专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 【题型归纳目录】 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法 题型三：三个二次之间的关系 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 题型五：绝对值不等式的解法 题型六：二次函数根的分布问题 题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题. 3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式. 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 【例1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 【变式1-1】（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 即， 即， 故的取值范围是． 【变式1-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））不等式的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：． 题型二：含参数一元二次不等式的解法 【例2】若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式2-1】集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 【变式2-2】已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 【变式2-3】（2025·高三·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，， 若，则， 若时，则. 因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立， 当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且， 综上所述：. 故选：B. 题型三：三个二次之间的关系 【例3】（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷））关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为关于x的不等式的解集为， 所以，又， 所以， 解得，因为，所以. 故选：A. 【变式3-1】已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【解析】由图象及二次函数性质的对称轴为，又图象开口向上， 所以在区间上单调递减，A对； 由图知：不等式的解集为，B对； 由图知：，C错； 根据二次函数与一元二次方程的关系，是的两个根， 所以，，且， 所以，解集为，D对. 故选：C. 【变式3-2】（2025·高三·广东清远·开学考试）若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，显然解集为空，满足题设； 当时，在上无解， 所以，可得； 综上，. 故选：C 【变式3-3】若关于的不等式的解集是，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】根据不等式与方程之间的关系知1为方程的一个根， 即，解得或， 当时，不等式的解集是，符合要求； 当时，不等式的解集是，不符合要求，舍去． 故， 故选：A． 知识点2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 【例4】（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得或. 故选：C 【变式4-1】（2001年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题设，可得或， 所以不等式解集为或. 故选：C 【变式4-2】（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））不等式的解是 ． 【答案】或 【解析】不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为：或． 故答案为或 知识点3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 题型五：绝对值不等式的解法 【例5】（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 【变式5-1】不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 【变式5-3】（2025·高三·上海·期中）不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则 . 【答案】 【解析】不等式，解得或，即， 不等式，解得，即， 所以. 故答案为： 题型六：二次函数根的分布问题 【例6】关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【变式6-1】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数的图象开口向上， 由的一个根小于1，另一个根大于1，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式6-2】若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：D. 题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 【例7】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【变式7-1】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 【变式7-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的都有成立， ，解得， 所以实数的取值范围为． 【方法技巧与总结】 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 【强化测试】 1．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 2．方程在区间和各有一个根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为一元二次方程在区间和各有一个根， 令，则由题意可得，即，解得， 则方程在区间和各有一个根的充要条件是. 故选：B. 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以不等式的解集为． 故选：C. 4．已知集合,，若， 则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得． 因为，所以，即． 故选：. 5．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】不等式变形为， 方程有两个根， 即和1，则的解集为或， 即不等式的解集为或， 故选：C． 6．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是一元二次不等式，所以． 因为对一切实数都成立， 所以，解得． 故选：D. 7．命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因命题为真，故在上恒成立， 故，解得， 故命题为真的一个充分不必要条件为的子集， 故选：B 8．已知二次函数．若在区间内至少存在一个实数c，使得，则实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考虑它的反面，在上恒有，则 即，解得或， 再利用求补法求出p的范围，得． 故选：C． 9．（2025·高三·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解析】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 11．（多选题）下列叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若a，b，，则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．若a，b，且，则“在上恒成立”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】对于A：，当时，，所以 ， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：当时，若“”成立，而，充分性不成立，故B错误； 对于C：令，方程有一个正根和一个负根，则， 则有，所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：当时，在上恒成立可以推出， 而也可以推出恒成立，故D正确. 故选：ACD. 12．（多选题）（2025·高三·广东湛江·期末）已知，，下列给出的实数的值，能使p是q的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D．=2025 【答案】BCD 【解析】对于，， 解得或， 而， 要使p是q的充分不必要条件，则， 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD 13．（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【解析】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 14．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【解析】因为不等式的解集为或， 可知，且的根为，故A正确； 则，可得， 则，，B正确；C正确； 因为，即，且， 则0，解得， 所以的解集为，D错误． 故选：ABC． 15．已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】函数， 显然在上单调递增，在上单调递增， 且，即时函数连续，所以在上递增， 不等式可化为， 即，解得或， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 16．若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，不等式有解， 实数m的取值范围为． 故答案为： 17．若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ． 【答案】 . 【解析】的解集为， 则有2个大于1的根，则， 由韦达定理，可得，则. 注意到， 因，则，则， 故 . 当且仅当，即时取等号. 故答案为：；. 18．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 19．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由于一元二次不等式的解集为，故是方程的两个实数根，故，解得， 故为，故，解得， 故解集为， 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 【题型归纳目录】 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法 题型三：三个二次之间的关系 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 题型五：绝对值不等式的解法 题型六：二次函数根的分布问题 题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题. 3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式. 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 【例1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【变式1-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））不等式的解集为 ．（用区间表示） 题型二：含参数一元二次不等式的解法 【例2】若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-1】集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高三·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三：三个二次之间的关系 【例3】（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷））关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式3-2】（2025·高三·广东清远·开学考试）若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若关于的不等式的解集是，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 【例4】（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2001年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））不等式的解是 ． 知识点3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 题型五：绝对值不等式的解法 【例5】（2025·上海·模拟预测）设，则不等式的解集为 . 【变式5-1】不等式的解集为 . 【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【变式5-3】（2025·高三·上海·期中）不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则 . 题型六：二次函数根的分布问题 【例6】关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式6-1】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 【例7】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【变式7-1】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【变式7-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【方法技巧与总结】 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 【强化测试】 1．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．方程在区间和各有一个根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合,，若， 则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 6．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数．若在区间内至少存在一个实数c，使得，则实数p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列叙述中正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若a，b，，则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．若a，b，且，则“在上恒成立”的充要条件是“” 12．（多选题）（2025·高三·广东湛江·期末）已知，，下列给出的实数的值，能使p是q的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D．=2025 13．（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 14．（多选题）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 15．已知函数则不等式的解集是 ． 16．若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 17．若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为 ，的最小值是 ． 18．不等式的解集为 . 19．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$