精品解析：广东省江门市江海区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省江门市江海区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A B. 6 C. D. 3 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，则下列说法中不正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是半径，是的弦，于点，，，则弦的长是（　　） A 8 B. 12 C. 16 D. 20 6. 如图，点是反比例函数（）图象上任意一点，则的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 8. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C D. 9. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 结果保留小数点后三位 0.800 0.870 0.883 0.890 0909 0.899 0.902 下列说法正确的是（ ） A. 若移植10棵幼树，成活数将为8棵 B. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 C. 移植的幼树越多，成活率越高 D. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 设、是方程的两个根，则______． 13. 如图，在一个的正方形网格中，若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合，则其旋转中心可能是图中的_____． 14. 如图，在中，，把绕点B逆时针旋转，得到，点E在上，若，，那么的面积是 _______． 15. 如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则阴影部分面积是_________． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：x2﹣5x+6＝0 17. 如图，P是外一点，与相切，切点为A．过点P作的切线 小云的画法是： ①连接，过点A画出的垂线交于点B； ②画出直线． 直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接． ∵， ∴垂直平分，． ∴①　 　． ∴②　 　． ∴． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． ∴． ∴于点B． ∵是的半径， ∴是的切线（③　　）（填推理的依据）． 18. 已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解” 等级 A B C D 人数（人） 30 60 40 20 请根据以上信息，解答下列问题： （1）若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数； （2）学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 20. 某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直墙的一边长为米． （1）当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x． （2）当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值． 21. 如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． （3）在（2）情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省江门市江海区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，直接把点代入反比例函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选A． 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程为， 故选：A． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，则下列说法中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， ，， A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 5. 如图，是半径，是的弦，于点，，，则弦的长是（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 由垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据即可求出弦的长． 【详解】解：是半径，是的弦，且于点， ，， 中，根据勾股定理可得： ， ， 故选：． 6. 如图，点是反比例函数（）图象上任意一点，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义解答即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴， ∴， 故选：． 7. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【详解】解：这个扇形的弧长． 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 8. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 9. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 10. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 结果保留小数点后三位 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 下列说法正确的是（ ） A. 若移植10棵幼树，成活数将为8棵 B. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 C. 移植幼树越多，成活率越高 D. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900 【答案】D 【解析】 【分析】题考查了利用频率估计概率，概率的意义．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【详解】解：∵概率是大量重复实验情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴所以这种幼树移植成活率的概率约为， 故选D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 设、是方程的两个根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：在中，，， 、是方程的两个根， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 13. 如图，在一个的正方形网格中，若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合，则其旋转中心可能是图中的_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，据此解答即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，两组对应顶点的连线的垂直平分线的交点是旋转中心， 故答案为：． 14. 如图，在中，，把绕点B逆时针旋转，得到，点E在上，若，，那么的面积是 _______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的面积公式等知识，推导出，且于点E是解题的关键． 根据勾股定理求得，由旋转得，，则于点E，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵把绕着B点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为30， 故答案为：30． 15. 如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则阴影部分面积是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作辅助线，首先求出半圆O的面积，其次求出的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积． 该题主要考查了正方形的性质、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差． 【详解】解：如图，连接． 则 ，， 由题意得：图中阴影部分的面积， 故答案为: ． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：x2﹣5x+6＝0 【答案】x1＝2，x2＝3 【解析】 【分析】利用因式分解的方法解出方程即可. 【详解】利用因式分解法求解可得． 解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 17. 如图，P是外一点，与相切，切点为A．过点P作的切线 小云的画法是： ①连接，过点A画出的垂线交于点B； ②画出直线． 直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接． ∵， ∴垂直平分，． ∴①　 　． ∴②　 　． ∴． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． ∴． ∴于点B． ∵是的半径， ∴是的切线（③　　）（填推理的依据）． 【答案】（1）详见解析 （2），过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据要求作出图形； （2）证明即可． 【小问1详解】 图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接． ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∴． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． ∴． ∴于点B． ∵是的半径， ∴是的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）． 故答案为：． 18. 已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为，求的值； （2）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式的意义； （1）将代入方程中即可求出答案． （2）根据根的判别式即可求出答案． 【小问1详解】 将代入原方程可得， 解得：． 【小问2详解】 证明：由题意可知：， ∴不论取何实数，该方程总有两个实数根． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需200秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位．为了解初中学生对量子计算的知晓情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为A，B，C，D四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解” 等级 A B C D 人数（人） 30 60 40 20 请根据以上信息，解答下列问题： （1）若该校共有初中学生3000名，请你估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数； （2）学校准备从非常了解量子计算的四位同学（3男1女）中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，用样本估计总体等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）由统计表可知，A等级有30人，除以总人数，再乘以3000，即可算出“非常了解”的人数； （2）先画出树状图，展示所有等可能的结果，再找出恰好选中一男一女的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 估计该校初中学生对量子计算“非常了解”的人数约为人； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有种， 恰好选中一男一女的概率． 20. 某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直墙的一边长为米． （1）当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x． （2）当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值． 【答案】（1）垂直于墙的边长为10米 （2）垂直于墙的一边长为9米时，这个矩形实践基地的面积最大，最大面积为米2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）用表示出矩形另一边的长，再利用“矩形实践基地的面积为160平方米”列方程解出即可； （2）列出矩形实践基地的面积与垂直于墙的边长间的函数关系式，即可求出这个基地的面积最大时，垂直于墙的边长，以及这个面积的最大值． 【小问1详解】 垂直于墙的一边长为米，三边用长为36米的篱笆围成， 平行于墙的一边长为米， 根据题意，得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：垂直于墙的边长为10米； 【小问2详解】 设矩形实践基地的面积为平方米， 根据题意，得， ， 当时，取最大值，最大值为162米． 答：垂直于墙的一边长为9米时，这个矩形实践基地的面积最大，最大面积是162米． 21. 如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． （3）在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 （3）没有，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求出y的值，然后与3.2比较即可得出结论； （3）根据题意，设后仰跳投时的抛物线解析式为，再把和代入解析式求出，的值，即可求得后仰跳投时的抛物线解析式，然后把代入解析式求出的值，与3.05比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入解析式，得： ， 解得：， 此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：乙能碰到篮球，理由如下： 当时，， ， 乙能碰到篮球， 答：乙能碰到篮球； 【小问3详解】 解：篮球没有入筐，理由如下： 设后仰跳投时的抛物线解析式为， 把和代入解析式，得： ， 解得：， 后仰跳投时的抛物线解析式为， 当时，， ， 篮球没有入筐， 答：篮球没有入筐． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，求函数值，有理数大小比较实际应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为1 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的直径，， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ． 【小问3详解】 解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 23 如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 【答案】（1）， （2）或或 （3）， 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式，即可求解； （2）由二次函数的对称轴得对称轴为直线，设，①当时，②当时，由勾股定理，即可求解； （3）过作轴交于，由等腰三角形的定义得，由勾股定理得直线的解析式为，设，，可得，，由二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 当时，， ； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 设， ①当时，如图， ， 解得：， ； ②当时，如图， ， 解得：，， ； 故点D的坐标为或或； 【小问3详解】 解：过作轴交于， 轴， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， 当时， 的最大值是； ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，二次函数的性质求最值，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $