精品解析：湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期期末质量监测试卷 八年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C D. 4. 酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ） A 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形 5. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B，C在上，，，，则的长为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列运算中，结果正确的是（） A. B. C. D. 9. 下列四个分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 12. 如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是________． 13. 因式分解：__________． 14. 如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 _______． 15. 计算：________． 16. 在如图所示的正方形网格中，等于________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作交于点D，作交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 19. 先分解因式，再求值：，其中． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）写出各顶点坐标； （3）试在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并写出点的坐标______． 21. 如图，在四边形中，为上的一点 求证： （1）平分； （2） 22. 解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 23. 如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）用含有的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，求出当时绿化的总面积； （3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 24. 下面是嘉怡同学在学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价＝20 （1）解法一所列方程中的表示______（填序号），解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过1450元资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 25. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期末质量监测试卷 八年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列常见的手机软件小图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故符合题意； 故选： D． 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 由题意知，，即，然后判断作答即可． 详解】解：由题意知，， ， 故选：A． 3. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三线，根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误； 故选B． 4. 酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ） A. 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了镶嵌， 先分别求出每种正多边形的一个内角，再根据内角和能否拼成可判断答案． 【详解】解：由正八边形的内角为，正方形的内角是， 可得， 所以正八边形和正方形能铺满地面， 则A不符合题意； 由正八边形的内角为，正五边形的内角是， 可得内角为，不能拼成， 所以正八边形和正五边形不能铺满地面， 则B符合题意； 由正六边形的内角为，正三角形的内角是， 可得， 所以正六边形和正三角形能铺满地面， 则C不符合题意； 由正三角形的内角为，正方形的内角是， 可得， 所以正三角形和正方形能铺满地面， 则D不符合题意． 故选：B． 5. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，理解和掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解答此题的关键． 【详解】解：当底角是时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形的顶角为． 故选：C． 6. 如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 如图，点B，C在上，，，，则的长为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质推出，得到，而，，即可求出． 【详解】解： ， ， ， ，， ， ． 故选B． 8. 下列运算中，结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、与无法合并，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 下列四个分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A、为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 10. 如图，中，，的角平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵中，，的角平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴的面积为：，故A正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 则， 故答案为：. 12. 如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是________． 【答案】等腰三角形三线合一 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故样操作的数学依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用提公因式法提出ab，再运用平方差公式分解，即可得到结果ab(a+1)(a-1)． 【详解】解：原式． 故答案为：ab(a+1)(a-1)． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的基本方法和要求是解题的关键． 14. 如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 _______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键； 根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可. 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22. 15. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则的逆用是解题的关键． 先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 16. 在如图所示的正方形网格中，等于________． 【答案】##225度 【解析】 【分析】此题结合网格的特点考查了余角和全等三角形的判定与性质．由网格的特点可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，两角互余，与所在的三角形全等，两角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式， 根据单项式乘以多项式等于用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加即可． 【详解】解：原式． 18. 小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作交于点D，作交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解；， ，． ， ． ， ， ． ， ． 19. 先分解因式，再求值：，其中． 【答案】，970 【解析】 【分析】原式提取变形后，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 当，时， 原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）写出各顶点坐标； （3）试在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并写出点的坐标______． 【答案】（1）图见解析 （2），， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据直角坐标系写出各顶点坐标即可， （3）连接，与轴交于点，此时点到、两点的距离和最小，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如下图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：，， 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， 点的坐标为． 21. 如图，在四边形中，为上的一点 求证： （1）平分； （2） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义． （1）利用证明，则，即可得出结论； （2）利用证明，则． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 在和中， ， ， ． 22. 解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二，利用完全平方公式展开错误；任务二：． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可；②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解． 23. 如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）用含有的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，求出当时绿化的总面积； （3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 【答案】（1） （2） （3）13 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）把代入（1）的代数式即可得到结论； （3）设乙队每小时至少绿化，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：绿化的总面积为 （平方米）； 【小问2详解】 解：将代入， （平方米）； 【小问3详解】 解：设乙队每小时至少绿化， 要求总工作时间不超过15小时，故合作完成部分不得超过小时， 故甲单独工作， 剩余， 故， 解得． 答：则乙队每小时至少绿化平方米． 24. 下面是嘉怡同学在学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价＝20 （1）解法一所列方程中的表示______（填序号），解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 【答案】（1）①，③ （2）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 （3）至多购进甲种商品12件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【小问1详解】 解：由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价-乙商品进价=20可得：中x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； 【小问2详解】 解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 【小问3详解】 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 25. △ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为180°，求出∠ABC的度数，即可求出答案； （2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可； （3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可． 【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=α， ∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α， ∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°， 即∠ABD=30°-α； （2）△ABE为等边三角形． 证明：如图，连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD， ∴BC=BD，∠DBC=60°． 又∵∠ABE=60°， ∴且△BCD为等边三角形． 在△ABD与△ACD中， ∵AB=AC，AD=AD，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴． ∵∠BCE=150°， ∴． ∴． 在△ABD和△EBC中， ∵，，BC=BD， ∴△ABD≌△EBC（AAS）． ∴AB=BE． ∴△ABE为等边三角形． （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°， ∴． 又∵∠DEC=45°， ∴△DCE为等腰直角三角形． ∴DC=CE=BC． ∵∠BCE=150°， ∴． 而． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，其中，理解与掌握相关概念并能正确运用作辅助线构造全等三角形与等边三角形是解决本题的关键，本题综合性较强，对学生的能力要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$