专题强化06：导数中研究函数的应用【7大题型 培优】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化06：导数中研究函数的应用 【题型归纳】 · 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 · 题型二：由单调性求参数范围问题 · 题型三：由函数在区间单调性上求参数问题 · 题型四：含参数的分类讨论求函数单调性问题 · 题型五：由函数的极点（极值）求参数问题 · 题型六：已知函数的最值求参数问题 · 题型七：函数单调性、最值、极值综合问题 【题型探究】 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 1．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数在处有极值2. (1)求，的值： (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解； （2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解. 【详解】（1）因为函数在处有极值，且， 所以，解得， 故. （2）由（1）得：，， 又， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增 故的最大值是或， 而，， 故函数的最大值是2. 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知函数，． (1)求的单调递增区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调增区间为和，极大值为，极小值为 (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，即可求解； （2）根据的单调区间，极值，区间端点值即可确定在区间上的最大值与最小值． 【详解】（1），令，得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以单调增区间为和，单调减区间为， 所以的极大值为，极小值为． （2）由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为1，最小值为． 3．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数在时取得极小值． (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意，    经检验符合题意，所以，. （2）由（1）知， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为. 题型二：由单调性求参数范围问题 4．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 5．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 6．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知，函数的定义域为，. 由在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即，可转化为在上恒成立，所以． 因为，所以，所以． 因此实数a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案. 题型三：由函数在区间单调性上求参数问题 7．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数的导数，转化为方程在区间上无实数解或有重根，参变分离为，转化为利用导数分析函数的性质和图象，结合函数的图象的交点个数求的取值范围. 【详解】依题意，，则在上无实数解，或有重根， 由，得，即， 令，则， 故当时，，当时，， 且，作出函数在上的图象如图所示，观察可知，或. 故选：D 8．（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，再构造新的函数，利用导数求出函数最值即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 故时，，单调递增， 故在的函数值满足：， 故. 故选：B. 9．（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，分析可知在内有根，在内有根，结合零点存在性定理分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 因为在上不单调，等价于在上有极值点， 等价于在内有根，即在内有根， 结合的形式特征可得：原题意等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 题型四：含参数的分类讨论求函数单调性问题 10．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数． (1)若，求在上的最值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，比较端点值和极值大小，即可求解最值； （2）首先求函数的导数，并化简得，再讨论导数的零点，求函数的单调性. 【详解】（1）当时，， 当，，，的变化情况如下表所示， 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间的最大值为，最小值为. （2）， 令，得或， 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间； 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 11．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 12．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值， 所以当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． （2）不等式， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 题型五：由函数的极点（极值）求参数问题 13．（23-24高二下·广东佛山·期中）若函数不存在极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导后，由题意可知恒成立，则，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数不存在极值， 所以在上恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 14．（23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【详解】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 15．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得．令，由函数有两个极值点在区间上有两个实数根，然后利用导数研究函数的性质进而即得. 【详解】因为，， 令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根， 又，当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，， 要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故选：D. 题型六：已知函数的最值求参数问题 16．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得. 【详解】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 18．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 题型七：函数单调性、最值、极值综合问题 19．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）在时，对函数求导后分解因式，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性； （2）对函数求导后，对，，，的情况进行讨论，由题意即得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得或，即在，上单调递增． 综上，函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）由求导得， ① 当时，恒成立， 令，解得，即在上单调递减； 令，解得，即在上单调递增， 故时，函数在处取得极小值，符合题意； ②当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意． ③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0， 单调递增，故函数无极值，不符合题意． ④ 当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 20．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)讨论的极值点； (2)当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，． 【分析】（1）求导后得到两个导函数零点，然后根据参数进行分类讨论，分三类讨论，然后列表即可求得极值； （2）结合第（1）题的结论，即可求出的最小值，建立关于a的方程，解方程的a的值，然后验证即可. 【详解】（1），令，则，， ①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点； ②当a>0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为，其极大值点−a； ③当a<0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为−a，其极大值点． 综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． （2）方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，，则成立，解得：， ∵， ∴当时，，即的最大值为， 综上所述，满足题意的． 方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，， 令，则的零点为，且在上单调 递增， ∵，则， ∴当时，则成立，则，即的最大值为 ，符合题意， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是，找准参数的分类标准，进行列表求最值；第（2）问的关键，借助第一问的结论，可以求出最小值，列出方程，即可求出a的值，再进一步验证所求参数值是否满足题意即可. 21．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数（为实数） (1)若，求的单调区间； (2)若，求在的最值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，求得，得到函数的单调区间和最值，即可求解； （3）根据题意，转化为恒成立，令 ，利用导数求得的单调区间和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，即，解得；令，即，解得， 所以函数在上单调减，在上单调递增， 即函数的递减区间为，递增区间为. （2）解：当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 则函数在区间上的最小值为，最大值为. （3）解：由题意，可得得函数的定义域为， 若恒成立，则，即恒成立， 令 ，则， 当 时， ；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以 ， 故的取值范围为. 【专题强化】 一、单选题 22．（23-24高三下·四川攀枝花）当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】对函数求导，根据极值点及对应极值求参数，进而求. 【详解】由题设，则，又， 所以，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 所以为极大值点，满足题设， 故. 故选：B 23．（23-24高二下·海南·期中）已知是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据极值点与导数之间的关系解得，并代入检验. 【详解】由题意可知的定义域为，且， 若是函数的极值点， 则，解得； 若，则， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则是函数的极值点，即符合题意； 综上所述：. 故选：B. 24．（23-24高二下·四川绵阳·期中）函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 因为在上是减函数， 所以在上恒成立，， 当时，，于是有， 故选：D 25．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先求导函数，根据已知条件建立不等式，接着参变分离，构造新函数，求最小值即可解题. 【详解】解：∵ ， ∴，∵函数在区间上单调递增， ∴在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，， 令可得；令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即，∴. 故选：C. 26．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．1或 【答案】B 【分析】先由在处取得极大值求得值，再分别分析与时的在处的极值情况，从而得解. 【详解】因为， 所以， 因为在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； 综上，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求得值后，要进行检验满足题意与否，从而得解. 27．（23-24高二下·湖南益阳·期末）关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据函数表达式有意义的条件即可判断A；求导，令导函数等于0求解，讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断． 【详解】A．有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意； B．，故， 令，即，解得， 当时，，故在上单调递增，正确，不符合题意； C．当时，例如时，，当，显然， 故错误，符合题意； D．当时，，令，即，解得， 当时，则，故在上单调递减， 当时，则，故在上单调递增， 当时，函数取到极小值，也是最小值，，故正确，不符合题意； 故选：C． 28．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可. 【详解】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D 29．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段求出函数值域，再根据函数值域为，求参数的取值范围. 【详解】当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，. 当时，， 若即，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 又函数的值域为，所以，（）； 若即，函数在上单调递增，所以，. 又函数的值域为，所以（）. 综上可知：或. 故选：C 30．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 二、多选题 31．（23-24高二下·四川凉山·期中）若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】借助导数计算，结合题意可得有两个变号正零点，设出两个零点，利用二次函数的性质与韦达定理计算即可得解. 【详解】，令，， 由函数有两个极值，则有两个变号正零点， 设这两个变号正零点分别为，且， 则，且有，，， 即可得，且. 故选：ACD. 32．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数下列说法正确的是（    ） A．的单调减区间是 B．是函数的一个极值点 C．只有一个零点 D．对任意的恒成立时，取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，从而判断A、B；求出函数的零点从而判断C，根据判断D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值即最小值，所以，故A错误，B正确； 又当时，当时，，所以只有一个零点，故C正确； 若对任意的恒成立，则， 即取值范围为，故D正确. 故选：BCD 33．（23-24高二下·广东广州·期末）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ）    A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 【答案】ABC 【分析】结合导函数的图象，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断函数的零点，即可得到选项． 【详解】解：由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数， 即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以A、B正确； 若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值；所以D不正确； 函数可能没有零点，所以C正确． 故选：ABC．    34．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．的单调递减区间是 C．是函数的极小值点 D．函数的最小值为 【答案】ACD 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值点与最小值. 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值即最小值， 所以，故正确的有A、C、D． 故选：ACD． 35．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数的极小值为 D．若有3个不等实根，则 【答案】BCD 【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项. 【详解】对于A，因为， 所以 ，， ，，函数在上单调递增， ，， 则函数在上单调递减，故A错误； 对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 所以当时，取极小值，故C正确； 对于D，， 故 ， 根据待定系数法得，故D正确. 故选：BCD. 36．（23-24高二下·湖北·期末）设函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时， C．当时，在上单调递增 D．当时，恒成立 【答案】BCD 【分析】利用导数确定函数的单调性、最值及极值点判断ABC；构造函数，利用导数判断D. 【详解】， 当时，时，，递减，时，，递增， 极小值，只有一个极值点，A错误，B正确； 当时，或时，，时，， 在和上递增，在上递减，C正确； 令， 当时，时，，时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则； 因为，所以，即， 所以当时，恒成立，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题 37．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导得到，设，得到，从而得到的单调性和，根据有两个极值点，结合零点存在定理，得到的范围. 【详解】，定义域为， ， 设，，， 当时，，所以在单调递减，即在单调递减； 当时，，所以在单调递增，即在单调递增， 所以， 因为有两个极值点，所以有两个解， 因为和时，都有，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 38．（23-24高二下·河北承德·期中）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为在上恒成立，分离参数，设新函数，求导得到最值即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 39．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，由题意可得在上单调递增，不等式可转化为，结合函数单调性计算即可得. 【详解】令，则有， 由在上恒成立，故在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 40．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：，，再构造函数，，再讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而可得原函数的单调性，从而可求解． 【详解】，， ，， ，， 设，， ， 令，则，， ，， 若，即时，，在,上单调递增， ， 在,上单调递增，，满足题意， ； ②，即时，令，可得， 当时，，单调递减，， 在上单调递减， ，不满足题意， 综合①②可得：实数的取值范围为 故答案为： 41．（23-24高二下·山东青岛·期中）若对任意的，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先，其次通过分析：对任意的，有，这样问题转换成了已知函数在区间上的单调性求参数范围，直接求导即可得解. 【详解】对任意的，且， 由有意义可知， 则，所以，即. 令，则函数在上单调递减. 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为，所以，故， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 42．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数在定义域内不单调， (1)求a的取值范围； (2)若，求在上的值域． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，由在上有零点求出的范围. （2）利用导数求出函数上的最大值和最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由在内不单调，得关于x的方程在内有根，则，即， 所以a的取值范围是. （2）由及（1）知，得， 由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，而， 所以在上的值域为． 43．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值； （2）求出导数，分，，，讨论判断单调性，求解. 【详解】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 44．（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （3）函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 45．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据函数在处有极小值10，列出方程组求解即可，注意需要验证； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值. 【详解】（1）由，得， 因为函数 在 时取得极小值10， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以为函数的极小值点，所以符合题意， 所以； （2）由（1）可得当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，. 46．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数. (1)若函数单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求函数的导函数再应用函数单调递减得出参数范围； （2）先求导函数再根据极值得出导数为0，转化为函数有一个交点结合图象得出参数范围. 【详解】（1）根据题意，，， 则， 解得， 当时，，成立， 所以a的取值范围为. （2）依题意，， 则只有一个变号零点， 显然不是的零点， 所以有一个变号交点， 令， 所以函数在和分别单调递减， 在上单调递增， 如右图象所示，可得：， 所以. 47．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设出切点，根据题意得出关于的方程组，解之即可得解； （2）求导，对进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系即可得解； （3）求导发现在上单调递减，不妨设，，分析得知，只需证明即可. 【详解】（1）设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意知，， 令， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 所以在上单调递减， 因为， 所以，中至少有一个大于（否则若，有，这与矛盾）， 不妨设，， 所以， 所以， 令 ， 因为，所以，即，又， 所以，即， 可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于证明即可，其中，由此即可顺利得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化06：导数中研究函数的应用 【题型归纳】 · 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 · 题型二：由单调性求参数范围问题 · 题型三：由函数在区间单调性上求参数问题 · 题型四：含参数的分类讨论求函数单调性问题 · 题型五：由函数的极点（极值）求参数问题 · 题型六：已知函数的最值求参数问题 · 题型七：函数单调性、最值、极值综合问题 【题型探究】 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 1．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数在处有极值2. (1)求，的值： (2)求函数在区间上的最大值. 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知函数，． (1)求的单调递增区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 3．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数在时取得极小值． (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最值． 题型二：由单调性求参数范围问题 4．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 6．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：由函数在区间单调性上求参数问题 7．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：含参数的分类讨论求函数单调性问题 10．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数． (1)若，求在上的最值； (2)讨论函数的单调性． 11．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 12．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 题型五：由函数的极点（极值）求参数问题 13．（23-24高二下·广东佛山·期中）若函数不存在极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：已知函数的最值求参数问题 16．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：函数单调性、最值、极值综合问题 19．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 20．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)讨论的极值点； (2)当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 21．（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数（为实数） (1)若，求的单调区间； (2)若，求在的最值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【专题强化】 一、单选题 22．（23-24高三下·四川攀枝花）当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 23．（23-24高二下·海南·期中）已知是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·四川绵阳·期中）函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．1或 27．（23-24高二下·湖南益阳·期末）关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 28．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（23-24高二下·四川凉山·期中）若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数下列说法正确的是（    ） A．的单调减区间是 B．是函数的一个极值点 C．只有一个零点 D．对任意的恒成立时，取值范围为 33．（23-24高二下·广东广州·期末）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ）    A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 34．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．的单调递减区间是 C．是函数的极小值点 D．函数的最小值为 35．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数的极小值为 D．若有3个不等实根，则 36．（23-24高二下·湖北·期末）设函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时， C．当时，在上单调递增 D．当时，恒成立 三、填空题 37．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 38．（23-24高二下·河北承德·期中）已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是 ． 39．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 40．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 41．（23-24高二下·山东青岛·期中）若对任意的，且，则实数的取值范围是 . 四、解答题 42．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知函数在定义域内不单调， (1)求a的取值范围； (2)若，求在上的值域． 43．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 44．（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 45．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 46．（23-24高二下·安徽·期中）已知函数. (1)若函数单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 47．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$