精品解析：海南省省直辖县级行政单位陵水黎族自治县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 时间100分钟 总分120分 一、选择题（每小题有1个选项符合题意．每小题3分，共12小题，共36分．） 1. 下列根式中，能与合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质对各选项进行化简，再根据被开方数相同的二次根式能够合并即可解答． 【详解】解：A、不能与合并，故此选项不合题意； B、不能与合并，故此选项符合题意； C、能与合并，故此选项不合题意； D、不能与合并，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项，然后再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以该方程的解为：或． 故选C． 3. 如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．根据无法判断故C错误； D．∵， ∴， ∴，故D错误． 故选：A． 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个面积相等的三角形 C. 两个正方形 D. 两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 5. 在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式计算即可，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，能够打开宝藏的结果有种， ∴从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为， 故选：． 6. 关于x的方程ax2﹣2x+1＝0中，如果a＜0，那么方程根的情况是（　　） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由a<0，得到原方程为一元二次方程，再计算△= b2 -4ac=2-4a=4-4a,可得到△>0，根据根的判别式即可解答 【详解】解：∵a＜0， ∴原方程为一元二次方程； ∵△＝b2﹣4ac＝22﹣4a＝4﹣4a， 而a＜0，即﹣4a＞0， ∴△＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】此题考查根的判别式，难度不大 7. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，已知枫叶的叶脉长为为线段上一点，且满足，则称点为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要一元二次方程的应用，理解黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，从而可得，据此列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：∵的长度为，叶脉长为， ∴， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项进行求解即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； B、由于的长度不知道，无法判断阴影三角形与原三角形相似，故该选项符合题意； C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； D、，， ∵，， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，某单位工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了45场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有y人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 10. 若的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，单项式乘以多项式，根据题意得出，再化简，即可求解． 【详解】解：∵方程的一个解为， ∴，即， ∵ ； ∴， 故选：D． 11. 如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、矩形的性质等知识点，熟知相似三角形的性质及矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质以及可得，设，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 当时，， ∴，解得：，， 经检验，，是分式方程的解； 当时，， ∴，解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上，长为2或3． 故选：C． 12. 如图，、是的两条高，连接，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角形的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件易证可得，即∶ ，再证可得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴，即∶ ， 又∵， ∴， ∴． 故选∶B． 二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分．） 13. 已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键．由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为2或5，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为2或5， 当第三条边为2时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为5时，此时能构成三角形，则三边分别为5，5，2，底边长为2， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为2， 故答案为：2． 14. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点B的坐标为． 故答案为： 15. 如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则______度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：过点F作的垂线，垂足为H，则，可得 、，根据相似三角形的性质可得，最后根据正弦的定义以及特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：如图：过点F作的垂线，垂足为H， ∵点恰好是线段中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：30． 16. 如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质．熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题关键．延长交于点D，根据三角形重心的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得出．根据旋转的性质得出，，从而得出，并可证，再结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵点恰好与的重心重合， ∴． ∵， ∴， ∴． 由旋转得：，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴= 故答案为：． 三、解答题（本题共计6小题，共计72分．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用二次根式性质，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）原式利用零指数幂，负整数指数幂法则，绝对值的代数意义计算即可求出值． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法． （1）可使用求根公式法求解，先确定各项系数，再计算判别式，最后代入求根公式； （2）先将方程化为一般形式，再进行因式分解求解． 【小问1详解】 ， ， ， ， 可得， 即； 【小问2详解】 ， ， ， ， 则或， 解得：或 19. 某社区服务中心学习二十届三中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．若停车位的面积为1104平方米．求通道的宽是多少米？ 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，审清题意、找准等量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 设通道宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设通道的宽是米． ， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍弃）． 答：通道的宽是6米． 20. 清水湾自由灯塔是海南陵水的一座美丽灯塔（如图1），电影《消失的她》中的莫沙灯塔就是取景于此地，如图2，猴岛位于自由灯塔的西南方向上，一艘轮船在自由灯塔的南偏东方向上，测得此时轮船在猴岛正东方向上20海里的处． （1）填空：______度，______度； （2）求猴岛到灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）45，105 （2）海里 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角、解直角三角形的应用、平行线的性质等知识点，灵活运用解直角三角形解决实际问题是解题的关键． （1）如图：过C作，过C作交于G，然后根据平行线的性质、垂线的性质以及角的和差即可解答； （2）如图：设，在中，解直角三角形可得；在中，解直角三角形可得；再结合海里可求得，即，最后在中解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过C作，过C作交于G， 由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：45，105． 【小问2详解】 解：如图：设， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵海里， ∴，解得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，解得：海里． 21. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3）1； 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方的非负性求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为1．即：当的值为1时，的面积有最大，最大值为． 22. 如图，在边长为的正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：①；②四边形是平行四边形； （2）如图，延长至点，点在运动过程中，求证：点始终在的角平分线上； （3）设，当为何值时，？ 【答案】（1）①证明见解析； ②证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）①根据正方形的性质得，，根据旋转的性质和平行线的性质确定，根据余角性质可得，最后根据全等三角形的判定定理即可证明；②根据全等三角形的性质和旋转的性质可得，再根据平行四边形的判定定理即可证明； （）过点作于点，于点，根据正方形的性质及矩形的判定定理可证四边形是矩形，根据直角三角形两个锐角互 余，角的和差关系可得，即得，得到，进而得，，得，即得到四边形是正方形，即可求证； （）根据等腰三角形三线合一的性质得，根据全等三角形的性质，正方形的性质，线段的和差关系求出的长 度，进而由相似三角形的判定和性质列出方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：①证明：∵四边形是正方形， ，， ， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ∵， ， ， ； ②证明：， ， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点，于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴四边形是矩形，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是正方形， ， 点始终在的角平分线上； 【小问3详解】 解：， 为中点， ， ∵正方形的边长为， ， ， ，， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（不合，舍去）， ， ∴当为时，． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理和性质，旋转的性质，矩形的判定定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定定理和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 时间100分钟 总分120分 一、选择题（每小题有1个选项符合题意．每小题3分，共12小题，共36分．） 1. 下列根式中，能与合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个面积相等三角形 C. 两个正方形 D. 两个菱形 5. 在古代，一位智者为了保护自己的宝藏，设计了一个充满智慧挑战的宝箱，宝箱有两个钥匙孔，同时插对两把钥匙才可以开启宝箱，一位后人找到了三把外观相同的钥匙，分别为“日”“月”“星”，其中“日”和“星”为正确的钥匙，这位后人从三把钥匙中随机选择两把，能够打开宝藏的概率为（ ） A. B. C. D. 1 6. 关于x的方程ax2﹣2x+1＝0中，如果a＜0，那么方程根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，已知枫叶的叶脉长为为线段上一点，且满足，则称点为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C D. 9. 为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，某单位工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了45场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 10. 若的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7 11. 如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 3或4 12. 如图，、是的两条高，连接，那么的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分．） 13. 已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为______． 14. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 15. 如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则______度． 16. 如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为______． 三、解答题（本题共计6小题，共计72分．） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 某社区服务中心学习二十届三中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．若停车位的面积为1104平方米．求通道的宽是多少米？ 20. 清水湾自由灯塔是海南陵水的一座美丽灯塔（如图1），电影《消失的她》中的莫沙灯塔就是取景于此地，如图2，猴岛位于自由灯塔的西南方向上，一艘轮船在自由灯塔的南偏东方向上，测得此时轮船在猴岛正东方向上20海里的处． （1）填空：______度，______度； （2）求猴岛到灯塔距离（结果保留根号）． 21. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 22. 如图，在边长为的正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：①；②四边形是平行四边形； （2）如图，延长至点，点在运动过程中，求证：点始终在的角平分线上； （3）设，当为何值时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$