重点专题1-2 利用导数研究函数的单调性综合【同构，比大小，恒成立等13类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高二数学下·人教A版2019·热点题型专练

【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题1-2 利用导数研究函数的单调性 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 2 【题型1】函数在某个区间上单调递减（增），求参数范围 2 【题型2】函数在某区间上单调（不单调），求参数范围 6 【题型3】函数在某区间上存在单调区间，求参数 8 【题型4】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 12 【题型5】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 14 【题型6】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且不可因式分解） 20 模块二 导数的求单调性的综合应用 23 【题型7】切线问题综合 23 【题型8】利用导数研究恒（能）成立问题（分参） 27 【题型9】切线放缩比大小 32 【题型10】利用导数证明不等式 36 【题型11】原函数与导函数混合还原问题 41 【题型12】构造函数比大小 46 【题型13】函数同构问题（添项，放缩，探路） 51 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】函数在某个区间上单调递减（增），求参数范围 解题技巧 若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【例题4】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 对有 则实数a的取值范围为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【巩固练习3】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数，当时，，则实数a的取值范围为 ． 【题型2】函数在某区间上单调（不单调），求参数范围 解题技巧 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． 典型例题 【例题1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【例题2】若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【巩固练习2若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【巩固练习3若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ． 【题型3】函数在某区间上存在单调区间，求参数 解题技巧 存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题 典型例题 【例题1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【例题2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【巩固练习4】（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ． 【题型4】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 基础知识 利用导数判断函数单调性的步骤 确定函数的定义域； 求出导数的零点； 先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调 当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性 典型例题 【例题1】已知函数，求的单调区间. 【例题2】已知函数.讨论函数的单调性； 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，讨论的单调性 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性． 【题型5】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 基础知识 这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下： 第一步：求的定义域 第二步：求出，通分 第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参 第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点 第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间． 注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 典型例题 【例题1】已知函数，若，讨论函数的单调性． 【例题2】已知，求的单调递减区间. 【例题3】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，其中.求函数的单调区间； 【巩固练习2】已知函数．讨论的单调性； 【巩固练习3】（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【巩固练习4】（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性. 【题型6】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且不可因式分解） 基础知识 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点;(2)讨论函数的单调性. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数．讨论的单调性 【巩固练习2】已知函数.讨论的单调性． 模块二 导数的求单调性的综合应用 【题型7】切线问题综合 典型例题 【例题1】（23-24高二·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·浙江湖州·期末）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（高二下·福建漳州·期中）若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【巩固练习4】（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】利用导数研究恒（能）成立问题（分参） 解题技巧 利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或，利用导数求得函数的单调性与最值即可； （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔； （3）能成立⇔； （4）能成立⇔. 3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 典型例题 【例题1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数.若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 【例题3】已知函数.若存在，使得成立，求实数m的最小值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·期中）已知关于的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为 . 【巩固练习2】（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【巩固练习3】已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【巩固练习4】已知在时恒成立，则实数的最小值为 .（注：为自然对数的底数） 【题型9】切线放缩比大小 解题技巧 常见不等式放缩 1、常见的指数放缩：；； 证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即 证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 2.常见的对数放缩： 证明3： 对于，令，则有，可得. 3.常见三角函数的放缩： 典型例题 【例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 综上所述：. 【例题2】已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【例题3】已知，，则( ) 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（    ） A．， B．， C． D． 【巩固练习2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】设，，，，则( ) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．a＜c＜d＜b 【题型10】利用导数证明不等式 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数在处取得极大值． (1)求a的取值集合；(2)当时，求证： 【例题2】(2023年新高考1卷T19)已知函数． (1)讨论的单调性；(2)证明：当时，． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，. (1)若在点处的切线的斜率为1，求的极值； (2)若，证明：当时，. 【巩固练习2】设函数，． （1）讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：． 【巩固练习3】已知函数. （1）讨论的单调性；(2)证明：当时，. 【题型11】原函数与导函数混合还原问题 解题技巧 常见函数不等式的构造 模型1．对于构造 模型2．对于不等式构造函数 模型3．对于不等式构造函数 模型3拓展：对于不等式构造函数 模型4．对于不等式构造函数 模型4拓展：对于，构造函数 模型5．对于不等式，构造函数 模型5拓展：对于不等式构造函数 模型6．对于不等式构造函数 模型6拓展：对于，构造函数 模型7.三角函数构造 （1） （2） （3） （3） 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题3】（23-24高二下·广东佛山·期末）已知是定义域为的偶函数，当时，有，且，则 ；不等式的解集为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ． 【巩固练习4】已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【题型12】构造函数比大小 解题技巧 型函数 函数极值点： 要点诠释：此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较 典型例题 【例题1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 又因为 【例题3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列不等式中，所有正确的序号是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·期中）若 则 （    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·河南·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【巩固练习6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型13】函数同构问题（添项，放缩，探路） 二级结论 知识点01 常见同构模型 （1）乘积同构模型： （2）商式同构模型： （3）和差同构模型： 知识点02 六大超越函数图像 表达式 图像 极值点 知识点03 添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 知识点04 常见结构 ①； ②； ③ ④； 典型例题 【例题1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1) (2) (3) (4) (5)． (6)； （7） （8） 【例题2】已知不等式对恒成立，则的取值范围为 ． 【例题3】若正实数，满足，则的最小值为 ． 【例题4】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【例题5】已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为( ) A．(-∞，0] B．(-∞，2] C．(-∞，1] D．(-∞，3] 巩固练习 题型 【巩固练习1】设实数，e为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是 ． 【巩固练习3】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【巩固练习4】若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习5】已知a＞b＞1，若，则 A．ln(a＋b)＞1 B．ln(a－b)＜0 【巩固练习6】已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为________. 【巩固练习7】（23-24高二下·湖南永州·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 【巩固练习8】（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习9】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ． 13 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题1-2 利用导数研究函数的单调性 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 2 【题型1】函数在某个区间上单调递减（增），求参数范围 2 【题型2】函数在某区间上单调（不单调），求参数范围 6 【题型3】函数在某区间上存在单调区间，求参数 8 【题型4】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 12 【题型5】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 14 【题型6】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且不可因式分解） 20 模块二 导数的求单调性的综合应用 23 【题型7】切线问题综合 23 【题型8】利用导数研究恒（能）成立问题（分参） 27 【题型9】切线放缩比大小 32 【题型10】利用导数证明不等式 36 【题型11】原函数与导函数混合还原问题 41 【题型12】构造函数比大小 46 【题型13】函数同构问题（添项，放缩，探路） 51 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】函数在某个区间上单调递减（增），求参数范围 解题技巧 若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案. 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，故． 【例题2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上单调递增， 则对任意的，恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 【例题3】（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 【例题4】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 对有 则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据题意设，不妨设，由已知化简可得即在上递增,进而判断可得结果. 【详解】根据题意设， 不妨设，，任意有 可得即可得在上递增, 因为，， 当时，恒成立，即在上递增. 当时，不能恒成立，即在不符合单调递增. 综上，实数a的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则，所以. 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】当，符合题意，当，列不等式组，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，则， 依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则的最小值为. 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数，当时，，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，构造函数，得到单调性，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以为奇函数. 任取，所以， 所以，等价于， 即， 令函数，所以任意，， 所以在上不存在单调减区间. 又因为，， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 因为的最小值为， 所以. 【题型2】函数在某区间上单调（不单调），求参数范围 解题技巧 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． 典型例题 【例题1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调，所以，解得： 【例题2】若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，转化为或，利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】，由函数在区间上单调， 则或，即或，， 即，或，， ， 当时，函数取得最小值3，当时，函数取得最大值4， 所以或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 【巩固练习2若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 【巩固练习3若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出导函数，由导函数在内大于等于0恒成立求解的取值范围；由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围． 【详解】解：①由，得， 由函数在区间单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立， ． 的取值范围是； ②函数在区间内不单调， 在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反， 由，解得，． 而在区间上单调递减，在，上单调递增． 的取值范围是． 【题型3】函数在某区间上存在单调区间，求参数 解题技巧 存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题 典型例题 【例题1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 【例题2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 【巩固练习3】函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的有单调性可得不等关系，参数分离，根据值域求解. 【详解】函数，∴， ∵函数在上存在单调递增区间，，即有解， 令,,∴当时，，即可． 【巩固练习4】（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以 【巩固练习5】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，则， 函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 又，则， 所以在区间上有解， 所以，，令，， 则， 令，则在区间恒成立， 所以在上单调递减，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是． 【题型4】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 基础知识 利用导数判断函数单调性的步骤 确定函数的定义域； 求出导数的零点； 先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调 当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性 典型例题 【例题1】已知函数，求的单调区间. 【解析】的定义域为， 且， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【例题2】已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】（1）因为的定义域为， 又， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），； 当，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，讨论的单调性 【解析】函数的定义域为， ，所以， 设，因为、都在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以时，单调递减； 时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义分析求解； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 【题型5】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 基础知识 这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下： 第一步：求的定义域 第二步：求出，通分 第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参 第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点 第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间． 注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 典型例题 【例题1】已知函数，若，讨论函数的单调性． 【分析】讨论的大小关系，根据导数得出单调性. 【详解】，， 当时，令，解得或， 当，即时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以在上单调递减. 综上， 当时，在上递减，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 【例题2】已知，求的单调递减区间. 【分析】求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性. 【详解】易得的定义域为， ， 令得或. 当时，因为，所以，令得，所以的单调递减区间为. 当时， ①若，即，当时，,当时，， 当时，， 所以的单调递减区间为； ②若，即，当时，恒成立，没有单调递减区间； ③若，即，当时，，当时，， 当时，所以的单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为； 当时，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为. 【例题3】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2)见解析 【分析】（1）先利用导数求时的解，利用极值的概念进行判断及计算； （2）求出，对分类讨论，解不等式即可得到的单调性与极值点． 【详解】（1）当时，，定义域为 ， 令，即， （舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取到极小值为,无极大值. （2）的定义域为， ． ①当时， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． （ii）当时，对恒成立， 所以在上单调递增． （iii）当时，， 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，其中.求函数的单调区间； 【分析】求出，分、、讨论可得答案； 【详解】， 令得， 当时，，则函数在上单调递增， 当时， 或时，， 时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时， 或时，，时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为. 【巩固练习2】已知函数．讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 则， 当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增 【巩固练习3】（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，与联立，由解得； （2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可. 【详解】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 【巩固练习4】（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)答案见解析 【分析】（1）把代入得，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 从而， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得的定义域为. 当，即时， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 当，即时，恒成立，则在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 【题型6】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且不可因式分解） 基础知识 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)唯一的零点1 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数得函数在单调递增，又，得解； （2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性. 【详解】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数．讨论的单调性 【解析】， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【巩固练习2】已知函数.讨论的单调性． 【分析】求导后，分别在和的情况下，根据的正负可确定单调性. 【详解】由题意知，定义域为，； 令，则. ①当，即时，（当且仅当，时取等号）， 在上单调递减； ②当，即时，令，解得，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 模块二 导数的求单调性的综合应用 【题型7】切线问题综合 典型例题 【例题1】（23-24高二·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 【例题2】（23-24高二下·浙江湖州·期末）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义得到，然后构造函数，求导，根据导函数分析单调性得到，即可得到的最大值. 【详解】由题意得，所以，， 将代入中得， 所以， ， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以，即的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（高二下·福建漳州·期中）若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过点P的直线与曲线相切点，斜率相等列等式可得方程有3个不同的实数根，最后结合零点存在定理列式计算即可. 【详解】设过点P的直线与曲线相切于点，则=， 其中表示直线的斜率，即，整理，得. 过点P可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根. 设，则.由，得或，易知和是的两个极值点. 方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点， 所以，即，解得. 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设切点，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点，得到的关系，利用有两解求的取值范围. 【详解】设切点， 又，所以切线斜率为：. 由点斜式，切线方程为：. 因为切线过点，所以. 所以：. 因为过原点的切线有两条，所以关于方程有两解. 由（）， 设，则， 由得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，. 所以有两解，则. 【巩固练习3】（23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 【巩固练习4】（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果. 【详解】设公切线与函数切于点， 由，得，所以公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 设公切线与函数切于点， 由，得，则公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得， 由，得， 令，则， 所以在上递减， 所以， 所以由题意得， 即实数的取值范围是 【题型8】利用导数研究恒（能）成立问题（分参） 解题技巧 利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或，利用导数求得函数的单调性与最值即可； （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔； （3）能成立⇔； （4）能成立⇔. 3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 典型例题 【例题1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数.若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】解：由不等式恒成立，即恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 设，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，， 所以，即，所以实数的取值范围为. 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数讨论函数的单调性可得，即可求解. 【详解】（1）由题意，， 当时，，在R上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ， 令，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，即实数a的取值范围为. 【例题3】已知函数.若存在，使得成立，求实数m的最小值. 【答案】4 【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【详解】由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则， 故m的最小值为4． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·期中）已知关于的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为，其中利用导数求解函数的单调性，进而可得，即可求解. 【详解】由于，故由得， 记 记，由于均为单调递增且恒为正， 故为单调递增函数， 由于，， 所以存在唯一的，使得，， 当单调递增，当单调递减， 故当时，取极小值也是最小值， 且， 故， 故 【巩固练习2】（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为和，减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数判断单调性即可； （2）由（1）得，，由题意得，即，解出不等式即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令得或． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为和，减区间为． （2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减， ，， 故， 在上恒成立，即， 故，即， 即， 解得或， 故实数a的取值范围为． 【巩固练习3】已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，不等式化简为，令，则； 令得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 又，所以． 【巩固练习4】已知在时恒成立，则实数的最小值为 .（注：为自然对数的底数） 【答案】 【分析】转化问题为在时恒成立，只需，设，，结合导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由在时恒成立， 即在时恒成立， 即在时恒成立， 设，， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 所以，即实数的最小值为. 【题型9】切线放缩比大小 解题技巧 常见不等式放缩 1、常见的指数放缩：；； 证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即 证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 2.常见的对数放缩： 证明3： 对于，令，则有，可得. 3.常见三角函数的放缩： 典型例题 【例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构建，，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】构建，则当时恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即； 构建，则当时恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即； 综上所述：. 【例题2】已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 结合不等式， 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 【例题3】已知，，则( ) 【答案】D ，，故 ，，故 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（    ） A．， B．， C． D． 【答案】BD 【分析】构造函数，利用其单调性和最值一一判断即可. 【详解】首先证明切线不等式， 设，则，令，解得， 又因为为单调递增函数，所以有唯一零点， 且当，，此时单调递减，当，，此时单调递增， 故，则，即， 则，，而，所以B正确，A错误； 又因为当时，单调递增，，则， 因此，故D正确，C错误. 【巩固练习2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，，即可判断的大小关系，然后作差，即可得到结果. 【详解】因为，则，且， 则，则； 构造函数，，则， 令，则，令，则， 所以当，单调递增，当，单调递减， 则时，有极大值，即最大值， 所以，即时，， 且，，则，所以； 即. 【巩固练习3】设，，，，则( ) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．a＜c＜d＜b 【答案】B 由不等式，可得a＜c＜b 而，即，即 当x=0.1时，，， 故a＜c＜b＜d 【补充】——当x<1时，有，故 【题型10】利用导数证明不等式 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数在处取得极大值． (1)求a的取值集合；(2)当时，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，然后通过确定导函数的两个零点的大小来列不等式求解； （2）先由（1）得到函数的最小值，然后将不等式问题转化为函数的最值问题来求解即可. 【详解】（1），定义域， 由得，，因为当时，取极大值， 所以，即； （2）由（1）得，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则， 令， 则， 因为，所以恒成立，即在是递增， 所以， 所以， 即时在上恒成立. 【例题2】(2023年新高考1卷T19)已知函数． (1)讨论的单调性；(2)证明：当时，． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，. (1)若在点处的切线的斜率为1，求的极值； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）由求出，再由导数求出极值即可； （2）令，得，再构造函数，利用导数求出可得的单调性，结合在上范围情况可得答案. 【详解】（1）， 若在点处的切线的斜率为1，则，解得， 所以，， 令，解得， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以在有极小值，，无极大值； （2）若，则， 令， 所以， 令，则， 当时，，所以单调递减，所以， 即，所以在上单调递增， 所以， 可得，即. 【巩固练习2】设函数，． （1）讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：． 【分析】（1）由题意可得的定义域为,求出的导函数,通过判断导函数的符号即可判断的单调性； （2）先结合（1）得到，解法一：先求导，，再根据导数的性质求得，进而即可证明；解法二：根据题意可得要证，即证，从而构造函数，求导，再根据导数的性质求得，进而即可证明． 【详解】（1）依题意可得的定义域为， 由， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时， 若，，此时单调递减； 若，，此时单调递增； 综上， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，，即． 解法一： 则， 则，所以单调递减， 又，，所以存在，使得， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以， 又，即，即， 所以， 显然在上单调递增， 又，所以，即． 解法二： 要证，即证，即证，即证， 令，则， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以， 所以，即． 【巩固练习3】已知函数. （1）讨论的单调性；(2)证明：当时，. 【分析】（1）求导，根据的符号分类讨论研究函数的单调性； （2）原不等式等价于，等价于证明，构造函数，求导研究函数单调性，求解最大值即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以的单调减区间是， 当时，.令得，令得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由（1）可得，当时，取得极大值，也是最大值， 所以. 设，则，令得，令得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以，所以命题得证. 【题型11】原函数与导函数混合还原问题 解题技巧 常见函数不等式的构造 模型1．对于构造 模型2．对于不等式构造函数 模型3．对于不等式构造函数 模型3拓展：对于不等式构造函数 模型4．对于不等式构造函数 模型4拓展：对于，构造函数 模型5．对于不等式，构造函数 模型5拓展：对于不等式构造函数 模型6．对于不等式构造函数 模型6拓展：对于，构造函数 模型7.三角函数构造 （1） （2） （3） （3） 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 【例题2】已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 构造函数，由导数确定其单调性，可判断各选项． 【详解】设，则，由已知得， 所以是上的减函数， ∴，即， 即， 【例题3】（23-24高二下·广东佛山·期末）已知是定义域为的偶函数，当时，有，且，则 ；不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过观察发现，然后构造函数，又因为，构造函数，可求得；根据在上单调递增且，又因为是定义域为的偶函数，得，从而可得，即可求解. 【详解】， 移项化简得， 即， 设，则， 设，则， 又，其中为常数，即， ，又，，解得， 所以当时，， 又是定义域为的偶函数，. 当时，，则， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即， 所以在上单调递增，， 所以由可得，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 巩固练习 题型 【巩固练习1】函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 【详解】设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增. 已知，则. 不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以. 不等式的解集为 【巩固练习2】已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，即在上单调递减， 由，则，又， 即不等式等价于， 即，即有，解得. 【巩固练习3】是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据条件确定导数的符号，得到的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】令，则， 故函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 因为， 所以当时，，即， 当时，，即， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【巩固练习4】已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，然后根据单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以 令，则， 因为，，所以，所以在R上单调递减， ，即，即，故A正确，B错； ，即，即，故C错，D正确. 【题型12】构造函数比大小 解题技巧 型函数 函数极值点： 要点诠释：此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较 典型例题 【例题1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【详解】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 【例题2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为 【例题3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列不等式中，所有正确的序号是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】对①构造函数，，利用其单调性即可判断；对②和④分别利用正切函数和余弦函数单调即可比较大小，对③利用函数，的单调性即可. 【详解】对①，令，，， ，则在上恒成立， 则，即，故①正确； 对②，，而，则， 而，则成立； 对③，设，，则， 再令，则，， 则在上恒成立，则在上单调递减， 则，则在上恒成立，则在上单调递减， 因为，则，则成立，故③正确； 对④，根据余弦函数单调性知，故④正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·期中）若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：，令， ，由，解得， 在，在， 所以在上单调递增；在上单调递减. 因为，所以，即，也就是， 又，因为在上仅有一个最值， 所以，即最大，所以. 【巩固练习2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数， 则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，， 因为，所以 【巩固练习3】（23-24高二下·河南·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将和转化为都以为底的对数即可比较和，设，根据导数即可判断和大小关系. 【详解】因为，， 所以，设， 所以，令， 则，因为在上小于，在上大于， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以，， 所以，所以. 【巩固练习4】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性. 【详解】令 ，， 则， 所以在上单调递增 ， 所以，即， 所以， 故选：D 【巩固练习5】已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出在上单调递减，得到，进而得到，即可得到答案. 【详解】令,则. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减. 而 所以在上有. 所以在上单调递减. 所以，即 故.故. 【巩固练习6】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 【题型13】函数同构问题（添项，放缩，探路） 二级结论 知识点01 常见同构模型 （1）乘积同构模型： （2）商式同构模型： （3）和差同构模型： 知识点02 六大超越函数图像 表达式 图像 极值点 知识点03 添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 知识点04 常见结构 ①； ②； ③ ④； 典型例题 【例题1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1) 【解析】(1)显然，则，. (2) 【解析】(2)显然，则，. (3) 【解析】(3)，. (4) 【解析】(4)，. (5)． 【解析】(5)，. (6)； 【解析】显然，则，. （7） 【解析】，，. （8） 【解析】显然，则 ，. 【例题2】已知不等式对恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 解析：易得：， 即：， 构造函数，∴． 易知在为增函数；∴， 令，， 当时，，在为增函数，，∴； 当时，；，；时，； ∴，∴，综上：． 总结：最后不等式要注意x取值范围 补充：对于，也可以分参 【例题3】若正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 解析：由，令 因为，当且仅当取到等号，所以， 故，所以， 令，则，易得在上递增，在递减， 即，所以．故答案为：． 总结：局部构造+放缩不等式 【例题4】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，最后得到不等式，解出即可. 【详解】不等式对恒成立， 等价于，所以， 设，其中，则，令得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，又， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数的取值范围为. 【例题5】已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为( ) A．(-∞，0] B．(-∞，2] C．(-∞，1] D．(-∞，3] 【答案】 【简析】由恒成立可得，， 不等式两边同减2x可得，达成局部同构 注意到不等式右边有最小值0，但是不能直接说，因为左边也有x 所以这里用必要性探路：当时，存在使得， 此时，故时，不恒成立，排除D 而当时，显然恒成立，由此排除AC 如果是解答题，再证当时，因为，故，而，故时，恒成立，如果是选填题就直接放缩即可，但是作为解答题时从逻辑的完整性来说需要用必要性探路 巩固练习 题型 【巩固练习1】设实数，e为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可对原不等式进行变形，再将转换成，构造函数，研究其函数的单调性，并根据和的大小关系，利用单调性进行求解即可. 【详解】   由，可得， 两边同除得：， 可设函数，， 当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，， 故由可得，所以，整理得得. 【巩固练习2】已知是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是 ． 【答案】 解析：由．令，则在上单调递增， 且，所以，即对恒成立． 令，则，所以当时，；当时，， 故在上的最大值是，所以，即实数m的最小值是．故答案为：． 总结：同乘补全结构即可，入门型 【巩固练习3】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【答案】 【解析】，∴， 构造函数，显然在上单调递增， 故等价于，即任意的实数恒成立，． 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，，得． 【巩固练习4】若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由转化为，然后构造函数，再利用导数求函数的单调性，从而求解. 【详解】因为，，所以，不等式可以化为， 令，则，所以． 当时，，故函数在上单调递增． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，因为在上单调递增，， 所以，即．令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，所以在上单调递增，故， 所以，即，矛盾，故舍去． 当时，，所以当时，， 所以，即． 【巩固练习5】已知a＞b＞1，若，则 A．ln(a＋b)＞1 B．ln(a－b)＜0 C． D． 【答案】A 总结：一般都是去括号，这题反过来，可能一下子看不出来，后续计算量很小 第一步，提公因式： 第二步，局部同构： 第三步，构造函数：令，易知在，则有， 故，则A正确 【巩固练习6】已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 第一步，同除a： 第二步，移项，同加： 第三步，指对转化： 第四步，构造函数求出范围：令， 则有 第五步，切线放缩或者构造函数求出最值：由 总结：添项法+切线放缩或构造2次函数 【巩固练习7】（23-24高二下·湖南永州·阶段练习）已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】同构变形得，设，根据导数得到其单调性则，再分离参数得，设，利用导数求出最值即可. 【详解】由题意，原不等式可变形为， 即，设，则当时，恒成立， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则，所以，， 因为在上单调递增， 所以要使，只需， 在上恒成立，取对数，得， 因为，所以．令，，因为， 所以在上单调递增，所以， 所以，则. 故答案为：. 【巩固练习8】（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 【巩固练习9】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，构造函数，根据函数单调性，进一步将不等式转化有解，继而转化为最值求解即可. 【详解】由已知，对于两边同时除以得 ， 变形得， 设，明显其在上单调递增， 所以由得， 即， 所以原问题转化为存在实数x，使得不等式成立， 又， 所以，解得 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$