专题03等式与不等式的性质（5大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题03 等式与不等式的性质 【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题 题型五：糖水不等式 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）掌握等式性质． （2）会比较两个数的大小． （3）理解不等式的性质，并能简单应用． 2022年II卷第12题，5分 1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小． 2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 题型一：不等式性质的应用 【例1】（2025·山东菏泽·二模）设a，bR，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a<b<0，则 C．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b 【变式1-1】（2025·高三·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高三·山东·开学考试）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 【例2】（2025·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【变式2-1】若，，且，则下列不等式：①；②；③；④，其中成立的是 （写出所有正确命题的序号）． 【变式2-2】设，，则，的大小关系为 ． 【变式2-3】已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是 ． 【变式2-4】已知，，，则与的大小关系为 ． 知识点2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 【例3】已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【变式3-4】（2025·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 题型四：不等式的综合问题 【例4】（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选题）（2025·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】（多选题）（2025·吉林·模拟预测）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2025·江西新余·模拟预测）若实数满足：，则下列不等式一定成立的是：（     ）． A． B． C． D． 题型五：糖水不等式 【例5】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【变式5-3】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出 （用“”或“”填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 ． 【方法技巧与总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 【强化测试】 1．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）下列命题为真命题的是（   ） A．已知，若，则 B．， C．，都不是4的倍数 D．若，，则的取值范围是 2．（24-25高三下·河北·开学考试）若非零向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若为实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 5．已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 6．（2022·安徽黄山·二模）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 8．设，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 9．（多选题）（24-25高三下·河南·开学考试）已知正数a，b，c满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高三下·河北·开学考试）已知则下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 14．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是 ． 15．已知，则的取值范围为 ． 16．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等式与不等式的性质 【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题 题型五：糖水不等式 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）掌握等式性质． （2）会比较两个数的大小． （3）理解不等式的性质，并能简单应用． 2022年II卷第12题，5分 1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小． 2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 题型一：不等式性质的应用 【例1】（2025·山东菏泽·二模）设a，bR，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a<b<0，则 C．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b 【答案】C 【解析】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，当且仅当a＝b＝1时取等号，C正确； 对于D，取满足，而不成立，D错误． 故选：C 【变式1-1】（2025·高三·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误； 对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误； 对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误． 故选：C． 【变式1-2】下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，得， 反之，当时，不能推出， 故是成立的充分不必要条件，故A错误； 对于B，当时，不成立，故不是成立的充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故B错误； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 反之，满足成立，但不成立，所以是成立的不必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由在上单调递增，可得是的充要条件，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】（2025·高三·山东·开学考试）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于、当时显然错误； 对于、当时显然错误； 对于、当时显然错误； 对于、由，得，， 则，当且仅当时取等号，故正确． 故选：． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 【例2】（2025·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【答案】 【解析】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是． 故答案为： 【变式2-1】若，，且，则下列不等式：①；②；③；④，其中成立的是 （写出所有正确命题的序号）． 【答案】①③④ 【解析】对于①，因为，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以①正确， 对于②，因为，，所以，所以，所以②错误， 对于③，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以③正确， 对于④，因为，，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确， 故答案为：①③④ 【变式2-2】设，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【解析】，， ， 、的大小关系为； 故答案为：． 【变式2-3】已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是 ． 【答案】 【解析】由可得， 即， 因，，则有， 故得：， 由可得，由可得， 于是有． 故答案为：． 【变式2-4】已知，，，则与的大小关系为 ． 【答案】（或） 【解析】由，， 则， 则， 又， 则． 故答案为：（或）． 知识点2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 【例3】已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故， 又，所以 故选：D 【变式3-1】已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则有， 即，解得， 所以由，可得， 两同向不等式相加得： 化简得 故选：C． 【变式3-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 【变式3-3】已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【解析】A选项，，故，即，A正确； B选项，因为，所以， 又，故，故，B正确； C选项，，故，即的取值范围为，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，即，D错误． 故选：D 【变式3-4】（2025·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【解析】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27． 故选：A 题型四：不等式的综合问题 【例4】（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由可知，，故AB正确， 由于，故，C正确， 时，故D错误， 故选：ABC 【变式4-1】（多选题）（2025·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】当且仅当时取等号，A选项正确； 当且仅当时取等号，B选项错误； ∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，D选项正确． 故选：ACD． 【变式4-2】（多选题）（2025·吉林·模拟预测）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，则， 对于选项A：，即； ，即； ，即； 所以，故A正确； 对于选项BD：例如，满足， 因为，即，故B错误； 因为，即，故D错误； 对于选项C：因为， 又由选项A知，， 所以，故C正确； 故选：AC． 【变式4-3】（多选题）（2025·江西新余·模拟预测）若实数满足：，则下列不等式一定成立的是：（     ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A，，故，A错误； B，，，故单调递减，所以，B正确； C，由于，故，C正确； D，取可验证D不成立，D错误． 故选：BC． 题型五：糖水不等式 【例5】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以． 故选：A． 【变式5-1】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可知，正确； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，即，错误； 对于D，，正确． 故选：ABD 【变式5-2】（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【解析】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有； 故选：ABC 【变式5-3】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出 （用“”或“”填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 ． 【答案】 【解析】空1：因为，所以可得： ； 空2：由空1可得：，即． 故答案为：； 【方法技巧与总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 【强化测试】 1．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）下列命题为真命题的是（   ） A．已知，若，则 B．， C．，都不是4的倍数 D．若，，则的取值范围是 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A不正确； 对于B，若， 故恒成立，故B不正确； 对于C，当时，不是4的倍数， 当时，也不是4的倍数，故C正确； 对于D，∵，又，， ∴，故D不正确． 故选：C． 2．（24-25高三下·河北·开学考试）若非零向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 又向量为非零向量， 所以， 即，故A正确，B错误； ，无法确定与0的大小，故C、D均错误． 故选：A． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若为实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，所以，即，故B正确； 对于C，当，符合，但，故C错误； 对于D，因为，所以，当时，， 当时，，故D错误． 故选：B． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A． 5．已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D． 6．（2022·安徽黄山·二模）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：当，时不成立，故A错误； 对B：当，，所以，，即，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：D． 7．（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A中，若，则， 由于，所以成立，故A正确； 选项B中，，，由，取， 则，此时，，即，故B错误； 选项C中，若，则， 由于，则，故C错误； 选项D中，令，则，故D错误． 故选：A． 8．设，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】B 【解析】对于A，若，则，则，正确； 对于B，若，则，则，不正确； 对于C，若，则，正确； 对于D，因为函数在上单调递增， ，，正确． 故选：B． 9．（多选题）（24-25高三下·河南·开学考试）已知正数a，b，c满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为正数a，b，c满足，可得， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：， 当且仅当时，等号成立，即，故C正确； 对于选项D：例如，此时，故D错误． 故选：BC． 10．（多选题）（24-25高三下·河北·开学考试）已知则下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】当时故A错误； 当时，，故B正确； 当时故C错误； ，故D正确． 故选：BD． 11．（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题，，且， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由B可知，当且仅当时等号成立，又函数为增函数， 所以，故C错误； 对于D，，当且仅当即时等号成立，故D正确． 故选：ABD． 12．（多选题）（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD 13．（2024·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 【答案】充分不必要条件 【解析】由，即同号， 当，则； 当，则； 所以充分性成立， 由，存在或使之成立， 但此时不成立， 所以必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要条件 14．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：． 15．已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， ，则， 将不等式的两边同时乘以，可得， ， 故答案为：． 16．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【解析】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确． 对于④，，所以，故④正确． 故答案为：②③④． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$