第07讲 函数的极值与最大（小）值（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第07讲 函数的极值与最大（小）值 【人教A版】 模块一 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 函数极值、极值点的辨析】 【例1】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【解题思路】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【解答过程】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二下·山东威海·期末）设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据极值点定义或举例判断“”和“是函数的极值点”之间的逻辑关系，即可得答案. 【解答过程】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“为函数的极值点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二下·青海海南·期中）下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值定义逐一分析即可. 【解答过程】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间 上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【解答过程】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C. 【题型2 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】A 【解题思路】根据导函数图象得出各区间导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解. 【解答过程】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【解题思路】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【解答过程】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在处取得极小值，在处取得极大值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【解题思路】根据导函数的图象判断单调区间，再依据区间单调性、极值点定义判断各项的正误. 【解答过程】由图象知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，因为，所以，不正确； 对于B，C，由单调性知：为极大值点，为极小值点，B不正确，C正确； 对于D，由于，则，不是最小值，不正确. 故选：C. 【题型3 求已知函数的极值（点）】 【例3】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【解题思路】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【解答过程】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 【变式3.2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【解题思路】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【解答过程】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 【变式3.3】（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【解答过程】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 【题型4 根据极值（点）求参数】 【例4】（24-25高二下·海南海口·月考）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【解答过程】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·湖南·月考）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【答案】A 【解题思路】求出导函数，由导数在极值点处的函数值为零可求或，检验后可得参数的值. 【解答过程】由题知在时取得极大值， ，解得或， 当时，， 由，在区间上单调递增； 由在区间上单调递减． 此时在时取得极大值，满足题意， 当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去． ． 故选：A. 【变式4.2】（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数极值点和函数导数之间的关系，判断函数导数有两个零点时的参数范围，将两个极值点带入导函数，求得两个参数方程，根据换元法，构造新的函数，根据函数单调性，求出函数范围，判断结果. 【解答过程】由题意得，当函数有两个极值点时，即有两个不相等的根， 令，则， 可知当时，，在上单调递增，至多只有一个解，不符合题意； 当时，令，解得， 可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有两个零点，符合题意，即，解得时，有两个零点； 可得，即， 作商得，令，因为，即，所以，变形得， 可得，即，则， 令，， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以在上，所以在上单调递增， 因为，所以在上，即在上，则在上单调递增， 所以，可知， 当时，即，，因为，所以， 综上所述：； 故选：B. 模块二 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出，根据导数求出单调性即可求解. 【解答过程】，令， 则，因为在 ，在 ， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以最小值为. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导，得到函数单调性，故. 【解答过程】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 【例6】（24-25高二下·河北邢台·期中）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】解法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；解法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【解答过程】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式6.1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围. 【解答过程】由求导得， 若，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以在区间上的最小值为， 而，， 所以在区间上的最大值为， 所以， 设函数，， 当时，，从而单调递减， 而，所以，即的取值范围是； 若，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以在区间上的最小值为， 而，，所以在区间上的最大值为， 所以， 而，所以，即的取值范围是， 综上得的取值范围是. 故答案为：. 【变式6.2】（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【解题思路】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【解答过程】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【变式6.3】（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【解题思路】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【解答过程】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时， 在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时， )在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【解答过程】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】A 【解题思路】先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出. 【解答过程】的定义域为， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以 ，即， 又在上单调递增，， 所以． 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【解答过程】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 【变式7.3】（24-25高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意得． 当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值，    当时，即， 解得或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 故选：A． 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B. 【变式8.1】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【解题思路】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【解答过程】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高二下·广东·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3 (2)⋅ 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【解答过程】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为. 【变式8.3】（24-25高三上·福建·月考）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 【解题思路】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值； （2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数求出其最小值可得结果； 解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可； （3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数即可求出的最大值为. 【解答过程】（1）当时，，则 令，解得 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）解法一：由， 若单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知单调递增，但，不合题意 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； （3）当时，易知单调递增. 易知， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以，其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【解题思路】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 2．（25-26高二·全国·假期作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【解答过程】因为，所以，由，得． 又当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，． 故，． 故选：B. 3．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数换元法求解析式，令，可得，再根据的符号确定函数单调性，得到极值点即可． 【解答过程】设，则，，即， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极大值点为． 故选：B． 4．（24-25高二下·江苏徐州·月考）若函数在上的最大值为1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导后分析单调性和极值可得. 【解答过程】， 令， 所以当时，，函数为单调递增函数； 当时，，函数为单调递减函数， 极大值为，极小值为， 又， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 6．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 7．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【解答过程】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B. 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由题设易得，则，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【解答过程】由，可得，即， 同理由，可得， 设，易知， 代入上述式子可得，则， 令，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】ABC 【解题思路】先由导函数图象得到的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【解答过程】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 10．（25-26高二·全国·假期作业）给出下面四个命题，其中正确的是（   ） A．函数的最大值为10，最小值为 B．函数的最大值为17，最小值为1 C．函数的最大值为16，最小值为 D．函数无最大值，也无最小值 【答案】ACD 【解题思路】根据二次函数的性质判断A、B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，与区间端点处的函数值，即可判断C，由C可判断D. 【解答过程】对于A：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以当时取得最小值，当时取得最大值，故A正确； 对于B：， 所以在上单调递增，不存在最值，故B错误； 对于C：，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以和是函数在上的两个极值点，且， 又在区间端点的函数值为，比较以上函数值，可得，故C正确； 对于D：由C知，在上单调递减，故在上无最大值也无最小值，故D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数在处取得极大值，则（   ） A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 【答案】ACD 【解题思路】根据极值点处导数值为0求解，可判断AB，利用导数研究函数的单调性和极值即可判断CD. 【解答过程】因为， 所以， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极小值，不是极大值，不符合题意． 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极大值，符合题意． 综上，，故A正确，B错误； 由上可知，，为的一个增区间， 的极小值为，故CD正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 【答案】 【解题思路】利用极值点的定义判断即可. 【解答过程】若为函数的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在右侧附近导数为负， 结合图象可知，函数在上极大值点的个数为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 的最小值为1，则 ． 【答案】1 【解题思路】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可根据函数的最值求得的值. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即 ，故． 故答案为：． 14．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【解答过程】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）中，函数的单调性，列表，求得函数的极值. 【解答过程】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 16．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【解题思路】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【解答过程】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 17．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）利用极值定义得，可解出解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论. 【解答过程】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 18．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【解答过程】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 19．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）;（ii）在 处函数取得最大值为. (2) 【解题思路】（1）（i）利用导数的几何意义，根据条件的解析式，求出、的值即可求出; （ii）分析出的单调区间，得到极值，分析得出最值即可. （2）利用，，联立解出不等式即可. 【解答过程】（1）（i）当时，，， ，， 切线方程的点斜式为：， 整理得：. （ii），，对任意实数恒成立 的符号由决定： 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递减. 是极小值点，时，， 时，，故， ∴当时，在 处函数取得最大值为. （2）, , 是函数的极大值点, ， ， ,化简得. 设， , 为了确保是极大值点,还需满足， ， ，解得：， 的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的极值与最大（小）值 【人教A版】 模块一 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 函数极值、极值点的辨析】 【例1】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【变式1.1】（24-25高二下·山东威海·期末）设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.2】（24-25高二下·青海海南·期中）下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【变式2.1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【变式2.2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【变式2.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在处取得极小值，在处取得极大值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【题型3 求已知函数的极值（点）】 【例3】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【变式3.2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【变式3.3】（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据极值（点）求参数】 【例4】（24-25高二下·海南海口·月考）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·湖南·月考）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【变式4.2】（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块二 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【变式5.1】（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 【例6】（24-25高二下·河北邢台·期中）已知函数，若，则的最小值为 . 【变式6.1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为 ． 【变式6.2】（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式6.3】（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【变式7.2】（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（24-25高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【变式8.1】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【变式8.2】（24-25高二下·广东·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【变式8.3】（24-25高三上·福建·月考）设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 2．（25-26高二·全国·假期作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高二下·江苏徐州·月考）若函数在上的最大值为1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 6．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 10．（25-26高二·全国·假期作业）给出下面四个命题，其中正确的是（   ） A．函数的最大值为10，最小值为 B．函数的最大值为17，最小值为1 C．函数的最大值为16，最小值为 D．函数无最大值，也无最小值 11．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数在处取得极大值，则（   ） A． B． C．为的一个增区间 D．的极小值为 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 的最小值为1，则 ． 14．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 16．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 17．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 18．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 19．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $