第9章 图形的变换（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第9章 图形的变换思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用平移、轴对称、旋转的性质求长度 【解惑】如图，点D，E分别在的两条边上，将沿直线翻折，点B落在点A处，连接，若的周长比的周长大，则的长是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将向右平移得到，且点在同一条直线上，若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 2．如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上．已知，，则的长是 ． 3．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 类型二、利用平移、轴对称、旋转的性质求角度 【解惑】若将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则 ． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，点，，在同一直线上，若，旋转角度是，则 ． 类型三、利用平移、轴对称、旋转的性质求周长 【解惑】如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【融会贯通】 1．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．如图，一个直角三角形纸片，，，，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在边上的处，为折痕，则三角形的周长为 ． 3．如图，将沿边向右平移3个单位得到，其中点、、的对应点分别是点、、，如果的周长是14，那么四边形的周长为 ． 类型四、利用平移、轴对称、旋转的性质求面积 【解惑】如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【融会贯通】 1．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（   ）平方米． A．36 B．42 C．56 D．都不对 2．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，，则图中阴影部分的面积之和为 ． 3．如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是 ． 类型五、轴对称——台球、光线问题 【解惑】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【融会贯通】 1．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    3．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 类型六、旋转——规律问题 【解惑】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2024次闪烁呈现出来的图形是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，…，按此规律继续旋转，得到点为止，则（    ）    A．8085 B．8084 C．7353 D．7354 2．图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ． 3．如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 类型七、平移——阴影部分问题 【解惑】如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，则阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在三角形中，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则阴影部分的面积为 ． 3．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 类型八、平行线中的平移 【解惑】综合与实践． 主题：探究平行线的性质与判定．素材：一副三角尺（一块含，一块含）、两根相同的长木棒． 步骤1：如图，摆放两根木棒使（可上下平移调节距离）． 步骤2：将一副三角尺按如图方式进行摆放，恰好满足，． (1)的度数为 ，的度数为 ； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图所示，直线，点A、D在直线m上，点B、C在直线n上，且，，平分交直线n于点P，连接． (1)求的度数； (2)若时，求的度数； (3)将向右平移，当最小时，求此时的度数． 2．已知直线，一块含角的直角三角板（，），顶点G在直线上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，向上平移直线，使直线过点，，，若是的倍，求证：． 3．综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角，，，． （1）在图1中，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 类型九、平行线中的轴对称(折叠、翻折) 【解惑】如图，在直角三角形纸片中，，E，F分别是，上的点，将沿折叠得到．若于点O，猜想与的位置关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 2．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 3．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 类型十、平行线中的旋转 【解惑】长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒． (1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°； (2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值． 【融会贯通】 1．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 2．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 3．如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度顺时针返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动． (1)当射线运动的时间为10秒时，求的度数． (2)若射线先运动30秒，然后射线一起运动．设运动的时间为，当运动过程中时，求的值． (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 【一览众山小】 1．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（   ） A． B． C． D． 2．如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，把长方形纸片沿折叠，若，则 ． 5．如图，在正方形纸片中，连接，将和分别对折，点和均落在线段上的点处，得折痕，，则的度数是 ． 6．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 7．如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 8．如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． (1)求的度数； (2)求的值． 9．如图，规定：在网格中每个小格的边长为1个单位长度，作三角形，其顶点都在网格顶点上，将三角形绕点顺时针旋转，得到三角形，点的对应点为，点在上，旋转后对应点为点，连接 (1)如图1，三角形绕点顺时针旋转得到三角形． ①旋转角为___________；在图1中画出点，并连接； ②若，则___________； (2)某同学发现，在旋转过程中会存在一个时刻，使是的平分线，如图2，求此时的度数 10．如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)如图①试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 图形的变换思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用平移、轴对称、旋转的性质求长度 【解惑】如图，点D，E分别在的两条边上，将沿直线翻折，点B落在点A处，连接，若的周长比的周长大，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出是解题关键．由折叠的性质得出，，的周长为，根据的周长比的周长大，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵将沿直线翻折，点B落在点A处， ∴，， ∴的周长为： ， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，将向右平移得到，且点在同一条直线上，若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移距离得到相应线段的长度是解题的关键． 根据平移的性质可得，，然后列式求解即可． 【详解】解：∵向右平移得到， ∴点、、的对应点分别为、、， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B； 2．如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上．已知，，则的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上， ， ，， ， 的长是：． 故答案为：1． 3．如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于的对称点分别为、， ∴，， ∵的周长是， ∴， 故答案为：． 类型二、利用平移、轴对称、旋转的性质求角度 【解惑】若将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的理解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：设点为旋转中心， 故至少应将它旋转的度数是． 故选B． 【融会贯通】 1．图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合．本题考查了旋转对称图形的概念，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角最少为． 故选：B． 2．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质． 根据题意可得，根据，再根据即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是． ， ， ， ∴， 故答案为：． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，点，，在同一直线上，若，旋转角度是，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查图形的旋转变换及三角形外角的性质．关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转前后图形的形状和大小不变，只是位置变化，还要掌握旋转角的定义．由旋转的性质可得：，由三角形外角的性质期初度数，根据，推出． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 类型三、利用平移、轴对称、旋转的性质求周长 【解惑】如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折，熟练掌握翻折的性质，前后对应线段相等是解题的关键． 由翻折得，，则的周长等于，即得． 【详解】解：∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查三角形的折叠问题，依据折叠可得，，进而得出，再根据的周长为，可得，即可得到长． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，一个直角三角形纸片，，，，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在边上的处，为折痕，则三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查折叠性质，掌握折叠后对应线段相等是解答的关键．先由折叠性质得，，进而求得，然后利用三角形的周长公式和等量代换即可求解． 【详解】解：由折叠性质得，， ∵，，， ∴， ∴三角形的周长为 ， 故答案为：20． 3．如图，将沿边向右平移3个单位得到，其中点、、的对应点分别是点、、，如果的周长是14，那么四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出、，然后求出，再根据周长的定义解答即可． 【详解】解：∵平移距离是3个单位， ∴， ∵， ∵四边形的周长． 故答案为：20． 类型四、利用平移、轴对称、旋转的性质求面积 【解惑】如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转、长方形的面积计算，掌握相关知识是解题关键． 根据题意画出旋转后的图形，得到两个长方形的重叠部分，再利用长方形的面积公式解题． 【详解】解：如图所示，将长方形绕点逆时针旋转得到长方形， ∵为中点， ∴， ∵长方形绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴长方形与长方形的重叠部分是边长为的正方形， ∴其面积为， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是（   ）平方米． A．36 B．42 C．56 D．都不对 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．直接利用平移方法，将三条道路平移到图形的一侧，进而求出即可． 【详解】解： （平方米）． 故种植花草的面积是42平方米． 故选：B 2．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的性质和图形的特点解答即可． 【详解】解：每个叶片的面积为，因而图形的面积是． ∵图案绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为． 故答案为：10． 3．如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是 ． 【答案】或/12或24 【分析】本题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．画出将绕点顺时针或逆时针旋转后的图形，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；如图，即为所求； ∵E是的中点 ∴ 由旋转的性质可得：，， 当为绕点顺时针旋转所得时； ， ； 当为绕点逆时针旋转所得时； ， 综上，的面积为或． 故答案为：或． 类型五、轴对称——台球、光线问题 【解惑】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 【融会贯通】 1．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 2．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 3．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 类型六、旋转——规律问题 【解惑】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2024次闪烁呈现出来的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了图形的旋转，首先观察图案得出每旋转一次的度数， 然后得出每几次旋转一周，由即可由阴影所处的位置可得相应选项，注意通过特殊例子发现规律是解题关键． 【详解】解：由图可得： 每旋转一次，旋转角为， ， 即每4次旋转一周， ， 即第2024次与第4次的图案相同， 故选D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，…，按此规律继续旋转，得到点为止，则（    ）    A．8085 B．8084 C．7353 D．7354 【答案】A 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2021除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 2．图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转变换，图形规律以及等腰直角三角形的性质，由题意得正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，根据求出的值即可得解． 【详解】解：由题意得：正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，则将一个正六边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形， 由题意得：旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形， 设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为， ∴， 解得：， ∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：， ∴正八边形的面积为， 故答案为：，． 3．如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 【答案】8097 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加12． 又∵， ∴． 故答案为：． 类型七、平移——阴影部分问题 【解惑】如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的基本性质和梯形的面积公式．根据平移的性质可得，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵将直角三角形沿方向向上平移得到三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，则阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，由平移可得，，，利用矩形的面积减去三角形面积即可得到答案； 【详解】解：∵直角三角形沿着射线方向平移，得到三角形，并且，， ∴，，， ∴， 故选：B． 2．如图，在三角形中，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得，，由，即可求解；理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， （）， 故答案为：． 3．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得到阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形， ∴阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 类型八、平行线中的平移 【解惑】综合与实践． 主题：探究平行线的性质与判定．素材：一副三角尺（一块含，一块含）、两根相同的长木棒． 步骤1：如图，摆放两根木棒使（可上下平移调节距离）． 步骤2：将一副三角尺按如图方式进行摆放，恰好满足，． (1)的度数为 ，的度数为 ； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 【分析】（1）由已知可得，再利用平行线的性质可得，由此即可求出求解即可，进而求出． （2）利用平角的定义求出，进而得到，即可得出结论． 本题考查平行线的判定和性质，三角板中角度的计算．解题的关键是构造平行线，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， ； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图所示，直线，点A、D在直线m上，点B、C在直线n上，且，，平分交直线n于点P，连接． (1)求的度数； (2)若时，求的度数； (3)将向右平移，当最小时，求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线段最短： （1）根据，可得，再由，即可求解； （2）过点P作交直线m于点E，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （3）“垂线段最短”，可得：当时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：过点P作交直线m于点E，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）得：，平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：将向右平移过程中，由“垂线段最短”，得： 当时，最小．即：， 由（2）得， ∴． 2．已知直线，一块含角的直角三角板（，），顶点G在直线上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，向上平移直线，使直线过点，，，若是的倍，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的判定，熟练运用平行线的性质求角度，利用垂直的定义证明两直线互相垂直是解题的关键． （1）由可得，再根据可得，结合可解得． （2）由平行线的性质得，由，是的倍可求出，因此，得证． 【详解】（1）解：如图中，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ，是的倍， ， ， ， ， ． 3．综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角，，，． （1）在图1中，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题是三角形综合题目，考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平角定义求出，再由平行线的性质即可得出答案； （2）过点作．由平行线的性质得，则，进而得出结论； （3）过点作，由角平分线定义得，由平行线的性质得，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ， ∵， ； （2）理由如下： 过点作．如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 过点作，如图所示： 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 类型九、平行线中的轴对称(折叠、翻折) 【解惑】如图，在直角三角形纸片中，，E，F分别是，上的点，将沿折叠得到．若于点O，猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据，得到，利用平行线性质，得到，从而得到，得到结果． 【详解】解：． 理由如下： ，． ． ． ． 由折叠可得． ． ． 【融会贯通】 1．已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 2．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 3．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 类型十、平行线中的旋转 【解惑】长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒． (1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°； (2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值． 【答案】(1)t ； (2)45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论． （1）根据题意求出和即可； （2）过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可 【详解】（1）解：∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转， ∴；； 故答案为：t，； （2）解：过点H作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 解得． 【融会贯通】 1．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 3．如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度顺时针返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动． (1)当射线运动的时间为10秒时，求的度数． (2)若射线先运动30秒，然后射线一起运动．设运动的时间为，当运动过程中时，求的值． (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)的值为10或66或130或138； (3) 【分析】（1）用平角分别减去，即可作答．； （2）由题意分三种情况讨论：当时，在的左侧，在的右侧，由，可得，解得；当时，在的左侧，在的右侧，可得，解得；当时，在的右侧，在的左侧，则，解得； （3）延长交于点，由，，则，可得，再由，即，可求． 本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键． 【详解】（1）解：∵射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转10秒， ∴ ∵ ∴ （2）解：，， ， ， ， 当时，在的左侧， ， 在的右侧， ， ， ； 当时，在的左侧， ， 在的右侧， ， ； 当时，在的右侧， ， 在的左侧， ， ； 当时，， ， 综上所述：的值为10或66或130或138； （3）延长交于点， 的度数为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【一览众山小】 1．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，由折叠的性质可得出，，从而可得出，从而可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质：，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B 2．如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质，得到，利用平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 3．如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质可得出∶，，进而得到，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出：，， ∴． ， ∴ ． 故选：A 4．如图，把长方形纸片沿折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到．由平行线的性质推出，，得到，由折叠的性质得：，即可求出． 【详解】解：四边形是长形， ． ， ． 由折叠的性质得：， ． 故答案为：． 5．如图，在正方形纸片中，连接，将和分别对折，点和均落在线段上的点处，得折痕，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质以及折叠的性质，解题的关键是利用折的性质得出角之间的关系． 根据正方形性质得出的度数，再由折叠性质可知平分平分，最后通过角的运算得出的度数． 【详解】因为四边形是正方形，根据正方形的性质，其四个角都是直角，所以． 又因为正方形的对角线平分一组对角，所以平分，则， 由折叠的性质可知，折痕是角的平分线，所以平分平分， 那么， 所以． 故答案为：． 6．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 7．如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 【详解】（1）解：．理由如下： 平分 由平移的性质，得， （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， 平分 ，即平分 8．如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，，则，由此即可得； （2）根据折叠的性质可得，，再根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴． （2）解：∵在长方形纸片中，，， ∴由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 9．如图，规定：在网格中每个小格的边长为1个单位长度，作三角形，其顶点都在网格顶点上，将三角形绕点顺时针旋转，得到三角形，点的对应点为，点在上，旋转后对应点为点，连接 (1)如图1，三角形绕点顺时针旋转得到三角形． ①旋转角为___________；在图1中画出点，并连接； ②若，则___________； (2)某同学发现，在旋转过程中会存在一个时刻，使是的平分线，如图2，求此时的度数 【答案】(1)①90，见解析；②58.4 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）①利用旋转变换的性质判断即可；根据，画出图形； ②根据，计算即可； （2）判断出，可得结论． 【详解】（1）解：①由图可得， ∴旋转角为， 如图，，点即为所求； 故答案为：90； ②∵，， ∴， 故答案为：58.4； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 10．如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)如图①试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系． （1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可； （2）设，，则，进而利用求出即可； （3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则，表示出和的度数即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ； （2）设，， 则， ， ， ， ． （3）不变． 设运动时间为秒，则， ，． ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$