故答案为：. 42．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由可得出有，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有两个不相等的实数根， 图象有两个交点， 令， 则， 函数在上为增函数，在上为减函数， 又，当时，， 实数的取值范围是为． 故答案为：． 43．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可. 【详解】函数，若对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立． 当时，，显然成立； 当时，化为恒成立. 令，则, 由于，则，则在上单调递增，则. 令， 则时， 单调递增，则. 因此对于任意时恒成立，则. 故答案为：. 四、解答题 44．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为和，减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数判断单调性即可； （2）由（1）得，，由题意得，即，解出不等式即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令得或． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为和，减区间为． （2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减， ，， 故， 在上恒成立，即， 故，即， 即， 解得或， 故实数a的取值范围为． 45．（23-24高二下·山东·期中）设函数. (1)若，，判断零点个数； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1)只有一个零点. (2)答案见解析 【分析】（1）求导，利用导数得出单调性，进而确定零点个数； （2）求导，讨论与0的关系，利用导数得出单调性. 【详解】（1）当，时，则， 所以，解得或， ，解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以只有一个零点. （2）因为，所以， 所以， 由 解得， 当时，恒成立. 当时，， 所以由，解得或. 由，解得 当时，，所以，解得或. 由，解得 综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 46．（23-24高二下·北京通州·期中）设函数. (1)求的最小值； (2)设，求证：是函数只有一个极大值点的充分不必要条件. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）按照充要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性． 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以的最小值为； （2）充分性：， ， 因为， 所以当时，，在单调递减． 当时，，在单调递增． 所以在只有一个极大值点． 必要性：已知函数的极大值点只有一个． ①若恒成立，即在上恒成立， 由（1）得， 此时令，解得； 令，解得； 所以在单调递增，在单调递减， 所以函数有唯一极大值点，满足题意； ②方程有两个不同的根，，且， 因为只有一个极大值点， 所以有，， 即3是的一个根，此时； 当时，， 令，解得， 令，解得； 所以在上单调递增，在，上单调递减． 综上：使函数的极大值点只有一个的的取值范围是． 所以不是函数只有一个极大值点的必要条件． 所以是函数只有一个极大值点的充分不必要条件． 【点睛】知识点点睛：本题考查了利用导数求函数的最小值、单调区间及极值，考查了分类讨论思想，属于中档题． 47．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当（为自然对数的底数），时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义及导数运算法则即可求解； （2）求出，对分类讨论，根据的正负得出的单调性； （3）利用导数，得出在的单调性，再对分类讨论，数形结合即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 则， 所以切线方程为， 即． （2）， 当时，恒成立，则在单调递减， 当时，令得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 综上所述，当时，在单调递减， 当时，在单调递增，在单调递减． （3）当时，， 则，令， 则， 设，则， 所以在上单调递减，所以，所以恒成立， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又因为，当时，， 所以当时，无零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化07：导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立） 【题型归纳】 · 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 · 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 · 题型三、利用导数研究恒成立问题 · 题型四：利用导数研究能成立问题 · 题型五：利用导数研究零点问题 · 题型六：利用导数研究方程的根问题 · 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 · 题型八：利用导数研究双变量问题 · 题型九：利用导数研究实际问题 · 题型十、利用导数研究不等式问题 【题型探究】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 1．（23-24高二下·辽宁·期末）若对任意的，且，都有，则的最小值是（    ） A． B．e C．0 D．1 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 3．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 4．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在内只有一个零点，则的零点之和为 ． 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 6．（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：; (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 题型三、利用导数研究恒成立问题 7．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用导数研究能成立问题 10．（23-24高三上·云南昆明）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·江苏镇江·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 12．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知函数的图象与x轴有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用导数研究零点问题 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数存在3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：利用导数研究方程的根问题 16．（23-24高二下·重庆·期末）若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·四川攀枝花·二模）若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 19．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高三上·山东烟台·期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：利用导数研究双变量问题 22．（20-21高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21高三上·安徽·阶段练习）已知函数，，若，t>0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九：利用导数研究实际问题 25．（23-24高二下·北京通州·期中）如图1所示，现有一块边长为1.5m的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积是容器底面边长的函数. (1)写出函数的解析式并注明定义域； (2)求这个容器容积的最大值. 26．（23-24高二下·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 27．（23-24高二下·四川南充·期中）请你设计一个包装盒.如图1所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、、、四个点重合于图2中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点、在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设（单位：）. (1)某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问应取何值？ (2)设，（其中是的导数），已知在上单调递增，求实数的取值范围． 题型十、利用导数研究不等式问题 28．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 29．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 30．（23-24高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【专题强化】 一、单选题 31．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 33．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 34．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·江苏苏州·期末），，若在其定义域上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 37．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，下列说法正确的是（ ） A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程2024有两个不同的解 38．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ） A． B． C．的极小值为 D．最小值为 39．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 40．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数，则（    ） A．若，则函数的最小值为1 B．若，则 C．若，则方程仅有1个实数根 D．若方程无实数根，则α的取值范围是 三、填空题 41．（23-24高二下·广东深圳·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 42．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围 ． 43．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 44．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 45．（23-24高二下·山东·期中）设函数. (1)若，，判断零点个数； (2)若，讨论的单调性. 46．（23-24高二下·北京通州·期中）设函数. (1)求的最小值； (2)设，求证：是函数只有一个极大值点的充分不必要条件. 47．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当（为自然对数的底数），时，讨论函数零点的个数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$