专题40 数列通项公式（5大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题40 数列通项 【题型归纳目录】 题型一：观察法 题型二：叠加法 题型三：叠乘法 题型四：构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 题型五：利用与的关系求解 【知识点梳理】 一、观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项． 二、利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得 ②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得 ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式．常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法． ④利用与的关系求解 形如的关系，求其通项公式，可依据 ，求出 【典型例题】 题型一：观察法 【典例1-1】（2025·高二·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高三·江西鹰潭·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍夢垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·广西·学业考试）数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高三·江苏泰州·阶段练习）一只蜗牛从数轴原点出发向正方向前进1个单位长度，接着后退个单位长度，然后再前进个单位长度，接着后退个单位长度，以此类推．经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在某个位置附近前后爬行，这个位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·山东东营·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项 题型二：叠加法 【典例2-1】（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高三·江西·阶段练习）设是公差为2的等差数列，且，若，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【变式2-1】（2025·高二·陕西西安·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 【变式2-2】（2025·高三·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 题型三：叠乘法 【典例3-1】（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高二·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【变式3-1】（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 题型四：构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 【典例4-1】（2025·高二·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高三·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【变式4-2】（2025·高一·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【变式4-3】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ． 题型五：利用与的关系求解 【典例5-1】（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【典例5-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和满足，则数列的通项公式为 ． 【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则 . 【变式5-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【强化测试】 1．（2025·高二·河南·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·河南·开学考试）在数列中，，，则（    ）． A．659 B．661 C．663 D．665 3．（2025·高二·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·河南新乡·阶段练习）数列，，， ，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 6．（2025·高三·山西阳泉·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，恰好构成等比数列的前三项，则 ． 7．（2025·高三·山西吕梁·期末）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 8．（2025·高三·江苏扬州·期末）已知数列的前项和为，，，则 ． 9．（2025·高三·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前n项和为， 若则 . 10．（2025·高三·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，，则 . 11．（2025·高二·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，则 . 12．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则 . 13．（2025·高二·河南鹤壁·期末）已知数列满足，，若，则数列的通项公式为 ． 14．（2025·河南·二模）数列中，，且，则通项公式 . 15．（2025·高三·宁夏银川·阶段练习）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 16．（2025·高二·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 17．（2025·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 18．（2025·高三·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 19．（2025·高三·全国·专题练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．求数列的通项公式． 20．（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，求数列的通项公式. 21．（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 22．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 23．（2025·高二·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 24．（2025·高二·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 25．（2025·高二·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式： 都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项； （2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足： ，求通项. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题40 数列通项 【题型归纳目录】 题型一：观察法 题型二：叠加法 题型三：叠乘法 题型四：构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 题型五：利用与的关系求解 【知识点梳理】 一、观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项． 二、利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得 ②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得 ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式．常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法． ④利用与的关系求解 形如的关系，求其通项公式，可依据 ，求出 【典型例题】 题型一：观察法 【典例1-1】（2025·高二·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B 【典例1-2】（2025·高三·江西鹰潭·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍夢垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 则， . 故选：D 【变式1-1】（2025·高二·广西·学业考试）数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将，，，可以写成成，，， 所以的通项公式为. 故选：C 【变式1-2】（2025·高三·江苏泰州·阶段练习）一只蜗牛从数轴原点出发向正方向前进1个单位长度，接着后退个单位长度，然后再前进个单位长度，接着后退个单位长度，以此类推．经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在某个位置附近前后爬行，这个位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】该蜗牛一次前进一次后退，称为一次行动， 在第1次行动中，蜗牛前进了个单位长度； 在第2次行动中，蜗牛前进了个单位长度； 在第3次行动中，蜗牛前进了个单位长度； 因此在第次行动中，蜗牛前进了个单位长度， 次行动后，蜗牛总共前进了个单位长度， 数列是递增数列，且恒有， 经过足够长的时间，即当无限增大时，将趋近于将趋近于， 所以经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在坐标为的位置附近前后爬行，B正确，ACD均错误. 故选：B 【变式1-3】（2025·高二·山东东营·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项 【答案】B 【解析】由数列， 可得， 令，解得， 所以是这个数列的第1012项. 故选：B. 题型二：叠加法 【典例2-1】（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】[因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以. 故选：B 【典例2-2】（2025·高三·江西·阶段练习）设是公差为2的等差数列，且，若，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】B 【解析】由，得，则， 从而． 故选：B 【变式2-1】（2025·高二·陕西西安·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 【答案】B 【解析】因为， 所以，则. 故选：B. 【变式2-2】（2025·高三·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】在数列中， 即 , 所以 故选：A. 题型三：叠乘法 【典例3-1】（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 【典例3-2】（2025·高二·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【答案】C 【解析】由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 【变式3-1】（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 【变式3-2】（2025·高二·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 题型四：构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 【典例4-1】（2025·高二·河北保定·开学考试）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 【典例4-2】（2025·高二·福建福州·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 【变式4-1】（2025·高三·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高一·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 【变式4-3】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， 即．又，， ∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴数列的通项公式． 故答案为：. 题型五：利用与的关系求解 【典例5-1】（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【解析】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 【典例5-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时，． 当时，． 因为也满足此等式，所以． 故答案为：. 【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则 . 【答案】2500 【解析】由，当得，解得； 当时，由，得， 两式相减得，整理得. 因为，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 从而. 故答案为： 【变式5-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】当时，，所以； 当时，， 两式相减得，，即， 所以， 因为，所以，所以为常数， 故数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【解析】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 【强化测试】 1．（2025·高二·河南·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 2．（2025·高三·河南·开学考试）在数列中，，，则（    ）． A．659 B．661 C．663 D．665 【答案】D 【解析】因为，所以，，…， ， 所以，故． 故选：D. 3．（2025·高二·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 4．（2025·高二·河南新乡·阶段练习）数列，，， ，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，，，不符合题意，故选项A不正确； 对于B：，不符合题意，故选项B不正确； 对于D：，不符合题意，故选项D不正确； 对于C：，，，, 符合题意，故选项C正确； 故选：C. 5．（2025·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（    ） A．145 B．181 C．221 D．265 【答案】C 【解析】因为，所以． 在给定的勾股弦数组序列中，，所以． 易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为， 所以， 故“弦”的通项公式为． 所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于． 故选：C． 6．（2025·高三·山西阳泉·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，恰好构成等比数列的前三项，则 ． 【答案】5 【解析】①， ∴当时，②， ①②得，即. ∵数列各项均为正数， ，即数列是公差为1的等差数列. ∵，，恰好构成等比数列的前三项， ，解得，. 故答案为：5. 7．（2025·高三·山西吕梁·期末）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】4 【解析】由， 故答案为：4． 8．（2025·高三·江苏扬州·期末）已知数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【解析】由可得， 故， 故为等差数列，且公差为2，首项为， 故，故， 故答案为： 9．（2025·高三·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前n项和为， 若则 . 【答案】127 【解析】时．，所以， 又，， 所以，数列是等比数列，公比为， 所以， 故答案为：127. 10．（2025·高三·北京昌平·期末）已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【解析】①， ∴当时，，解得； 当时，②， ①-②得，而，故，. ∴数列是首项为，公比为2的等比数列， ∴数列的通项公式为. 故答案为：. 11．（2025·高二·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，即， 所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以，， 所以， 故答案为：. 12．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 两式相减得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 故答案为： 13．（2025·高二·河南鹤壁·期末）已知数列满足，，若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】根据，取倒数变形为，利用等比数列的定义求解.因为， 所以， 所以， 而，且， 数列是首项为1，公比为2的等比数列， . 故答案为： 14．（2025·河南·二模）数列中，，且，则通项公式 . 【答案】 【解析】把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列，即可求解.， 整理得，， 数列为常数列， 又，则， . 故答案为：. 15．（2025·高三·宁夏银川·阶段练习）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【解析】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 16．（2025·高二·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【解析】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 17．（2025·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 18．（2025·高三·全国·专题练习）若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，当时， ， 当时，不适合上式， 故 19．（2025·高三·全国·专题练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．求数列的通项公式． 【解析】由题意可知， ，，， ， 数列的一个递推关系为，， 当时，利用累加法可得， ， 将代入得， 满足， 所以数列的通项公式为，． 20．（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，求数列的通项公式. 【解析】由题意，得， ． 又符合 所以数列的通项公式为. 21．（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 【解析】当时，； 当时，，，…，将这个等式累加， 得，故， 因为也满足， 所以． 22．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【解析】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即:. 23．（2025·高二·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，； 又，所以，所以， 所以，． （2）因为，所以， ， 以上各式相乘可得， 因为，所以. 24．（2025·高二·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【解析】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 25．（2025·高二·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式： 都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项； （2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足： ，求通项. 【解析】（1）当时， ＝ ＝＝, 也符合上式，所以数列的通项公式是. （2）当时，, 也符合上式， 所以数列的通项公式是. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$