精品解析：广东省揭阳市普宁市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省揭阳市普宁市八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. C. 1，1， D. 5，12，13 2. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等，两直线平行 C. 若a，b是有理数，则 D. 如果，那么与是对顶角 6. 如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 有一组数据4，4，6，8，8，则6是这组数据的（ ） A. 众数 B. 平均数但不是中位数 C. 平均数也是中位数 D. 中位数但不是平均数 9. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 10. 函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则_______． 12. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是_____________．（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，为的外角，则_________． 14. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 15. 如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是_______． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长． 18. 如图，A(-1，0)，C(1，4)点B在x轴上，且AB=3. (1)求点B的坐标，并画出△ABC；(2)求△ABC的面积. 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 20. 某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 （1）购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y值； （2）该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 21. 小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 50 60 70 80 90 100 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … （1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象； （2）求出y关于x的函数表达式； （3）根据小林的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点． 提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段直角边在第一象限内作等腰直角，，直线经过A，C两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若E为x轴正半轴上一点，的面积等于的面积，求E点坐标； （4）如图2，过点C作轴，垂足为D，点P是直线上的动点，点Q是直线上的动点．试探究能否成为以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省揭阳市普宁市八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. C. 1，1， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵ ， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、∵这三个数都不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C、∵1，1，这三个数不都是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； 故选：D． 2. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数要大于等于零，二次根式才有意义是解答关键． 根据二次根式的被开方数在大于等于零列出不等式求解． 【详解】解：式子有意义， ， ． 故选：B． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的性质计算，掌握算术平方根、立方根的性质进行计算是解题的关键．根据算术平方根、立方根的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，选项说法不正确，不符合题意； B、，选项说法正确，符合题意； C、，选项说法不正确，不符合题意； D、，选项说法不正确，不符合题意． 故选：B． 4. 已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到，，再带入求值即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：D． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等，两直线平行 C. 若a，b是有理数，则 D. 如果，那么与是对顶角 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方的定义、平行线的判定定理、绝对值的性质、对顶角的概念判断即可． 【详解】解：A、若，则，是假命题，也有可能； B、同位角相等，两直线平行，是真命题； C、若，是有理数，则，是假命题，当时，显然不成立； D、如果，那么与是对顶角，是假命题，相等的角不一定是对顶角； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和可求得，利用两直线平行，同位角相等可知，即可求得答案． 【详解】解：，且， 又 故选：D． 7. 我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可． 【详解】解：设每只雀为x斤，每只燕为y斤， 根据题意，列出方程得：， 故选：A． 8. 有一组数据4，4，6，8，8，则6是这组数据的（ ） A. 众数 B. 平均数但不是中位数 C. 平均数也是中位数 D. 中位数但不是平均数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平均数、众数和中位数，根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据中4和8出现的次数最多且一样多，故众数为4和8； 这组数据的中位数为6， 这组数据平均数为：； 所以6是这组数据的平均数也是中位数． 故选：C． 9. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形， 则这圈金属丝的周长最小为的长度 圆柱底面的周长为，圆柱高为 ， 这圈金属丝的周长最小为 故选：A 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 10. 函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象判断出b的符号，然后根据b的符号判断出正比例函数的图象经过的象限，即可做出判断． 【详解】解：A、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过一、三象限，故A正确； B、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过二、四象限，故B错误； C、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过一、三象限，故C错误； D、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过二、四象限，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数，熟记一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可求得，熟知能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解，是解题的关键． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解， ，解得 故答案为：． 12. 如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，要选一位成绩稳定的运动员去参加比赛，应选的运动员是_____________．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】观察图象判断甲、乙的方差大小，得出结论即可. 【详解】解：利用图象直接观察甲、乙设计环数的波动情况，会看到甲的波动程度小于乙的波动程度，由此估计甲的方差小于乙的方差，因此应选甲； 故答案为：甲. 【点睛】本题主要考查方差的判断问题，直接观察即可，属于基础题. 13. 如图，为的外角，则_________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：40． 14. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，解题时注意：各象限内点的坐标特征为：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：． 由于一个机器人从点出发，向正东方向走3米，到达点，那么点坐标为，再向正北走6米到达点，那么点坐标为，6)，再向正西走9米到达点，那么点坐标为，然后依此类推，找出规律，即可求出的坐标． 【详解】解：根据题意可知：， 故点的坐标为； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 依此类推，可得点的坐标为，即． 故答案为：． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 利用二次根式的乘除法则和平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明CD＝BD，结合已知条件可得CD2－DA2＝AC2 ，从而可得结论； （2）由AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，则 再利用勾股定理列方程即可. 【小问1详解】 解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD． ∵ BD2－DA2＝AC2 ， ∴ CD2－DA2＝AC2 ． ∴∠A＝90°． 【小问2详解】 解：∵ AD∶BD＝3∶4， ∴设AD＝3x，BD＝4x． BD2－DA2＝AC2 ， ∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2． ∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56， ∴x＝1． （负根舍去） ∴AC＝． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键. 18. 如图，A(-1，0)，C(1，4)点B在x轴上，且AB=3. (1)求点B坐标，并画出△ABC；(2)求△ABC的面积. 【答案】(1) B点坐标为（-4，0）或(2，0)，画图见解析；(2）6. 【解析】 【详解】试题分析：根据AB的长度得出点B的坐标，根据三角形的面积计算公式求出三角形的面积． 试题解析：（1）∵AB=3 ∴点B的坐标为（－4，0）或（2，0） （2）S=3×4÷2=6． 考点：平面直角坐标系． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①9分，8分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比，结合圆心角的计算解答即可． （2）根据样本容量，求得7分的人数补图即可． （3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可． ②根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是（人）， ∴（人），， 故答案为：；12． 【小问2详解】 ∵（人）， ∴补图如下： 【小问3详解】 ①∵甲队第10个，11个数据都是9分， ∴中位数是（分）； ∵乙队的第10个，11个数据都是8分， ∴中位数是（分）； 故答案为：9分，8分． ②②（分）， （分）， 故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好． 【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键． 20. 某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 （1）购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； （2）该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【答案】（1）x，y的值分别为8，12 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）先根据题意列出方程组，然后求解即可； （2）先根据题意列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可． 小问1详解】 解：由题意可得： ，解得：， ∴x，y的值分别为8，12． 【小问2详解】 解：设甲种水果售出，则乙种水果售出，该平台利润为w元，则 ， ∵， ∴w随m增大而增大， ∵ ∴当时，w最大，且最大值为2400元． ∴每天售完1000kg水果获利无法达到2500元． 21. 小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 50 60 70 80 90 100 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … （1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象； （2）求出y关于x的函数表达式； （3）根据小林的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）此时双层部分的长度为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求一次函数的方法是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）将y关于x的函数表达式代入，求出x的值并代入y关于x的函数表达式，求出对应y的值即可． 【小问1详解】 解：描点、连线画出一次函数图象，如下图所示： ； 【小问2详解】 解：设， 将，代入， 得： 解得： 则y与x的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得：， ，即， ∴ 解得：， ∴， 则当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点． 提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升] 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】解：[探究一]：，理由如下： 如图①， ∵， ∴， ∴， ∴． [探究二]如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． [拓广提升]∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，直线经过A，C两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若E为x轴正半轴上一点，的面积等于的面积，求E点坐标； （4）如图2，过点C作轴，垂足为D，点P是直线上的动点，点Q是直线上的动点．试探究能否成为以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）和； （2）； （3）； （4）能，的长度为2或或8． 【解析】 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出A、B两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点C的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）过点C作的平行线与x轴交于点E，根据两个三角形“同底等高”可知，再通过辅助线构造．由相似三角形对应边成比例求出长度即可． （4）是以为直角边的等腰直角三角形分为两种情况讨论：或，都通过“一线三直角”模型构造全等三角形，然后设出P、Q两点的坐标，再根据全等三角形对应边相等建立方程求解出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：对于直线，令，，则点B坐标； 令，，则点A坐标为． 故点A、B坐标分别是和； 【小问2详解】 解：如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足． 为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，， ． ． ，． ． 故点C坐标为． 设函数表达式为，把A、C两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：如图，过点C作的平行线，交x轴于点E，则（同底等高）． 过点A作直线的垂线交于点C ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ，． ，， ． 又． ． ，． ． 故点E的坐标为； 【小问4详解】 解：设点P的坐标为，点Q的坐标为． 以为直角边的是等腰直角三角形， 分为两种情况：时， 如图．过点P作x轴的平行线交y轴于点M，交于点N， 同（2）理可证得， ，， ，，，． ， 或 ， ， 则或（或12不合题意，舍去）． 此时等腰直角的另一种情况如图所示． 或． 时，如图，过点、向轴分别作垂线，垂足为，， 同理可证得． ，， ，，，． ， 或8， 当时，，或（不合题意舍去）， 此时与重合，故舍去． 当时，，（不合题意舍去）． ． 故的长度为2或或8． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$