精品解析：四川省绵阳市平武县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年平武县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求） 1. 函数 的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，把形如，（，，均为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，称为一次项系数，为常数项，即可． 【详解】解：函数的一次项系数为：． 故选：B． 2. 下列四个汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称和轴对称知识依次判断即可. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D正确； 故选D. 【点睛】本题是对中心对称和轴对称的考查，熟练掌握中心对称和轴对称知识是解决本题的关键. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 四点共圆 C. 二次函数的图象开口向上 D. 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件、必然事件的可能性，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能性介于0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为的选项即可． 【详解】解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，A选项不是必然事件，不合题意； 四点可能共圆，也可能不共圆，B选项不是必然事件，不合题意； 二次函数的图象开口向下，C选项是不可能事件，不合题意； 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中一定有红衣服，D选项是必然事件，符合题意； 故选D． 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切于点M，P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，连接OM，分别利用三角形中位线定理可求得OM和OP的长，则可求得PQ的最小值． 【详解】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，连接OM，如图， ∵AC为圆的切线， ∴OM⊥AC， ∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°， ∴OM∥BC，且O为AB中点， ∴OM为△ABC的中位线， ∴OM=BC=3， 同理可得PO=AC=4， ∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1， 故选：A． 【点睛】此题主要考查圆的切线、三角形中位线的综合应用，熟练掌握，即可解题. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 6. 将抛物线的图象位于直线 以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线 与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况： 直线经过点即左边的对折点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； 若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解： 令 ，则， 解得 或， ， 平移直线 知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由 知若直线 与新图象只有四个交点，的取值范围为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 7. 圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的全面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，根据全面积邓毅底面积加侧面积，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为2， ∴圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为， 故圆锥的全面积为， 故选：C． 8. 如图，点A(3，5)关于原点O的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，与反比例函数y（0＜k＜15）的图像交于点D，连接AD，CD，AD与x轴交于点B(﹣2，0)，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，可得C（﹣3，﹣5），从而得到D点横坐标是﹣3，然后求出直线AB的解析式，进而求出点D的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C， ∴C（﹣3，﹣5）， ∵CD//y轴， ∴D点横坐标是﹣3， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 把B（﹣2，0），A（3，5）代入得，， 解得k＝1，b＝2， ∴直线AB的解析式为y＝x+2， 把x＝﹣3代入y＝x+2＝﹣1， ∴D（﹣3，﹣1）， ∵反比例函数y（0＜k＜15）的图像过点D， ∴k＝3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像和性质是解题的关键． 9. 如图，是半圆O的直径，C、D两点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆中的角度计算，熟练掌握圆周角定理和邻补角的性质是解决问题的关键． 首先利用圆周角与圆心角的关系求出，然后利用邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵与是所对的圆周角及圆心角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　） A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣3 D. 4﹣π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算． 11. 如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作 ，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（ ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据等腰直角三角形的性质和 证明，得到，，从而得到，可推出 ，再根据线段的和差即可判断①；由可推出，由，，可得，可判断②；可证明，得到，由，可判断③；由，得，根据，可判断④． 【详解】解：，，是的角平分线， ，，， ，，且 ， ， ， ，，， ， ，，， ， ， 又， ，是确定的， 是定值，故①正确； ， ， 又， ， ，， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故②错误； ，，， ， ，且， 是定值， 四边形的面积是定值，故③正确； ， ， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故④错误； 保持定值的有①③， 故选：B． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：① ；②；③ ；④当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数经过点即可判断①；根据抛物线开口向下和对称轴为直线即可判断②③；根据图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点， ∴ ，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ， ∴， ∴， ，故②错误，故③正确； 由题意得，抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； ∴正确的一共有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，根据图象求不等式的解集等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应横线上） 13. 若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质和分式的化简；利用已知条件得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到， ，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴ 故答案为： 15. 盒子里装有除颜色外没有其他区别的3个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个球，则取出的球是红的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用取出红球概率=盒子里红球的个数÷所有球的个数，即可求出结论． 【详解】解：盒子里共有 个球，红球3个， 取出红球的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，牢记随机事件的概率公式是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性．由题意知，对称轴为直线 ，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线 ， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 17. 如图所示，点A在反比例函数的图象上， 与y轴切于点B，交x轴于点C，D．若点C的坐标为，点D的坐标为，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作 于点E，则，，先求出，可求出点A的坐标为，再由切线的性质可得点B的坐标为，从而得到，再由特殊角锐角三角函数，可得，从而得到，然后根据图中阴影部分面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A作 于点E，则，， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴点，即， ∴点A的横坐标为4， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴点A的坐标为， ∵ 与y轴切于点B， ∴ 轴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴图中阴影部分面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的定义，矩形的判定与性质，反比例函数，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 如图，已知的半径是4，点在上，且，动点C在上运动（不与重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】取中点E得是的中位线，知，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，从而知求的最小值就是求点A与 上的点的距离的最小值，据此求解可得． 【详解】解：如图1，连接取的中点E，连接． 则． 在中，是的中位线， ∴， ∴， 即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上， ∴求的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值， 如图2，当D在线段AE上时，取最小值， ∵ ， ∴，， ∴最小值为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E为圆心，2为半径的圆． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移4个单位得到，画出； （2）将（1）中的绕点逆时针旋转，得到，画出； （3）求出在（1）（2）过程中所扫过的面积．（结果保留π） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． ①根据平移的性质作图即可． ②根据旋转的性质作图即可． ③利用勾股定理求出A1B1的长，进而可利用扇形面积公式求出扇形A1B1B2的面积，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形ABB1A1面积，与扇形A1B1B2的面积相加即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如上图，即为所求． 【小问3详解】 由勾股定理得， 在①②过程中所扫过的面积为： ． 20. 在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率． 【答案】（1）200 （2）C的人数为： （名）， 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）由D的人数除以所占的比例即可； （2）求出C的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共抽取的学生为： （名）， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种， ∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】（1）一次函数和反比例函数的解析式分别是， （2） 的面积是 （3）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算 ，结合计算即可． （3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∵设一次函数与反比例函数的图像相交于 ，两点， ∴， 解得， 故； ． 【小问2详解】 解：设直线与y轴的交点为C， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，且， 故或． 23. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为 ； 【小问2详解】 解：设销售单价降低元，销售利润为元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于 的延长线交于点E，F， 且 ． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理得到 ，由圆周角定理和已知条件证明 ，进而可证明 ，由此即可证明是的切线； （2）由垂径定理和圆的性质得到 ，则 ，解直角三角得到，，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径，是的弦，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，直线l： 与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L： 经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A． （2）若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作 轴，交l于点E． ①当时，求的长； ②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围． （3）若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值． 【答案】（1），抛物线L经过点A （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）先求点，用待定系数法求解析式，再将点A坐标代入解析式判断即可； （2）①先求点，根据对称性求出，再求出即可；②由题意知，则，，，然后根据二次函数的性质求取值范围即可； （3）如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F．则，，由题意知，，，则，，则，然后求最值即可． 【小问1详解】 解：当时， ，即点， 当时， ， 解得， ， ∴， 将，代入 得，， 解得，， ∴； 当 时，， ∴抛物线L经过点A． 【小问2详解】 ① 解：当时，， ∴， ∵， ∴抛物线L的对称轴为直线， ∴， 当时，，即， ∴， ∴的长为； ②解：由题意知，，则，， ∴， ∴当 时，随着m的增大而增大， 又∵， ∴当的长随m的增大而增大，m的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F． ∵ ，， ∴， ∴， ∴， 由题意知，，，则， ∴， ∴， ∴当 时，最大，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质，正弦，二次函数与线段综合等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质，正弦，二次函数与线段综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年平武县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求） 1. 函数 的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 四点共圆 C. 二次函数的图象开口向上 D. 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切于点M，P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 将抛物线的图象位于直线 以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线 与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的全面积是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A(3，5)关于原点O的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，与反比例函数y（0＜k＜15）的图像交于点D，连接AD，CD，AD与x轴交于点B(﹣2，0)，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，是半圆O的直径，C、D两点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　） A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣3 D. 4﹣π 11. 如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作 ，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（ ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A. B. C. D. 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：① ；②；③ ；④当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应横线上） 13. 若，则的值为________． 14. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 15. 盒子里装有除颜色外没有其他区别的3个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个球，则取出的球是红的概率为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为________． 17. 如图所示，点A在反比例函数的图象上， 与y轴切于点B，交x轴于点C，D．若点C的坐标为，点D的坐标为，则图中阴影部分面积为______． 18. 如图，已知的半径是4，点在上，且，动点C在上运动（不与重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是___________． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移4个单位得到，画出； （2）将（1）中的绕点逆时针旋转，得到，画出； （3）求出在（1）（2）过程中所扫过的面积．（结果保留π） 20. 在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 23. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于 的延长线交于点E，F， 且 ． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的长． 25. 如图，直线l： 与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L： 经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A． （2）若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作 轴，交l于点E． ①当时，求的长； ②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围． （3）若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $