精品解析：浙江省温州市浙南名校联盟2024-2025学年高二下学期返校联考数学试题

2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高二下2月返校联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小． 【详解】由直线的方向向量知，直线的斜率为  ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 3. 若直线与直线平行，则m的值是（ ） A. 1或 B. C. 1或 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】直线与直线平行， 则，解得或， 经检验，或时，两直线平行，经检验都符合题意. 故选：C 4. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出数列周期性即可得到答案. 【详解】数列满足，， ，，， ，， 是周期为3的周期数列， 而，故． 故选：D. 5. 过，，三点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上求参数值，进而得到圆的标准方程. 【详解】设所求圆的一般方程为， 代入A，B，C三点，得，解得， 所以圆的一般方程为，即. 故选：B 6. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 7. 已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得Q点轨迹是椭圆，结合面积为及椭圆的性质求面积的最大值. 【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则， 则， 所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆， 设其标准方程，其中，则，标准方程为， 面积为，显然，当时，最大， 则面积的最大值为. 故选：B 8. 若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化为，构造，利用导数研究函数的单调性得，进而问题化为对任意正实数t恒成立，构造，导数求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由，不等式，即， 即，即， 设，则上式为， 由，则在R上单调递增，可得， 由，得，令，则， 因此对任意正实数x恒成立，即对任意正实数t恒成立， 令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，则. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由题设有，构造并利用导数研究单调性，进一步有对任意正实数t恒成立为关键. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，依此类推．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意及等差数列前n项和公式得，进而求出前几项及判断A、B、C；应用裂项相消法求和判断D. 【详解】由题意知，，，，，， 故， 所以， ，，故A错误; 故，故B正确； 因为，故C正确； 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：BCD 10. 已知双曲线的渐近线分别为，，为双曲线上一个动点，，，斜率为的直线与双曲线交于两点，平面内动点满足分别与，平行，则下面结论正确的是（ ） A. 点到渐近线的距离为2 B. 的最小值为 C. 在直线上 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，由点到直线的距离公式可得；选项B，由双曲线的定义，得，进而可得；选项C：分别设，，联立两直线方程可得点坐标，再分别联立双曲线方程可得，，由可得，进而可得；选项D：设与双曲线C相切，则的最小值为与的距离，由与双曲线C相切求得的值，进而可得. 【详解】对于A，双曲线，其渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离，故A正确； 对于B，由图可得，要取最小值，则点在第一象限， 由题知双曲线的焦点为，， 由双曲线定义知，则， 则 当且仅当三点共线且在之间时，取最小值，故B错误； 对于C，双曲线的渐近线为，设：，：， 设，， 联立，可得，即. 联立，即，解得， 将代入，得， 所以. 联立，即，解得， 将代入，得， 所以. 所以 ， 由，得，所以T在直线上，故C错误； 对于D，设与双曲线C相切， 联立，得，即， 所以，解得， 当时，的最小值为与的距离， 即与的距离，即为， 同理当时，的最小值为与的距离， 即为 综上所述，的最小值为，故D正确． 故选：AD 【点睛】关键点点睛：选项C中，可从直线两直线出发，求出三点坐标，再利用直线的斜率得到的横纵坐标的关系即可. 11. 如图，异面直线a，b相互垂直，点，A分别为直线a，b上的点，满足，，E、F分别为直线a，b上的动点，M为线段EF的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，与EF所成角为，则EF长度为定值 C. 若，与EF所成角为，则M的轨迹是圆 D. 若，与EF所成角为，则为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，运用向量的线性运算转化，结合异面直线a，b相互垂直，进行计算判断； 对于B，运用向量线性运算转化，结合数量积定义计算即可判断； 对于C，画出图，将图形还原为长方体，设AC与BF交于点D，连接MD，取的中点N，连接MN，证明四边形MNAD是平行四边形，求出，运用垂直性质得到M的轨迹即可； 对于D，根据C和等体积法计算判断. 【详解】解：对于A，由题意知， 所以 因为异面直线a，b相互垂直， 所以，解得，故A正确； 对于B，若，与EF所成角为， 所以， 所以， 即为定值，故B正确； 对于C，如图，将图形还原为长方体，设AC与BF交于点D，连接MD，取的中点N，连接MN， 由选项B可知，，， 又因为M为EF的中点，所以，， 而，，故，，所以四边形MNAD是平行四边形， 则，，因为， 则， 因为平面ABCF，平面ABCF，所以，则， 所以M的轨迹是在线段的中垂面内以的中点N为圆心，为半径的圆，故C正确； 对于D，由选项C可知，不为定值，故D错误． 故选: 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的导函数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用简单符合函数的导数求法求函数的导函数. 【详解】由. 故答案为： 13. 已知数列满足，则__________． 【答案】110 【解析】 【分析】讨论n奇偶性求出对应的通项公式，再应用分组求和求. 【详解】当n为奇数时，可得 ，所以； 当n为偶数时，可得 ，所以； 所以 . 故答案为： 14. 设函数，若曲线在点处的切线与抛物线也相切，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数在点处的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，由可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，即可求得的值. 【详解】由题意得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与抛物线方程联立得， 由，得，即， 令，则，其中， 当时，，递增， 当时，，递减，则，且，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与圆. （1）若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值; （2）设是圆C上动点，若的最小值为2，求r的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设求出圆心到直线的距离，根据圆C上有且只有一个点到l的距离为1，确定圆的半径即可； （2）将已知条件化为圆C上点到直线的距离最小值为1，结合圆心到直线的距离，即可得圆的半径. 【小问1详解】 由题设，圆心到直线的距离为， 所以时，圆 C上有且只有一个点到l的距离为1； 【小问2详解】 由，即圆C上点到直线的距离最小值为1， 因为圆心到直线的距离为， 所以. 16. 已知等比数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）法一：应用的关系求得、，根据等比数列的定义写出通项公式；法二：应用等比数列的通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由已知可得，再应用错位相减法求，即可证结论. 【小问1详解】 法一：由，则时，故，则， 所以是公比为2的等比数列，又当时，解得， 所以； 法二：设公比为q，则，解得（舍）或， 由，则，所以； 【小问2详解】 因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 17. 如图，矩形ABCD中，，，E为AD的三等分点靠近D点，将沿着BE折起，使得点在底面的射影O落在BD上，Q为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）若，当Q到平面的距离为时，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知先证、，再由线面、面面垂直的判定证结论； （2）构建合适的空间坐标系，再由已知求的坐标，并求出平面的法向量及的坐标，应用点面距离的向量求法列方程求参数. 【小问1详解】 连接CE、BD，，点在底面的射影O落在BD上， 所以平面，平面BCDE，则， 由，则，， 矩形ABCD中，则，，所以，， ，即， 由且都在平面内，则平面，平面， 平面平面. 【小问2详解】 以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建系如图． ，，，， 设，，，，， 即，解得，，，即， 设平面的法向量为，，， 所以，解得， 由，易知， ，解得. 18. 已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. （1）求抛物线C的方程; （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; （3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析；定点； （3）为定值，定值为4 . 【解析】 【分析】（1）根据已知及抛物线的定义求得，即可得抛物线方程； （2）设直线l方程为，联立抛物线并应用韦达定理得，再由及，，联立所得求参数值，进而确定直线所过的定点； （3）设直线AM的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，、得到、，再由三角形面积公式得到，结合（2）即可得结论. 【小问1详解】 由题设； 【小问2详解】 设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； 【小问3详解】 由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 【点睛】关键点点睛：第三问，、，设直线并联立抛物线，应用韦达定理得到、，且为关键. 19. 设函数，已知点，过点作曲线的切线，与曲线相切于点. （1）证明：； （2）证明：（i）； （ii）数列单调递增; （3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，证明： 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造，利用导数研究其区间单调性，结合其最值即可证结论； （2）（i）利用导数求最值，可得对于任意切点有，再应用导数的几何意义求切线方程，得到，从而有，根据等号成立条件及、，即可证结论；（ii）由，应用作商法比较的大小，即可得单调性； （3）根据（1）（2）的结论，有，再应用累加求和得，整理并放缩，即可证结论. 【小问1详解】 令函数，则， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，当且仅当时等号成立. 【小问2详解】 （i）定义域为，则， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 所以，即对于任意切点有①， 切线的方程为，又， 将点代入得②，整理得，故， 代入①，易得，当且仅当等号成立，即， 由②，得，显然等号不成立，因此. （ii）由于，，因此数列单调递增． 【小问3详解】 由（1）得，又， 所以， 累加求和，有， 即，整理有. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先证明上所有点的纵坐标都大于等于，再应用导数求切线方程并得到并讨论等号成立条件为关键，第三问，根据所得结论得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高二下2月返校联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（ ） A B. C. D. 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 若直线与直线平行，则m值是（ ） A. 1或 B. C. 1或 D. 1 4. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 过，，三点圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 8. 若不等式对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，依此类推．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的渐近线分别为，，为双曲线上一个动点，，，斜率为的直线与双曲线交于两点，平面内动点满足分别与，平行，则下面结论正确的是（ ） A. 点到渐近线距离为2 B. 的最小值为 C. 在直线上 D. 的最小值为 11. 如图，异面直线a，b相互垂直，点，A分别为直线a，b上的点，满足，，E、F分别为直线a，b上的动点，M为线段EF的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，与EF所成角为，则EF长度为定值 C. 若，与EF所成角为，则M的轨迹是圆 D. 若，与EF所成角为，则为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的导函数为__________． 13. 已知数列满足，则__________． 14. 设函数，若曲线在点处的切线与抛物线也相切，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知直线与圆. （1）若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值; （2）设是圆C上的动点，若的最小值为2，求r的值． 16. 已知等比数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 17. 如图，矩形ABCD中，，，E为AD的三等分点靠近D点，将沿着BE折起，使得点在底面的射影O落在BD上，Q为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）若，当Q到平面的距离为时，求的值． 18. 已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. （1）求抛物线C的方程; （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; （3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 19. 设函数，已知点，过点作曲线的切线，与曲线相切于点. （1）证明：； （2）证明：（i）； （ii）数列单调递增; （3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $