9.3 旋转 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

9.3 旋转 一、旋转的概念 在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转后重合的点叫对应点，旋转后重合的角叫对应角，旋转后重合的线段叫对应线段。 二、旋转的要素 图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。 三、旋转的性质 1.旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等。 2.旋转变换与轴对称、平移变换一样，只改变了图形的位置，而没有改变图形的形状和大小。 3.对应点到旋转中心的距离相等。 4.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 四、利用旋转的性质画图 利用旋转画图的步骤包括： 1.确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。 2.在已知图形上找关键点。 3.将各关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，按旋转方向作角的另一边，使这些角都等于旋转角，且使另一边的长度都等于连接关键点和旋转中心的线段的长度，即得到关键点的对应点。 4.按原图顺次连接各对应点，得到的图形就是旋转后的图形。 五、中心对称 1.一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点。 2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形可以重合，对应边相等，对应角也相等；对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 巩固课内例1:画出旋转后的图形 1．如图，中，，点P在边上．由旋转得到，下列说法错误的是（   ）    A．旋转中心是点A B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、旋转的性质，熟练掌握相关性质是解题关键，根据旋转性质及等腰三角形性质作出判断即可． 【详解】解：中，， ， 由旋转得到， 旋转中心是点A，，故A正确； ， ，故C正确； ， 平分，故D正确； 不一定相等，故B错误； 故选：B． 2．如图，长方形绕点按逆时针方向旋转后得到图形．请回答下列问题： (1)点的对应点是点______，线段的对应线段是______，的对应角是______； (2)旋转中心是______，的大小是____________，四边形的形状是______． 【答案】(1)，， (2)点，，长方形 【分析】此题主要考查了旋转的定义及性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和定义． （1）根据旋转对应点、对应线段及对应角的对应即可求解； （2）根据旋转中心的对应及性质即可求解． 【详解】（1）解：点的对应点是点，线段的对应线段是，的对应角是， 故答案为：，，； （2） 旋转中心是点，的大小是，四边形的形状是长方形， 故答案为：点，，长方形． 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上，位置如图所示． (1)将先向右平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转后得到，试画出； (2)在（1）的基础上，连接、，四边形的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移和旋转的性质作图即可； （2）根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图, 即为所求． （2）解：四边形的面积是 故答案为：． 巩固课内例2:旋转后图形的角度 1．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键． 根据旋转的性质得出，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：，平分， ． 由旋转可知，． 又， ， 旋转的角度为． 故答案为：． 3．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，与相交于点，．当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】．解：在中，，， ， 由旋转得，，， ， ， ， ， ， ， ． 巩固课内例3:画出已知三角形关于点对称的三角形 1．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图对称中心是PQ的中点， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．如图，是的中线，画出以为对称中心，与成中心对称的三角形．    【答案】见解析 【分析】延长到使，则为所作． 【详解】解：如图，与关于点中心对称．    【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 类型一、生活中的旋转现象 1．下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】本题考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 2．下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①火车行驶，是平移现象； ②荡秋千运动，是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤圆规画圆，是旋转现象． 属于旋转的有②③④⑤共4个． 故答案为：4． 3．请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质举例． 【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如： 汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角； 钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角； 荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角． 【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键． 类型二、旋转中线、角、对应点 1．如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到答案． 【详解】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角； 故选：D． 2．如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角，掌握旋转角的概念是解题的关键．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：， ∴该图形绕中心至少旋转后能和原来的图案互相重合． 故答案为：120． 3．如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 类型三、点的旋转 1．如图，将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可求的度数． 【详解】解：∵将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形， ∴，， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，将 绕点 A 旋转得到，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角．由旋转得，，则，根据平行线的性质可得，求得，根据求解可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，绕点旋转，顶点的对应点为，请作出旋转后的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画旋转图形，将的三个顶点绕点O旋转，顶点A的对应点为，则旋转角是，其它两点也是点A的旋转角度，找到另两点的对应点后，顺次连接画出旋转后的图形． 【详解】解：如答图所示，就是所要求作的三角形． 类型四、线段的旋转 1．在图形的旋转过程中，有下面四种说法： ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后图形的形状和大小都不变； ④旋转前、后图形的位置一定会改变． 上述四种说法正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的性质逐项判断即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，本选项说法正确； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，本选项说法正确； ③旋转前、后图形的对应线段相等，本选项说法正确； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，本选项说法错误； ∴说法正确的有个， 故选：． 2．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，点A，点B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)将线段绕点A逆时针旋转，画出旋转后的线段； (2)在网格格点上除点外取一点C，使为等腰三角形，请标出所有满足条件的点C的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、等腰三角形的判定，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合等腰三角形的判定确定点C的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，点，，，均满足题意． 类型五、三角形的旋转 1．如图，将三角形绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点．先根据平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：， ， 绕点逆时针旋转至， ，等于旋转角， ， ， 即旋转角的度数是． 故选：C． 2．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段 上，、交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有 ，然后由三角形的内角和可求出，最后根据互余求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， 在 中， ， ， ， 故答案为：． 3．在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将绕点逆时针方向旋转后的； (3)求点绕点旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查了轴对称变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据旋转的性质，利用圆的周长公式结合网格即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 点绕点旋转到点所经过的路线是以为圆心，3为半径的圆周长的， 点绕点旋转到点所经过的路线长为：． 类型六、中心对称图形 1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意； D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 2．如图，与关于点成中心对称，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了中心对称图形、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，理解中心对称图形的定义和性质是解题关键．首先根据中心对称图形的定义可知，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，即可证明． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 3．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在图中添加阴影，使阴影部分既是轴对称图形又是中心对称图形，且阴影部分的面积是9． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称、中心对称设计图案，正确把握轴对称图形、中心对称图形的定义是解题的关键． 直接利用已知结合轴对称图形以及中心对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：如图（答案不唯一）． 类型一、旋转的基本性质求长度 1．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质得出，，再结合计算即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上， ∴，， ∴， 故选：A． 2．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，进而得出即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：3． 3． 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出是等边三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， 又， 是等边三角形， ， ． 类型二、旋转的基本性质求角度 1．如图，绕点顺时针旋转一定角度后得到，点刚好在的延长线上．若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和等知识点，点D刚好在的延长线上，，知，根据旋转的性质得，即，由内角和定理可得答案，熟练掌握转性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，③旋转前、后的图形全等是解决此题的关键． 【详解】解：如图， ∵点D刚好在的延长线上，， ∴， ∵绕点B顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查旋转的相关知识，钟面角，根据时针12小时转一周为，每小时对应的角度为，从而可以推出时针从上午9时到上午11时旋转的角度． 【详解】解：∵周角为，时针12小时转一周， ∴每小时对应的角度为： ∵时针从上午9时到上午11时走了2个小时， ∴时针旋转的角度是：． 故答案为：． 3．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． (1)求证：平分； (2)与交于点O，，求旋转角α的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2）解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ∵， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 类型三、旋转的基本性质求周长 1．如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长为（   ） A．8 B．3 C．9 D．5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质，先由旋转性质得，，，证明是等边三角形，再由等边三角形的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 2．如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解题的关键．根据旋转的性质得，，， 可判断为等边三角形，则有，所以的周长，再结合等边三角形的性质，根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 将绕点沿逆时针方向旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 的周长． 故答案为：14． 3．如图，等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角度推出三角形BDE是等边三角形是解题关键． （1）根据旋转的性质△旋转后三角形不发生变化，前后两三角形全等；对应角相等，再内错角相等，两直线平行得出结论． （2）根据旋转的性质△旋转后三角形不发生变化，前后两三角形全等；对应边相等，可得，，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ； （2）将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形 ， 的周长． 的周长. 类型四、旋转的基本性质求面积 1．如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、旋转的性质．根据旋转的性质即可判断A、B；设中阴影部分的面积为，求得，从而得即可判断C；由，，不一定成立，说明不一定成立． 【详解】解：根据旋转的性质，，， ∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴C说法正确，不符合题意； ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，如果正方形的边长是5，那么四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，解题即可． 【详解】解：由旋转可得， 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上．现将绕点B按顺时针方向旋转，，分别是点A，C的对应点． (1)请画出旋转后的； (2)的面积是__________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查旋转作图，利用网格求三角形的面积： （1）根据旋转的性质，进行作图即可； （2）利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：的面积． 类型一、画旋转图形 1．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 3．如图，点和的三个顶点都在方格图的格点上，请画出，使和关于点成中心对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．根据网格结构找出点A、、关于点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图所示． 类型二、利用旋转设计图案 1．在下列图案中，不能用平移得到的图案是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的特征依次判断即可． 本题考查图形的平移变换．图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：A. 把一个三角形看成基本图案，则整个图形可以看做是由基本图案平移两次得到的，故本选项不符合题意； B. 把一个正方形看作基本图案，则整个图形可以看做是由基本图案平移三次得到的，故本选项符合题意； C. 把一个直角梯形看作基本图案，则整个图形是由基本图案旋转三次得到的．故本选项符合题意； D. 把一个五角星看作基本图案，则整个图形可以看作是由基本图案平移5次得到的，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 【答案】6种 【详解】试题分析：根据折叠图形的性质可得可以添加的图形有6种不同的情况. 考点：旋转图形的性质 3．如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【答案】(1)中心，轴 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可． 【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等）， ． 类型三、旋转中的规律 1．依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解． 【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形， ∴第四个图形是D． 故答案为：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键． 2．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 3．如图在的小正方形网格中，的顶点A、B、C在网格的格点上，将向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，将按一定规律顺次旋转，第1次将绕点B顺时针旋转得到，第2次将绕点顺时针旋转得到，第3次将绕点顺时针旋转得到，第4次将绕点顺时针旋转得到，依次旋转下去． (1)在网格画出和 (2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好是． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）把A、B、C三点将向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，顺次连接得到的各点即可；根据旋转的性质得到的位置，然后顺次连接即可； （2）根据题中的规律旋转，作出相应的图形，由图形可得出至少在第8次旋转后所得的三角形刚好是． 【详解】（1）解：如图所示，和为所求的三角形； （2）解：根据题意画出图形，由图形可得出至少在第8次旋转后所得的三角形刚好是． 【点睛】此题主要考查了平移变换，以及旋转变换作图，关键是找到各点平移、旋转后的对应点，然后作图即可． 1．如图是风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点O顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变．④旋转中心是唯一不动的点．⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度． 根据旋转的性质解答即可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， 直线与所成夹角等于，而得不到，D选项错误 故选：D． 2．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（   ） A．二分之一，轴对称 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．结合图形特征得出图案阴影可以看作图案的四分之一通过旋转得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故选：D． 3．在下列四个图形中，是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形”，熟记旋转对称图形的定义是解题关键．根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得． 【详解】解：题中的四个图形，是旋转对称图形的有正三角形、正方形、正五边形，共有3个， 故选：C． 4．图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 5．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，根据题意可得，根据可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．将一副直角三角板按如图①所示的方式叠放，现将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转，使两块直角三角板至少有一组边互相平行．如图②，当时，，则其他所有符合条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解即可． 【详解】解：由三角板可得，，，， 当时，如图， 此时在上，； 当时，如图， 此时； 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 综上所述，所有符合条件的的度数为或或或， 故答案为：或或或． 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴． 8．画出小旗先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移3格后的图． 【答案】见解析 【分析】根据图形旋转与平移的特点作图即可； 【详解】解：作图如下： 【点睛】本题考查了图形的旋转与平移，旋转时要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度；平移时要注意平移的方向和距离；掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 9．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画出线段； (2)在图2中，线段绕点旋转后可得到线段，画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图，找旋转中心，熟练掌握旋转的定义和性质是解题的关键． （1）根据格点的特点，过点B作即可； （2）连接、，则与的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求．    10．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当α为 度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】(1)15，作图见解析； (2)在旋转过程中，与之间的关系为或； (3)所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 【分析】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，． （1）先根据平行线的性质可求出，再根据角的和差即可得出的度数，然后画图即可； （2）分、和三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论； （3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值． 【详解】（1）若 则 故答案为：15； 画图结果如下所示： ， （2）解：依题意，分以下三种情况： 如图①，当时 则 如图②，当时 则 如图③，当时 则 综上，在旋转过程中，与之间的关系为或； ； （3）依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则（秒） ③当时，此时， 则（秒） ④当时，此时，与重合 则（秒） ⑤当时 则 （秒） 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3 旋转 一、旋转的概念 在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转后重合的点叫对应点，旋转后重合的角叫对应角，旋转后重合的线段叫对应线段。 二、旋转的要素 图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。 三、旋转的性质 1.旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等。 2.旋转变换与轴对称、平移变换一样，只改变了图形的位置，而没有改变图形的形状和大小。 3.对应点到旋转中心的距离相等。 4.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 四、利用旋转的性质画图 利用旋转画图的步骤包括： 1.确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。 2.在已知图形上找关键点。 3.将各关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，按旋转方向作角的另一边，使这些角都等于旋转角，且使另一边的长度都等于连接关键点和旋转中心的线段的长度，即得到关键点的对应点。 4.按原图顺次连接各对应点，得到的图形就是旋转后的图形。 五、中心对称 1.一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点。 2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形可以重合，对应边相等，对应角也相等；对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 巩固课内例1:画出旋转后的图形 1．如图，中，，点P在边上．由旋转得到，下列说法错误的是（   ）    A．旋转中心是点A B． C． D．平分 2．如图，长方形绕点按逆时针方向旋转后得到图形．请回答下列问题： (1)点的对应点是点______，线段的对应线段是______，的对应角是______； (2)旋转中心是______，的大小是____________，四边形的形状是______． 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上，位置如图所示． (1)将先向右平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转后得到，试画出； (2)在（1）的基础上，连接、，四边形的面积是__________． 巩固课内例2:旋转后图形的角度 1．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ． 3．如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，与相交于点，．当时，求的度数． 巩固课内例3:画出已知三角形关于点对称的三角形 1．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 2．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 3．如图，是的中线，画出以为对称中心，与成中心对称的三角形．    类型一、生活中的旋转现象 1．下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 2．下列现象：①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．属于旋转的有 个． 3．请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 类型二、旋转中线、角、对应点 1．如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形重合． 3．如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 类型三、点的旋转 1．如图，将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将 绕点 A 旋转得到，连接，若，则的度数为 ． 3．如图，绕点旋转，顶点的对应点为，请作出旋转后的图形． 类型四、线段的旋转 1．在图形的旋转过程中，有下面四种说法： ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后图形的形状和大小都不变； ④旋转前、后图形的位置一定会改变． 上述四种说法正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为 ． 3．如图，点A，点B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上． (1)将线段绕点A逆时针旋转，画出旋转后的线段； (2)在网格格点上除点外取一点C，使为等腰三角形，请标出所有满足条件的点C的位置． 类型五、三角形的旋转 1．如图，将三角形绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段 上，、交于点，则的度数为 ． 3．在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将绕点逆时针方向旋转后的； (3)求点绕点旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 类型六、中心对称图形 1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 2．如图，与关于点成中心对称，则 ， ． 3．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，在图中添加阴影，使阴影部分既是轴对称图形又是中心对称图形，且阴影部分的面积是9． 类型一、旋转的基本性质求长度 1．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 3． 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 类型二、旋转的基本性质求角度 1．如图，绕点顺时针旋转一定角度后得到，点刚好在的延长线上．若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．时钟上的时针不停地旋转，从上午9时到上午11时，时针旋转的角度是 ． 3．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． (1)求证：平分； (2)与交于点O，，求旋转角α的度数． 类型三、旋转的基本性质求周长 1．如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长为（   ） A．8 B．3 C．9 D．5 2．如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为 ． 3．如图，等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 类型四、旋转的基本性质求面积 1．如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 2．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，如果正方形的边长是5，那么四边形的面积是 ． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上．现将绕点B按顺时针方向旋转，，分别是点A，C的对应点． (1)请画出旋转后的； (2)的面积是__________． 类型一、画旋转图形 1．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 2．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 3．如图，点和的三个顶点都在方格图的格点上，请画出，使和关于点成中心对称． 类型二、利用旋转设计图案 1．在下列图案中，不能用平移得到的图案是（      ） A． B． C． D． 2．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 3．如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 类型三、旋转中的规律 1．依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 2．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 3．如图在的小正方形网格中，的顶点A、B、C在网格的格点上，将向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，将按一定规律顺次旋转，第1次将绕点B顺时针旋转得到，第2次将绕点顺时针旋转得到，第3次将绕点顺时针旋转得到，第4次将绕点顺时针旋转得到，依次旋转下去． (1)在网格画出和 (2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好是． 1．如图是风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点O顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 2．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（   ） A．二分之一，轴对称 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 3．在下列四个图形中，是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 5．如图，将绕点逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则的度数为 ． 6．将一副直角三角板按如图①所示的方式叠放，现将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转，使两块直角三角板至少有一组边互相平行．如图②，当时，，则其他所有符合条件的的度数为 ． 7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 8．画出小旗先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移3格后的图． 9．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画出线段； (2)在图2中，线段绕点旋转后可得到线段，画出点． 10．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当α为 度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$