精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2022级高三学年下学期开学考 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数定义域化简集合A，再利用补集、交集的定义求解作答. 【详解】由，得，解得，即，由，得， 所以. 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】正向推导可得，则，而反向推导，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】，若，则， ，则前者可以推出后者， ，若，则，则后者无法推出前者， 故前者是后者的充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知复数是虚数单位则（ ） A. 复平面内z对应的点在第二象限 B. C. z的虚部是2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数与复平面的关系得到对应点的位置，共轭复数与复数的关系得到，由的系数得到虚部的值，由实部和虚部求得复数的模长，从而得解. 【详解】对应的点为，在第四象限，故A错误； ，故B正确； z的虚部是，故CD错误. 故选：B. 4. 已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ） A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm 【答案】B 【解析】 【分析】应用圆台的体积公式列方程求水的高度，进而可得杯子的高度. 【详解】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为cm，则杯子的容积为，可得， 所以该杯子的高度为cm. 故选：B 6. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 7. 若外接圆的半径为，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 8. 函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的零点即为与交点的横坐标，的零点即为与交点的横坐标，画出图象，数形结合可得答案. 【详解】令得 则的零点即为与交点的横坐标， 令得 则的零点即为与交点的横坐标， 画出的图象， 由图可知：从上到下的三条直线分别说明，，成立， 可得选项D、B、C可能成立， 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点（2，0） B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长 【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误； 当 时，直线与直线垂直，故B正确： ∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确： 当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确， 故选：BCD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知随机变量，且，则的最小值为3 D. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，，，其经验回归方程，则在样本点处的残差为0.5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的概念，可判断A；利用“插空法”可判断B；根据正态分布曲线的对称性以及基本不等式可判断C；根据回归直线必过样本点中心求出，进而得到回归直线方程，再求残差即可判断D. 【详解】对于A，家庭有两个小孩的样本空间为：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）， 已知两个小孩中有女孩的条件下，样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女）， 所以两个小孩中有男孩的概率为，而不是，故A错误； 对于B，问题相当于在7盏亮的路灯间插入3盏不亮的灯，7盏灯之间有6个空， 所以满足条件的不同的关灯方法有种，故B正确； 对于C，因为随机变量，且， 所以，， 则， 因为，所以， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，，其经验回归方程， 所以，即，故， 取，得， 所以样本点处的残差为，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，过抛物线E：的焦点作两条直线，，与E相交于C，D两点，与E相交于A，B，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点，则周长的最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则四边形ABCD面积的最小值为32 D. 若BC过定点，则AD过定点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，需要利用抛物线的定义将三角形周长转化为两点间距离来求最小值；选项B通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理结合焦半径公式来求最小值；选项C根据两直线垂直，设出直线方程，求出弦长，进而得到四边形面积表达式求最小值；选项D通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和已知条件求出定点. 【详解】选项A：对于抛物线，其焦点，准线方程为. 根据抛物线的定义，等于点到准线的距离. 设点到准线的垂足为，则的周长为. 要使周长最小，当，，三点共线时，最小，其最小值为. 又. 所以周长的最小值为，选项A正确. 选项B;，，直线的方程为（）. 联立，消去得，即. 根据韦达定理，. 由抛物线的定义，，. 又，，所以. 根据均值不等式，. 当且仅当且时取等号，所以的最小值为，选项B正确. 选项C：当时，设的斜率为，则的斜率为. 的方程为，的方程为. 设，，，. 联立，消去得，即. 则，. 同理，联立可得. 所以四边形ABCD的面积. 根据均值不等式，当且仅当，即时取等号. 所以，四边形ABCD面积的最小值为32，选项C正确. 选项D：证明AD过定点 设直线BC的方程为，代入得. 设，，则，. 设直线AD的方程为，代入得. 设，，则，. 因为，，，四点共线，所以. 即. 化简可得，所以直线AD过定点，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分．） 12. 二项式的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，解得， ∴展开式的常数项为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 13. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 【答案】192 【解析】 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 14. 如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出，根据图象过点即可得解. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，    连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个. （1）根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关； 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 （2）若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率. 附：. 【答案】（1）答案见解析，有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件计算出月的好评订单个数及非好评订单个数，完成列联表，提出零假设，计算，根据与临界值大小关系判断结论； （2）根据分层抽样性质确定抽取的订单中好评订单的个数，利用古典概型概率公式求结论. 【小问1详解】 月份的订单中，好评订单有个， 非好评订单有个. 月份的订单中，非好评订单有个. 故补全的列联表如下表所示： 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 零假设：该饭店月份订单的好评与服务改进无关. ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 利用分层随机抽样的方法抽取个订单，则好评订单应抽取个， 非好评订单应抽取个. 设“从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，其中恰好有个订单为好评订单”为事件， 则. 所以事件恰好有个订单为好评订单的概率为. 16. 如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足. （1）求证：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； （2）由已知得，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面； 【小问2详解】 由已知得，如图，以为原点，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，则，，， ，，， ，， 设平面的法向量为，则由，得， 令得，， 又，， 设直线与平面所成角为，则． 17. 已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令，得，两式相减得，又，即得 【小问1详解】 设公差为d，又成等比数列， 所以， 又，即，解得或， 而时，不满足成等比数列，所以， 所以. 【小问2详解】 令， 所以， 两式相减有：， 所以数列的前项和为，即， 又，所以， 所以. 18. 已知线段，动点与点、的斜率之积为，点在线段上，且，过作两条互相垂直的直线和动点的轨迹分别交于点、和点、． （1）建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程， （2）求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到动点的轨迹的方程； （2）设其中一条直线的方程为，可得，另一条直线的方程为，可得，故，通过换元结合均值不等式可得结果. 【小问1详解】 以中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系如图所示， 则，，设， 由得，， 化简整理，得，即． 【小问2详解】 由题意的斜率存在且不为0，设为在线段上， ，则，设,, 由，消元，得， ，， ， 同理可得：， ， 令， ， ，，当且仅当，即时等号成立． 四边形面积的最小值为． 19. 已知函数（其中）. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，且函数有极大值点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导数求函数图象在处的切线方程； （2）对和分类讨论，即可得到的取值范围； （3）通过构造函数求最值的方法证明不等式. 【小问1详解】 当时，有，故，而，故. 从而函数的图象在处的切点坐标为，切线斜率为. 则切线方程为，即. 【小问2详解】 ①若，则有，不满足条件； ②若，设， 则对时有，对时有. 所以在上单调递增，在上单调递减，从而， 故对任意的都有，满足条件. 综合①②两方面，可知的取值范围是. 【小问3详解】 设，， 则， 所以在上单调递减. 由，，得， 假设，则对或均有，所以在和上单调递增. 从而在上单调递增，不可能有极大值点，矛盾. 所以，此时. 从而根据的符号可知在和上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值点，同时，即， 从而 . 所以 . 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高三学年下学期开学考 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数是虚数单位则（ ） A. 复平面内z对应的点在第二象限 B. C. z的虚部是2 D. 4. 已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ） A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm 6. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 若外接圆的半径为，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点（2，0） B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知随机变量，且，则的最小值为3 D. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，，，其经验回归方程，则在样本点处的残差为0.5 11. 如图，过抛物线E：的焦点作两条直线，，与E相交于C，D两点，与E相交于A，B，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点，则周长的最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则四边形ABCD面积的最小值为32 D. 若BC过定点，则AD过定点 三、填空题（每小题5分，共15分．） 12. 二项式的展开式中的常数项为______. 13. 如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案. 14. 如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个. （1）根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关； 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 服务改进后 合计 （2）若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率. 附：. 16. 如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足. （1）求证：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 18. 已知线段，动点与点、的斜率之积为，点在线段上，且，过作两条互相垂直的直线和动点的轨迹分别交于点、和点、． （1）建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程， （2）求四边形面积的最小值． 19. 已知函数（其中）. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，且函数有极大值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $