专题02 余弦函数的图像与性质重难点题型专训（23大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题02 余弦函数的图像与性质重难点题型专训（23大题型+15道提优训练） 题型一 五点法画余弦函数的图象 题型二 y=Acosx+B的图象 题型三 含绝对值的余弦函数的图象 题型四 求含cosx的函数的单调性 题型五 求cosx型三角函数的单调性 题型六 利用余弦函数的单调性求参数 题型七 比较余弦值的大小 题型八 解余弦不等式 题型九 求含cosx型的函数的定义域 题型十 求cosx(型)函数的值域 题型十一 求含cosx的二次式的最值 题型十二 求cosx（型）函数的最值 题型十三 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 题型十四 求余弦（型）函数的奇偶性 题型十五 求含cosx的函数的奇偶性 题型十六 求余弦（型）函数的最小正周期 题型十七 求含cosx的函数的最小正周期 题型十八 由余弦（型）函数的周期性求值 题型十九 求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 题型二十 利用cosx（型）函数的对称性求参数 题型二十一 利用cosx（型）函数的对称性求最值 题型二十二 余弦函数图象的应用 题型二十三 cosx（型）函数对称性的其他应用 知识点01 余弦函数的性质 一、周期性 ①函数y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； ④函数y＝Acos (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)，容易得出． 二、奇偶性 ①余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称； ②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形； 三、单调性 在 [(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；在 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减； ①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间． ②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． ③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． ④正弦函数y＝cosx的图像特征 四、值域与最值 定义域：R； 值域：[－1,1]； 最值：x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1； 【说明】有关余弦函数最值： ①明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1； ②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定； ③形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值； 二、定义 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【经典例题一 五点法画余弦函数的图象】 【例1】（2024高一·全国·课后作业）利用五点法作函数的简图时，第三个点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据五点法作图中起关键作用的五点的特征加以判断. 五个点的坐标依次为，故第三个点的坐标是， 故选：D. 考点：余弦函数图象的识别. 1．（23-24高一·全国·课后作业）用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取内五个关键点，即分别令x＝0，，，π，2π即可． 【详解】∵， ∴周期T＝2π． 由“五点法”作图可知: 应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查五点法作图，取内五点即可，属于基础题． 2．（23-24高一下·上海松江·课后作业）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（2024高一下·上海金山·专题练习）已知函数．    用五点法画出函数在上的大致图像 【答案】作图见解析 【分析】按五点作图法的步骤：列表，描点，连线（光滑的曲线）即可画出. 【详解】由，列表如下： 0 0 2 0 函数图像如图：    【经典例题二 y=Acosx+B的图象】 【例2】（23-24高一下·上海静安·期末）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像如图示： 根据图像，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B 1．（2024高一下·上海徐汇·专题练习）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由设与的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y＝5+4cosx，x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象． 【详解】当x∈[0，π]时，y＝1， 当x∈[π，2π）时， ∵设与的夹角为θ，||＝1，||＝2， ∴θ＝π﹣x ∴y＝|O1P|2＝（）2＝5﹣4cosθ＝5+4cosx，x∈（π，2π）， ∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递增， 当x∈[2π，4π）时， ∵，设与的夹角为α，||＝2与||＝1， ∴α＝2πx， ∴y＝|O1P|2＝（）2＝5﹣4cosθ＝5+4cosx，x∈（2π，4π）， ∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递减． 故选：A 2．（24-25高一下·上海嘉定·课后作业）已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简函数解析式得，接着由得，再根据已知条件结合函数图象性质得，解该不等式即可得解. 【详解】函数， 因为，，所以， 由于函数在区间上有且仅有2个极值点， 则由函数图象性质可知，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知函数的值域为. （1）求、的值与的最小正周期； （2）用五点法画出上述函数在区间上的大致图象. 【答案】（1），，的最小正周期（2）作图见解析 【分析】（1）根据降幂公式，化简得，函数的值域为，列方程解得，，写出函数解析式，； （2）根据五点画出函数图象. 【详解】（1），由降幂公式，可得： ， 函数的值域为，（） ， ， 解得：，， ∴， ， 的最小正周期； （2）函数在区间上的大致图象如图. 【点睛】本小题主要考查五点法作函数的图象；三角函数的周期性及其求法，属于中档题. 【经典例题三 含绝对值的余弦函数的图象】 【例3】（23-24高一下·上海闵行·期中）函数（）的大致图象是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，故选B. 1．（23-24高一下·上海长宁·期中）下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用三角函数图象，结合奇偶性和周期性，即可得出结果. 【详解】解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数， 但不是周期函数，排除①；    ②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数， 最小正周期是，②正确；    ③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数， 最小正周期为，③正确；    ④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.    故选：B. 2．（23-24高一下·上海松江·课后作业）已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为 . 【答案】 【分析】判断出的奇偶性和周期性，画出和在上的图象，根据对称性求得所求. 【详解】依题意是定义在上的偶函数，由于， 所以是周期为的周期函数.由于函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，且，所以函数为偶函数. 画出和在上的图象如下图所示（画两个周期的图象，不影响后续分析）， 由图可知，在区间上，两个函数图象的交点共个，其中个两两分别关于直线对称， 有一个是，所以关于的方程在上所有实数解之和为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题. 3．（2024高一·上海青浦·专题练习）若实数x、y、m满足，则称比接近． (1)判断与2哪个接近0，并说明理由； (2)对于的不同值，判断与哪个接近0； (3)已知函数等于和中接近1的那个值，写出的解析式，并指出它的基本性质（不必证明）． 【答案】(1)比2接近0；理由见解析 (2)答案不唯一，具体见解析 (3)，；基本性质见解析 【分析】(1)由余弦函数的有界性即可求解； (2) 作出与的图像，结合图象，数形结合即可求解； (3)分别由，，求得的取值范围，得到的解析式即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，即比2接近0． （2）作出与的图像如图， 由图可知：当时，接近0； 当时，接近0； 当，，，时，和与0的距离相同． （3）由，得，即， 所以，所以，． 由，得， 即，所以， 所以，．所以，． 作出函数的部分图象，如图所示： 结合图象，函数的性质：①定义域为；②函数是偶函数；③周期为3；④增区间为，减区间为，；⑤最大值为1，无最小值 【经典例题四 求含cosx的函数的单调性】 【例4】（24-25高一下·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】C 【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海·课后作业）下列说法中不正确的是（    ） A．正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是 B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1 C．余弦函数在上都是严格减函数 D．余弦函数在上都是严格增函数 【答案】C 【分析】借助于余弦函数的图像，对四个选项一一验证. 【详解】 对于A：因为正弦函数、余弦函数的定义域是，且均有最大值1和最小值-1，故A正确； 对于B：由图像可知，当时，都有取得最大值，所以余弦函数当且仅当时，取得最大值1，故B正确； 对于C：余弦函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D：由图像可知，余弦函数在上都是严格增函数，故D正确. 故选：C 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）写出一个同时满足下列条件的函数关系式： ； ①；②为周期函数且最小正周期为；③是上的偶函数；④是在上的增函数；⑤的最大值与最小值差不小于4. 【答案】（答案不唯一）． 【分析】先考虑周期性与奇偶性，即条件②③，取一函数，再考虑④，变为，然后由⑤，变为，再结合①可得． 【详解】考虑余弦型函数，它是偶函数，最小正周期是，满足②③，它在上递减，因此满足④，由余弦函数的最值，满足⑤，满足①，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数的表达式为. (1)求函数的定义域，并写出函数的值域； (2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间. 【答案】(1)； (2)证明见解析；；， 【分析】（1）解不等式可得定义域，根据可得值域； （2）利用诱导公式和偶函数的定义可证函数为偶函数，根据反证法可得是的最小周期，根据余弦函数的单调性以及定义域可得结果. 【详解】（1）由得，，. 则函数的定义域D为， 函数的值域为 （2）任给，有，， 所以函数为偶函数. 因为，即是的一个周期， 假设为的一个周期，且， 则对定义域内的任意一个恒成立， 取，则，即，即， 因为，所以，则不成立， 所以假设不成立，故是的最小周期， 因为的单调递增区间为，，在上为增函数， 结合定义域可得的单调增区间为，. 【经典例题五 求cosx型三角函数的单调性】 【例5】 （2024全国·模拟预测）函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．可以取到最大值 D．可以取到最小值 【答案】C 【分析】根据题意计算出当时，的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，， 而函数在区间上先增后减， 所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 1．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 2．（23-24高一下·上海·课后作业）函数的严格增区间是 ． 【答案】 【分析】令，转化为只需求的减区间，还需满足真数大于0，建立不等式组，即可求出增区间. 【详解】令， 则为减函数， 要求的严格增区间， 只需：，即，， 解得：， 所以函数的严格增区间是. 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）设函数，其中． (1)求的最大值及取到最值时的取值集合； (2)求的单调区间． 【答案】(1),; (2)单调增区间，单调递减区间. 【分析】（1）根据余弦函数的值域及最值求解即可； （2）由余弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 当时，取得最大值， 由，得，， 解得， 取得最大值时，的取值集合为. （2）令，解得， 的单调递增区间为， 令， 解得， 的单调递减区间为. 【经典例题六 利用余弦函数的单调性求参数】 【例6】（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 1．（23-24高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 2．（2024·上海杨浦·一模）函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 【答案】 【分析】 由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【详解】当时，在上必有增有减，不合题意， 故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【分析】需要分单调递增和单调递减两种情况来讨论，然后利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值． 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 【经典例题七 比较余弦值的大小】 【例7】（2024·上海普陀·三模）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质得到，在根据对数函数的性质判断A，正弦函数的性质判断B，不等式的性质判断C，幂函数的性质判断D. 【详解】因为在上单调递减，又实数，，且满足， 所以，即， 对于A：因为在定义域上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为在定义域上单调递增，所以，故D错误； 故选：C 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表： 第一局 第二局 第三局 若，则我方必胜的排序是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据的范围判断出，再由，，可得答案． 【详解】因为当时， ，， 所以， ，即． 又，所以，，，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是． 故选：D. 2．（2024·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可. 【详解】由题，当时，原不等式可化为，解得， 当时，由原不等式可得，解得， 综上. 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． （1）与； （2）； （3）与． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】(1)根据诱导公式变形后,再利用余弦函数在 的单调性比较可得; (2)根据诱导公式变形后,再利用余弦函数在 的单调性比较可得; (3)先利用正弦函数的单调性比较与的大小,然后利用余弦函数的单调性比较可得. 【详解】（1）因为，，且函数在上单调递减， 所以，所以． （2）， 因为， 函数在上单调递减， 所以， 即． （3）． 因为，函数在上单调递增， 所以，即， 又函数在上单调递减， 所以． 【点睛】本题考查了正余弦函数的单调性,诱导公式,属于中档题. 【经典例题八 解余弦不等式】 【例8】（24-25高一下·上海徐汇·课后作业）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助余弦函数的性质列出不等式计算即可得. 【详解】因为，所以， 即，所以的解集是. 故选：B. 1．（24-25高一下·上海奉贤·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助余弦函数图象和性质计算即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 即不等式的解集为． 故选：C. 2．（23-24高一下·上海崇明·期末）已知不等式（，）对恒成立，则 . 【答案】/0.75 【分析】求出和时的解集，从而得到当时，，时，，得到方程组，求出答案. 【详解】时，令得，故， 令得，故， 要想对恒成立，显然不恒成立， 其中，则当时，， 此时， 当时，，此时， 由于，故，解得， 此时，满足要求， 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海金山·期中）已知函数． (1)分别写出下面表格中的值，并画出在上的大致图象； 0 0 0 0 (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式求出，再由“五点法”得出函数图象； （2）根据诱导公式化简后，利用余弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以由表格知时，，，， 故由“五点法”可得函数图象，如图， （2）由， 所以，可得， 所以不等式的解集为. 【经典例题九 求含cosx型的函数的定义域】 【例9】（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项. 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 1．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值、绝对值不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误. B选项，， 所以，所以B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：A 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 解得或或. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数， （1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性； （3）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期； （4）写出其单调减区间. 【答案】（1）； （2）偶函数； （3）是周期函数，； （4）. 【分析】（1）利用真数大于0列不等式求解定义域，求得真数的范围得值域 （2）利用奇偶性定义判断 （3）利用周期定义求解 （4）利用复合函数及余弦函数单调性求解 【详解】（1），， 定义域为. ，； （2）， 定义域关于原点对称. 又， 为偶函数； （3）令， 则， 是周期函数，且为最小正周期； （4）的单调递减区间为，又单调递增 的单调递减区间为. 【点睛】本题考查对数函数的基本性质，考查余弦函数的性质，灵活运用复合函数解题是关键，是中档题 【经典例题十 求cosx(型)函数的值域】 【例10】（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果. 【详解】对于A，若，则， 因为，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则， 因为，当时，，此时，故D错误. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海·期中）函数，设它的最小正周期为，值域为，则（    ） A．，，且为奇函数 B．，为偶函数 C．，且为奇函数 D．，，且为偶函数 【答案】B 【分析】利用倍角公式把已知函数解析式变形，再由周期公式求周期，由的范围求得函数值域，再由奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 【详解】解： ， 的最小正周期． ，， 则函数的值域为，，． 又的定义域为，且， 则为偶函数． 故选：B． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）对于函数，则它的值域为 ． 【答案】 【分析】先解得到其解集，同理得到的解集，再结合三角函数的性质，分段讨论的值域即可得解. 【详解】令， 令，解得， 所以当时，，即， 同理可得时，， 又， 所以当时，， 此时，，即； 当时，， 此时，，即； 综上，. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，根据余弦函数的性质即可求解； （2）根据二倍角公式可得，令，，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令， 则，. ①当时，y取最大值4； ②当或时，y取最小值. 故函数，的值域为. （2），. 令，， 则，， ∴当时，y取最小值； 当时，y取最大值3. 故函数，的值域为. 【经典例题十一 求含cosx的二次式的最值】 【例11】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的最大值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合同角的三角函数关系和二次函数的性质求解即可； 【详解】， 令，所以， 该函数在上单调递增，所以. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，，恒成立为真命题，分离参数，再构造函数，利用二次函数可求得最小值，从而可得结果. 【详解】因为命题p是假命题，所以其否定命题为真命题， 即，恒成立， 所以恒成立， 因为， 而，所以， 所以当时，取得最小值， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后，求函数的最大值即可. 【详解】由得， 设，因，所以， 则在上恒成立， 设， 则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增， 所以的最大值， 故， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： (1)； (2)，； (3)； (4)，. 【答案】(1)时有最小值；时有最大值 (2)时有最小值；时有最大值 (3)时有最大值；时有最小值 (4)时有最大值；时有最小值 【分析】（1）利用配方法和三角函数的性质可得答案； （2）利用正弦的性质可得答案； （3）利用配方法和三角函数的性质可得答案； （4）利用余弦的性质可得答案；. 【详解】（1）， 因为， 所以当，即，或时， 有最小值； 所以当，即时，有最大值； （2）因为，所以， 所以， 当即时，有最小值，为； 当即时，有最大值，为； （3）， 因为， 所以当，即时，有最大值； 所以当，即时，有最小值； （4），. 因为，所以， 可得， 当即时，有最大值，为； 当即时，有最小值，为. 【经典例题十二 求cosx（型）函数的最值】 【例12】（23-24高一下·上海长宁·期中）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把给定方程化成标准形式，再利用圆的意义借助三角代换求解作答. 【详解】方程化为：，表示以为圆心，1为半径的圆， 设，，即， 因此， 其中锐角由确定，显然，于是当，即时， 取得最小值， 所以的最小值是. 故选：C 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确. 【详解】①当时，，其定义域为， 且，函数为偶函数，故①正确； ②当时，，由，得， 则在上不单调，故②错误； ③当时， 由，得，即 则，共4个零点，故③错误； ④当时， 周期，区间的长度为，即为周期， 所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大， 令 ，其中， 即设在区间上的最大值为，最小值为，则， 故④正确.   故选：B. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为 . 【答案】48 【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值． 【详解】， ，即为直角三角形， 建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，外接圆， 设，，则，，， 所以，当且仅当时取等号． 所以的最大值是48． 故答案为：48． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）求函数的最值及取得最值时x的值． 【答案】最大值，；最小值，． 【分析】根据的最值分析的最值，同时注意计算对应的取值. 【详解】因为， 所以的最大值为，此时，所以； 所以的最小值为，此时，所以， 综上，的最大值为，取最大值时，最小值为，取最小值时. 【经典例题十三 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数】 【例13】（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出余弦函数图象，分析值域为时对应的定义域，由此得到关于的不等式并求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）： 可知，所以解得， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值. 【详解】作出单位圆如图所示， 由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域， ，即， 对任意，总成立，，即， 又，，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）由诱导公式，， ， ∴的周期． （2）由（1），知， ， ， 由，则， 故，则. 故在区间上的值域为. （3）∵， ， ， ∴当时，， ∵恒成立， 等价于， ∴，即， 解得， ∴实数的取值范围为． 【经典例题十四 求余弦（型）函数的奇偶性】 【例14】（23-24高一下·上海·课后作业）某函数满足下列三个条件：①在区间上单调递增；②以为周期；③为偶函数．该函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从函数的单调性，周期性定义，奇偶性定义出发，利用排除法解决问题.选项A利用函数的奇偶性排除，选项B利用函数的周期性排除，选项C利用函数的单调性排除. 【详解】选项A：因为定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数不满足③， 故选项A错误. 选项B：因为，所以取，有，， 此时，所以不满足②， 故选项B错误. 选项C：当时，在区间上单调递减，不满足①， 故选项C错误. 选项D： 当时，在区间上单调递增，满足①； 因为，所以以为周期，满足②； 因为定义域为，又， 所以是偶函数，满足③. 故选项D正确. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海·课后作业）关于函数，有以下四个命题： ①函数是偶函数；②的图像关于直线对称；③要得到函数的图像只需将的图像向右平移个单位；④在区间内的单调递增区间是和． 其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断③；根据单调区间可判断④. 【详解】对于①，因为函数， 所以 ，函数不是偶函数，故①不正确； 对于②，时，， 所以函数图像关于对称，故②正确； 对于③，将的图像向右平移个单位， 得到 ，故③不正确； 对于④，， 由， 解得， 当时，， 当时，， 所以在区间内的单调递增区间是和，故④正确. 所以②④正确. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题. 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数  是奇函数，则 ； 【答案】/ 【分析】由两角和的余弦公式化简函数后，根据奇偶性得出的表达式，从而得出结论． 【详解】，它是奇函数， 则，，， 又，所以． 故答案为：． 3．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 【经典例题十五 求含cosx的函数的奇偶性】 【例15】（23-24高一下·上海虹口·课后作业）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， ，则函数为偶函数，排除BC选项， 当时，，则，排除D选项. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海嘉定·课后作业）已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数，为：，，其中，那么下列关于函数,叙述正确的是（    ）． A．都是奇函数且周期为 B．都是偶函数且周期为 C．均无奇偶性但都有周期性 D．均无周期性但都有奇偶性 【答案】B 【分析】利用周期函数的等价表达式，分别化简，，，，结合奇偶性的定义即可求解答案. 【详解】由得. 对于函数，当时，显然具有周期性和奇偶性； 当时，； 显然，所以函数是偶函数； 又 , 所以为函数的一个周期. 对于函数，当时，，显然具有周期性和奇偶性； 当时，， 所以 ， 所以函数是偶函数； 又 , 所以是函数的一个周期. 综上所述，函数，都是偶函数且周期为. 故选：B 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）设函数，若，则 ． 【答案】104 【分析】令，易证为奇函数，根据，可得，再根据，由此即可求出结果. 【详解】函数的定义域为，令， 则，即，所以为奇函数； 因为，所以，则， 所以. 故答案为：104 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 (4)非奇非偶函数 【分析】由定义判断奇偶性即可. 【详解】（1）函数的定义域为，且，故为偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数； （3）函数的定义域为， 且，故为偶函数； （4）函数的定义域为， 且 由于，故为非奇非偶函数； 【经典例题十六 求余弦（型）函数的最小正周期】 【例16】（2024·上海嘉定·二模）已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（    ） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题 【答案】C 【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数和反证法验证两个命题. 【详解】甲:存在不是周期函数， (反证法)假设是周期函数， 则存在非零常数，使得对，都有， 即①， 在①式中，取，得②， 在①式中，取，得③， 在①式中，取，得④， 由③④得，， 所以⑤， 由②⑤得，，所以， 显然，所以，所以存在且，使， 又，所以存在，使得， 所以，所以，所以是有理数，矛盾， 所以不是周期函数，正确; 乙:取，则，所以，错误; 故选：C 1．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简函数式后确定奇偶性可得． 【详解】四个函数的最小正周期都是， 是奇函数， 是偶函数， ，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数， 是偶函数． 故选：A． 2．（2024·上海奉贤·二模）函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是 . 【答案】， 【分析】由题设可得最小正周期为，又且值域有6个实数组成，即上一定存在6个整数点，讨论为奇数或偶数，求值即可. 【详解】由题设知：的最小正周期为，又， ∴为非零整数，在上的值域有6个实数组成，即的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数， ∴当为偶数，有，即； 当为奇数，有，即； 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求最小正周期为，结合已知有内有6个整数点，讨论的奇偶性求值. 3．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为 (2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可. 【详解】（1）已知向量，， 所以. 故函数的最小正周期为； 由，解得：，， 故函数的严格增区间为. （2）由于，得. 故当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 【经典例题十七 求含cosx的函数的最小正周期】 【例17】（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④. 【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误； 因为， 所以函数为偶函数， 因为， 所以函数为偶函数，故①正确； 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为， 所以是以为周期的周期函数，故②正确； 因为，所以，即， 因为，所以，即，故④错误， 所以正确的个数有个. 故选：B. 1．（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称为，在R上的生成函数.已知，，，，则，在上的生成函数的单调增区间为 . 【答案】,Z 【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间即可. 【详解】由题意可知， 则， 所以是函数的周期， 又∵， ∴函数为偶函数， 当时，， 此时函数的单调递增区间为，Z, 解得，Z, 当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增， 当时，， 此时函数的单调递减区间为，Z， 解得，Z, 当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减， 综上所述，函数的单调递增区间为,Z, 故答案为：,Z. 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）给出集合{对任意，都有成立}. (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例： (3)设p为常数，且，求满足成立的常数p的值. 【答案】(1)证明见解析． (2)甲正确，乙错误． (3) 【分析】（1）根据集合的定义证明； （2）由周期性和奇偶性的定义判断； （3）利用是恒等式，由两角和的余弦公式展开后由恒等知识得结论． 【详解】（1）， ， 所以； （2）因为， 所以， 所以，所以是周期为6的周期函数， 即集合M中的元素都是周期为6的函数； 若，则，但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． （3）， ， 由恒成立， 得，由得或， 若，则，则，不成立， 所以，满足， 所以． 【经典例题十八 由余弦（型）函数的周期性求值】 【例18】（24-25高一下·上海金山·期末）已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，所以，即，故，结合，即可得解. 【详解】因为存在常数，使得恒成立，所以. 即，所以， 得，解得，又， 所以的最小值是. 故选：D. 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用三角恒等变换化简函数式，结合余弦型函数的周期性及已知区间和零点个数有，即可求参数范围. 【详解】由 ， 又，则， 函数在上恰有2个零点，即在上有2个解， 所以，解得． 故选：A 2．（2024·上海杨浦·模拟预测）如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图像如图所示（图像经过点），那么的值为 ． 【答案】2 【分析】函数式降幂化为余弦的一次式，由得，再由图象得周期满足，得出，结合，可得的值． 【详解】， 由图象可得，，①， ，，，②． ，所以． 故答案为：2． 3．（2024高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)20（分钟）； (3)过分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米. 【分析】（1）由题意设，利用周期为12可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由可求出，从而可求出第四次距离地面60.5米时的时间； （3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，利用周期性可求得结果. 【详解】（1）可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设， 由周期为12分钟可知，，得， 所以； （2）令，得， 所以或， 解得或， 又因为，所以当时，对应是第一、二次距离地面60.5米， 当时，对应是第三、四次距离地面60.5米，此时第四次的时间为， 所以第四次距离地面60.5米时，用了20（分钟）. （3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方， 由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反， 故过分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大， 当时，， 当时，， 所以你和你的朋友与地面的距离之差的最大值为米. 【经典例题十九 求cosx（型）函数的对称轴及对称中心】 【例19】（23-24高一下·上海·课后作业）函数在区间上的图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴. 【详解】由余弦函数的性质可得函数关于对称， 又，则， 故函数在区间上的图像的对称轴是. 故选：C. 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的单调递减区间为 【答案】D 【分析】选项A，根据图象可得，可得，即可判断选项A的正误；利用的性质，整体代入法，直接求出的对称轴、对称中心及单调区间，即可判断出选项B，C和D的正误. 【详解】对于选项A，由图知，得到，又，则，所以选项A正确， 对于选项B，由，得，，当时，对称轴为，所以选项B正确， 对于选项C，由，得，当时，对称中心为，所以选项C正确， 对于选项D，由，得， 所以的单调递减区间为，所以选项D错误， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为 . ①不是常数函数；②；③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先理解条件中的性质，再写出满足条件的函数. 【详解】因为，即，所以函数是偶函数， 因为，所以函数关于对称，且函数不是常函数，所以满足条件的函数. 故答案为：（答案不唯一） 3．（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数，其中 (1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期； (2)若，求函数在上的最小值； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间. （2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值. 【详解】（1）可知， 因为直线是图象的一条对称轴，故， 解得，而，故，则， 则周期， 再令，则， 故的递减区间为. （2）可知 因为，故， 则在即取最小值，其最小值为. 【经典例题二十 利用cosx（型）函数的对称性求参数】 【例20】（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦化简函数解析式，根据、余弦函数的对称中心求出的值，利用三角函数的最小正周期公式求出结果. 【详解】由， 由存在实数，使得对任意，恒有， 所以的图象关于点对称， 所以，得，故的最小正周期为. 故选：B 1．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在区间内单调求出的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得，利用对称轴即可求出. 【详解】由函数在内单调，得最小正周期， 点是函数图象的对称中心， 直线是函数的图象的一条对称轴， 而，则，符合题意，； 或，不符合题意， 因此函数，由是函数的图象的一条对称轴， 得，而，所以. 故选：D 2．（2024·上海崇明·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，结合函数的对称性的单调性的性质求出的取值范围，进行求解即可. 【详解】 因为函数关于对称，所以，解得：， 又因为在区间上单调，所以，解得：， 综上，当时，， 故答案为： 3．（23-24高一·全国·单元测试）已知函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)若函数在上单调递减，试求当取最小值时，的值． 【答案】(1)或； (2)0. 【分析】（1）根据对称性，及余弦函数的性质可得，结合参数范围求. （2）根据（1）的结论及区间单调性可得，进而求的范围，利用余弦函数的周期性求取最小值目标式的函数值. 【详解】（1）∵的图象关于轴对称， ∴，即， ∴，而， ∴或． （2）若，则，则不满足在上单调递减． 若，则， 由，，得． ∵在上单调递减， ∴，则． 当时，的最小正周期， ∴ ． 【经典例题二十一 利用cosx（型）函数的对称性求最值】 【例21】（23-24高一下·上海松江·课后作业）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的对称轴方程可得的周期，进而求出，再借助函数性质及给定图象求出A值作答. 【详解】由给定的图象知， ，， 即， 因函数图象的对称轴方程为， 则的最小正周期，， 而，显然有， 即，解得，所以. 故选：A 1．（2024·上海松江·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最小值为，则（        ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据题意可得， 【详解】当时，． 则函数图象在区间上关于点成中心对称．则. 故选：． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数.若，且点是函数的图象的一个对称中心，则函数的最小正周期的最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合可求得，结合余弦函数的零点可得，进而结合周期公式求解即可. 【详解】由，且，解得， 则. 因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，解得，. 因为，所以当时，取得最小值，且， 此时函数的最小正周期取得最大值，且. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知的一个对称轴是直线，求a的最小正值． 【答案】 【分析】由余弦型函数对称轴方程的求法即可求解. 【详解】解：的对称轴方程为， ，解得， ， 时，a的最小正值为. 【经典例题二十二 余弦函数图象的应用】 【例22】（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调性，取特殊值排除选项. 【详解】取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，最大值为，故A正确； 取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确； 取时，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数在上单调递增，，最大值为，故C正确； 所以不可能发生的是D. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，角（）的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可得，根据题意可得，继而可得，结合余弦函数的图象可得结果. 【详解】由题可得，将绕坐标原点逆时针旋转至， 可得，即． 因为线段的长为，所以函数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力，图象的变换，属于基础题． 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数对任意都有不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解． 【详解】由， 所以函数在一个周期的图象如图所示， 因为对任意，都有不等式恒成立， 即当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 则的最小值为. 故答案为． 【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 3．（23-24高一·上海青浦·随堂练习）在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题． (1)写出满足的x的值； (2)写出满足的x的取值范围； (3)写出满足的x的取值范围； (4)当时，分别写出满足，，的x值的集合． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)详见解析 【分析】在同一坐标系中画出两个函数在上的图象，然后找出满足条件的区间，再根据函数的周期性写出满足条件的集合. 【详解】（1）两函数在同一坐标系中的图象如下： ， 由图象知，在内，当或时，. （2）由图象知，在内，当时，，即x的取值范围是. （3）由图象知，在内，当或时，，即x的取值范围是. （4）当时，由正弦、余弦函数的周期性知： 若，则所求集合为或； 若，则所求集合为； 若，则所求集合为或. 【经典例题二十三 cosx（型）函数对称性的其他应用】 【例23】（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（    ） A．－4π B．－2π C．2π D．4π 【答案】B 【分析】由题意可得出函数与的图像的交点关于点对称，从而可得出答案. 【详解】函数满足，则的图像关于点 成中心对称. 又的图像关于点 成中心对称 所以函数与的图像的交点关于点对称. 则， 所以 故选：B 1．（2024·上海崇明·模拟预测）已知函数，下列四个结论中正确的是（    ） A．函数在上恰有一个零点 B．函数在上单调递减 C． D．函数的图象关于点对称 【答案】A 【分析】对的范围进行分类讨论，由此判断A的正确性.利用赋值法判断BC选项的正确性.由是否为来判断D选项的正确性. 【详解】，， （舍去）或（舍去）. ，， （舍去）或. ，， （舍去）或（舍去）. 综上所述，函数在上恰有一个零点，A选项正确. ，B选项错误. ，C选项错误. 不恒为， D选项错误. 故选：A 2．（23-24高一下·上海松江·期中）函数的部分图象如图所示，直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 . 【答案】/ 【分析】由图象求得参数，根据余弦函数的对称性，结合即可求值. 【详解】由图知，，， 点位于减区间内，点位于增区间内，且这两个区间相邻， 则，而，解得，， 函数的最小正周期，而，即，解得， 于是，，， 直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为， 观察图得，， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)由题意可得，结合余弦函数的图象求解即可； (2)由题意可得，将所求式子重新结合，即可得答案. 【详解】（1）解：由题知：， ∴， 所以， ∴， 其定义域为. （2）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，，…，， 所以. 1．（24-25高一下·上海徐汇·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，求，结合所得结果性质确定结论. 【详解】设，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称对称， ， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又， 选项BCD不能同时满足以上要求，而选项A满足以上要求， 所以选项A中的图象是函数的可能图象. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的图象与性质，即可求解. 【详解】对于函数，易知的图象关于点对称， 设为的最小正周期，则，又，得， 当时，，，得到，， 又，可得， 故选：C. 4．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去掉绝对值符号得到正弦或余弦函数，结合三角函数的单调性求解即可得到答案. 【详解】若，则需满足， 此时去绝对值化简得：，在单调递增， 即， 列出不等式组：， 解得，，需满足，即， 结合，则，故； 若，则需满足， 此时去绝对值化简得，在单调递增， 即，列出不等式组： ， 解得，，需满足，即， 结合，则，故； 综上，满足题意的的范围为. 故选：C 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据函数的单调区间列出相应的不等式组，计算比较复杂. 5．（24-25高一下·上海长宁·课后作业）已知，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得； 又是函数的零点，由，得，， 取（正半轴的第四个零点）得，所以，. 故选：A. 6．（24-25高一下·上海徐汇·课堂例题）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由余弦函数可得最值 【详解】∵，∴， ∴． ∴，即值域为． 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海·随堂练习）下列说法中正确的个数为 ． ①存在反函数的函数一定是单调函数； ②偶函数存在反函数； ③奇函数必存在反函数． 【答案】0 【分析】举反例说明即可. 【详解】①错误.比如函数存在反函数， 但不是单调函数，故①错误； ②错误. 设偶函数在处有定义， 设，则， 则求反函数时，自变量对应至少两个函数值，这不符合函数的概念. 故这样的偶函数不存在反函数. 如：余弦函数是偶函数，但不存在反函数. 但特别地，定义域为的偶函数存在反函数， 如函数，其反函数为，故②错误； ③错误.函数是奇函数，但不存在反函数，故③错误． 所以这些说法中正确的个数为0. 故答案为：0. 8．（2024·上海杨浦·一模）函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 【答案】 【分析】 由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【详解】当时，在上必有增有减，不合题意， 故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，，请设计一个满足条件的函数解析式， ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，由条件可得关于中心对称且关于直线轴对称，即可得到结果. 【详解】由题意：函数的定义域为， 关于中心对称； 关于直线轴对称，符合以上性质的函数均可， 结合余弦型函数的对称性，比如的解析式可以为：． 故答案为：（答案不唯一） 10．（24-25高一下·上海奉贤·期末）如图，函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对称性知，即为等腰三角形，结合三角函数的周期，求出三角形的底和高，利用列不等式求解即可. 【详解】如图， 根据对称性知，即为等腰三角形， 三角函数的周期，且，取的中点，连接， 则， 由，得或， 则， 则， 因为，所以，解得， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 11．（24-25高一下·上海嘉定·期末）设函数是增函数，，若p和q均正确，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性列不等式求得p正确时a的范围，利用余弦函数的单调性求得的最大值为，根据存在问题得，即可求得q正确时a的范围，求两个范围的交集即可得解. 【详解】由p正确可得，∴或. 由，得，又在上递减， ∴的最大值为. 由q正确，得，∴， 由p，q均正确知，∴或， ∴a的取值范围为. 12．（23-24高一·上海宝山·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先根据三角函数求最值，再结合复合函数单调性求解自变量； （2）先应用同角三角函数关系换元，结合二次函数性质求出最值. 【详解】（1）因为，令 又因为,单调递增， 所以当,即时，; 当,即时，. （2）因为, 令 开口向上，关于对称， 当,即时，; 当，即时， 13．（24-25高一下·上海长宁·期末）已知函数的部分图象 (如图所示） (1)求函数的解析式; (2)当时，求函数的最大值和最小值 【答案】(1)； (2)最大值、最小值分别为、. 【分析】（1）根据给定的图象，结合“五点法”求出解析式. （2）由（1）中解析式，结合余弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）观察图象，得的最小正周期，解得， 由，且在的单调递减区间内，得， 又，则，， 由，得， 所以函数的解析式为. （2）当时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以函数的最大值、最小值分别为、. 14．（2025高一下·上海金山·专题练习）工人师傅在如图①的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图②，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”（图③）．这条曲线称为放样曲线． 这样做常要对放样曲线进行调整，才能使拐脖恰成直角且吻合得恰到好处，减少材料浪费，那么这条曲线到底是什么曲线呢？请探究． 【答案】正弦型曲线，探究见解析 【分析】设放样曲线上任一点，然后根据圆柱底面和截面的夹角为 ，得到和的关系式，从而判断曲线的形状. 【详解】如图，截面所在平面与底面所成的角为． 设放样曲线上动点，则在截线上过点作垂直于圆柱的底面，垂足为， 过作，垂足为，在截线所在的平面中，过作，垂足为， 连接，则， 而，设底面半径为，故， 所以， 故曲线类似正弦型函数的图形． 15．（24-25高一下·上海虹口·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 余弦函数的图像与性质重难点题型专训（23大题型+15道提优训练） 题型一 五点法画余弦函数的图象 题型二 y=Acosx+B的图象 题型三 含绝对值的余弦函数的图象 题型四 求含cosx的函数的单调性 题型五 求cosx型三角函数的单调性 题型六 利用余弦函数的单调性求参数 题型七 比较余弦值的大小 题型八 解余弦不等式 题型九 求含cosx型的函数的定义域 题型十 求cosx(型)函数的值域 题型十一 求含cosx的二次式的最值 题型十二 求cosx（型）函数的最值 题型十三 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 题型十四 求余弦（型）函数的奇偶性 题型十五 求含cosx的函数的奇偶性 题型十六 求余弦（型）函数的最小正周期 题型十七 求含cosx的函数的最小正周期 题型十八 由余弦（型）函数的周期性求值 题型十九 求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 题型二十 利用cosx（型）函数的对称性求参数 题型二十一 利用cosx（型）函数的对称性求最值 题型二十二 余弦函数图象的应用 题型二十三 cosx（型）函数对称性的其他应用 知识点01 余弦函数的性质 一、周期性 ①函数y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； ④函数y＝Acos (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)，容易得出． 二、奇偶性 ①余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称； ②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形； 三、单调性 在 [(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；在 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减； ①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间． ②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步． ③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断． ④正弦函数y＝cosx的图像特征 四、值域与最值 定义域：R； 值域：[－1,1]； 最值：x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1； 【说明】有关余弦函数最值： ①明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1； ②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定； ③形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值； 二、定义 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【经典例题一 五点法画余弦函数的图象】 【例1】（2024高一·全国·课后作业）利用五点法作函数的简图时，第三个点的坐标是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24高一·全国·课后作业）用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·课后作业）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 3．（2024高一下·上海金山·专题练习）已知函数．    用五点法画出函数在上的大致图像 【经典例题二 y=Acosx+B的图象】 【例2】（23-24高一下·上海静安·期末）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 1．（2024高一下·上海徐汇·专题练习）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海嘉定·课后作业）已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知函数的值域为. （1）求、的值与的最小正周期； （2）用五点法画出上述函数在区间上的大致图象. 【经典例题三 含绝对值的余弦函数的图象】 【例3】（23-24高一下·上海闵行·期中）函数（）的大致图象是 A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海长宁·期中）下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·课后作业）已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为 . 3．（2024高一·上海青浦·专题练习）若实数x、y、m满足，则称比接近． (1)判断与2哪个接近0，并说明理由； (2)对于的不同值，判断与哪个接近0； (3)已知函数等于和中接近1的那个值，写出的解析式，并指出它的基本性质（不必证明）． 【经典例题四 求含cosx的函数的单调性】 【例4】（24-25高一下·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 1．（23-24高一下·上海·课后作业）下列说法中不正确的是（    ） A．正弦函数、余弦函数的定义域是，值域是 B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1 C．余弦函数在上都是严格减函数 D．余弦函数在上都是严格增函数 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）写出一个同时满足下列条件的函数关系式： ； ①；②为周期函数且最小正周期为；③是上的偶函数；④是在上的增函数；⑤的最大值与最小值差不小于4. 3．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数的表达式为. (1)求函数的定义域，并写出函数的值域； (2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间. 【经典例题五 求cosx型三角函数的单调性】 【例5】 （2024全国·模拟预测）函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．可以取到最大值 D．可以取到最小值 1．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 2．（23-24高一下·上海·课后作业）函数的严格增区间是 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）设函数，其中． (1)求的最大值及取到最值时的取值集合； (2)求的单调区间． 【经典例题六 利用余弦函数的单调性求参数】 【例6】（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 1．（23-24高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2024·上海杨浦·一模）函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 3．（24-25高一下·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【经典例题七 比较余弦值的大小】 【例7】（2024·上海普陀·三模）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表： 第一局 第二局 第三局 若，则我方必胜的排序是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2024·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． （1）与； （2）； （3）与． 【经典例题八 解余弦不等式】 【例8】（24-25高一下·上海徐汇·课后作业）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海奉贤·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海崇明·期末）已知不等式（，）对恒成立，则 . 3．（23-24高一下·上海金山·期中）已知函数． (1)分别写出下面表格中的值，并画出在上的大致图象； 0 0 0 0 (2)解不等式． 【经典例题九 求含cosx型的函数的定义域】 【例9】（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 1．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）函数的定义域是 . 3．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数， （1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性； （3）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期； （4）写出其单调减区间. 【经典例题十 求cosx(型)函数的值域】 【例10】（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 1．（23-24高一下·上海·期中）函数，设它的最小正周期为，值域为，则（    ） A．，，且为奇函数 B．，为偶函数 C．，且为奇函数 D．，，且为偶函数 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）对于函数，则它的值域为 ． 3．（24-25高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【经典例题十一 求含cosx的二次式的最值】 【例11】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的最大值为（   ） A．6 B．5 C． D． 1．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值： (1)； (2)，； (3)； (4)，. 【经典例题十二 求cosx（型）函数的最值】 【例12】（23-24高一下·上海长宁·期中）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 2．（23-24高一下·上海浦东新·期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为 . 3．（23-24高一下·上海·课后作业）求函数的最值及取得最值时x的值． 【经典例题十三 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数】 【例13】（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 1．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ． 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 【经典例题十四 求余弦（型）函数的奇偶性】 【例14】（23-24高一下·上海·课后作业）某函数满足下列三个条件：①在区间上单调递增；②以为周期；③为偶函数．该函数可以是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海·课后作业）关于函数，有以下四个命题： ①函数是偶函数；②的图像关于直线对称；③要得到函数的图像只需将的图像向右平移个单位；④在区间内的单调递增区间是和． 其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数  是奇函数，则 ； 3．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【经典例题十五 求含cosx的函数的奇偶性】 【例15】（23-24高一下·上海虹口·课后作业）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海嘉定·课后作业）已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数，为：，，其中，那么下列关于函数,叙述正确的是（    ）． A．都是奇函数且周期为 B．都是偶函数且周期为 C．均无奇偶性但都有周期性 D．均无周期性但都有奇偶性 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）设函数，若，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题十六 求余弦（型）函数的最小正周期】 【例16】（2024·上海嘉定·二模）已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（    ） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题 1．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海奉贤·二模）函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是 . 3．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【经典例题十七 求含cosx的函数的最小正周期】 【例17】（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称为，在R上的生成函数.已知，，，，则，在上的生成函数的单调增区间为 . 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）给出集合{对任意，都有成立}. (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例： (3)设p为常数，且，求满足成立的常数p的值. 【经典例题十八 由余弦（型）函数的周期性求值】 【例18】（24-25高一下·上海金山·期末）已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海杨浦·模拟预测）如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图像如图所示（图像经过点），那么的值为 ． 3．（2024高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值. 【经典例题十九 求cosx（型）函数的对称轴及对称中心】 【例19】（23-24高一下·上海·课后作业）函数在区间上的图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的单调递减区间为 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为 . ①不是常数函数；②；③. 3．（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数，其中 (1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期； (2)若，求函数在上的最小值； 【经典例题二十 利用cosx（型）函数的对称性求参数】 【例20】（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数，使得对任意，恒有，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海崇明·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ． 3．（23-24高一·全国·单元测试）已知函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)若函数在上单调递减，试求当取最小值时，的值． 【经典例题二十一 利用cosx（型）函数的对称性求最值】 【例21】（23-24高一下·上海松江·课后作业）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 1．（2024·上海松江·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最小值为，则（        ） A． B． C． D．0 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数.若，且点是函数的图象的一个对称中心，则函数的最小正周期的最大值为 . 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知的一个对称轴是直线，求a的最小正值． 【经典例题二十二 余弦函数图象的应用】 【例22】（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，角（）的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是 A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数对任意都有不等式恒成立，则的最小值为 . 3．（23-24高一·上海青浦·随堂练习）在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题． (1)写出满足的x的值； (2)写出满足的x的取值范围； (3)写出满足的x的取值范围； (4)当时，分别写出满足，，的x值的集合． 【经典例题二十三 cosx（型）函数对称性的其他应用】 【例23】（2024·上海宝山·模拟预测）已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（    ） A．－4π B．－2π C．2π D．4π 1．（2024·上海崇明·模拟预测）已知函数，下列四个结论中正确的是（    ） A．函数在上恰有一个零点 B．函数在上单调递减 C． D．函数的图象关于点对称 2．（23-24高一下·上海松江·期中）函数的部分图象如图所示，直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 . 3．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值 1．（24-25高一下·上海徐汇·期末）函数在区间上的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）已知，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海长宁·课后作业）已知，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海徐汇·课堂例题）函数的值域是 ． 7．（24-25高一下·上海·随堂练习）下列说法中正确的个数为 ． ①存在反函数的函数一定是单调函数； ②偶函数存在反函数； ③奇函数必存在反函数． 8．（2024·上海杨浦·一模）函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 9．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，，请设计一个满足条件的函数解析式， ． 10．（24-25高一下·上海奉贤·期末）如图，函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，若，则的取值范围为 . 11．（24-25高一下·上海嘉定·期末）设函数是增函数，，若p和q均正确，求实数a的取值范围． 12．（23-24高一·上海宝山·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 13．（24-25高一下·上海长宁·期末）已知函数的部分图象 (如图所示） (1)求函数的解析式; (2)当时，求函数的最大值和最小值 14．（2025高一下·上海金山·专题练习）工人师傅在如图①的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图②，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”（图③）．这条曲线称为放样曲线． 这样做常要对放样曲线进行调整，才能使拐脖恰成直角且吻合得恰到好处，减少材料浪费，那么这条曲线到底是什么曲线呢？请探究． 15．（24-25高一下·上海虹口·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$