第六章 计数原理（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章：计数原理 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 3．（24-25高二上·湖南·期中）某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·四川乐山·一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（    ） A．120 B．480 C．540 D．660 6．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 7．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 8．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目. 9．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知m，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 10．（23-24高二下·山东临沂·期中）临沂动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（    ） A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B．若“绿水晶”去展馆，有7种安排方法 C．若“绿水晶”不去展馆，有6种安排方法 D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有8种安排方法 11．（22-23高一下·吉林四平·期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．同年8月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”工作落实进度每半月通报一次．2021年10月，全国人大表示：“双减”拟明确入法，避免加重义务教育阶段学生负担．11月3日，市场监管总局等八部门发布《关于做好校外培训广告管控的通知》．坚决杜绝地铁、公交站台等所属广告牌、广告位刊发校外培训广告．在“双减”政策的推动下，四平市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的教师师资，充分体现了教育的公平性．现从四平市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级．要求每个班级至少分配1名教师．至多分配3名老师，则（　　） A．将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法 B．有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法 C．根据班级实际情况，现（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法 D．根据教学经验分析，甲、乙、丙三名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，种分配方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（23-24高二下·广东清远·期中）一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则 . 13．（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答） 14．（22-23高三下·江苏扬州·阶段练习）已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有种可能，在这种可能中，电路从P到Q接通的情况有 种．      四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 16．（23-24高二下·浙江·期中）在二项式的展开式中， (1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 17．（23-24高二下·浙江·期中）药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中． (1)药房中共有几味药？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药． （i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 18．（24-25高三上·上海·期中）2024届起，上海实行高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 20 20 20 8 2 3 7 女生 16 6 6 16 4 10 6 (1)估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数； (2)从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示） (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.（结果用最简分数表示） 19．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章：计数原理 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质来求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 3．（24-25高二上·湖南·期中）某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有种， 而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成： 先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法， 由分步乘法计数原理，可知方法数有种. 由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为. 故选：D. 4．（2023·四川乐山·一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【详解】比小的有，共个，从中选出个排在的右边和下方，方法数有种， 比大的有，共个，从中选出个排在的左边和上方，方法数有种， 所以不同的填法种数为种. 故选：B 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（    ） A．120 B．480 C．540 D．660 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】分别考虑实验小学站2人，实验小学站3人，根据分组分配问题，结合排列组合即可求解． 【详解】当实验小学站2人，种． 实验小学站3人，种． 则下车的不同方案种数为． 故选：D． 6．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B．252 C． D．28 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 7．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 8．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】分组分配问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解. 【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目. 9．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知m，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用组合数公式证明、组合数方程和不等式 【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为m，且， 对于选项A：由阶乘的定义可知，故A正确； 对于选项B：因为， 整理得，解得或（舍去），故B正确； 对于选项C：因为 ， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可知，故D错误； 故选：ABC. 10．（23-24高二下·山东临沂·期中）临沂动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（    ） A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B．若“绿水晶”去展馆，有7种安排方法 C．若“绿水晶”不去展馆，有6种安排方法 D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有8种安排方法 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】对于A,从4种精品花卉中安排3种花卉给展馆即可；对于B,若“绿水晶”去 展馆, 将剩下 3 种花卉分到 展馆即可；对于C,若“绿水晶”不去 展馆, 则其必须去 展馆;对于D,若 2 种三角梅不能去往同一个展馆, 则其分别在 两个展馆.根据排列组合计算即可. 【详解】对于,若展馆需要 3 种花卉, 4 种精品花卉选 3 种安排在展馆即可，有种安排方法,正确; 对于, 若“绿水晶”去展馆, 将剩下3 种花卉分到展馆即可,展馆必有一种,则有 种安排方法,正确; 对于, 若“绿水晶”不去展馆, 则其必须去展馆，同理选项，有7 种安排方法， 错误; 对于, 若 2 种三角梅不能去往同一个展馆, 则其分别在 两个展馆, 有 种安排方法, 将 2 种兰花安排在 两个展馆, 每种兰花都有 2 种安排方法, 则 2 种兰花共有 种安排方法, 则有 种安排方法, 正确. 故选: . 11．（22-23高一下·吉林四平·期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．同年8月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”工作落实进度每半月通报一次．2021年10月，全国人大表示：“双减”拟明确入法，避免加重义务教育阶段学生负担．11月3日，市场监管总局等八部门发布《关于做好校外培训广告管控的通知》．坚决杜绝地铁、公交站台等所属广告牌、广告位刊发校外培训广告．在“双减”政策的推动下，四平市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的教师师资，充分体现了教育的公平性．现从四平市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级．要求每个班级至少分配1名教师．至多分配3名老师，则（　　） A．将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法 B．有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法 C．根据班级实际情况，现（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法 D．根据教学经验分析，甲、乙、丙三名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，种分配方法 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】分组分配问题 【分析】根据分组分配问题的处理方法，逐项列式判断即可. 【详解】对于A：将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法，故A正确； 对于B：有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法，故B错误； 对于C：（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法，故C正确； 对于D：甲、乙、丙3名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化， 故剩余5名教师可按1，2，2和1，1，3两种情况分类，有种分配方法，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（23-24高二下·广东清远·期中）一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】由已知可得出，可得出关于、的方程组，即可解得、的值，从而得解. 【详解】由题意可得， 因为、均为正整数且，所以也为正整数，且， 又且与均为质数，所以，解得，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】首先给，两个顶点挂彩灯，再给顶点挂彩灯，再分、挂同一种颜色的彩灯和、挂不同种颜色的彩灯两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】首先给，两个顶点挂彩灯，有种方法，再给顶点挂彩灯，有种方法， ①若、挂同一种颜色的彩灯，则有种方法， 最后挂点有种方法，故有种； ②若、挂不同种颜色的彩灯，此时挂点有种方法，挂点有种方法， 最后挂点有种方法，故有种； 综上可得一共有种不同的方法. 故答案为： 14．（22-23高三下·江苏扬州·阶段练习）已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有种可能，在这种可能中，电路从P到Q接通的情况有 种．      【答案】16 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的计数问题、分类加法计数原理 【分析】根据题意，按1、4的闭合与否，分三种情况讨论：（1）若1闭合，而4不闭合；（2）若4闭合，而1不闭合；（3）若1、4都闭合，分别求出每种情况下的电路接通情况的数目，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】若电路从到接通，共有三种情况： （1）若1闭合，而4不闭合时，可得分为： ①若1、2闭合，而4不闭合，则3、5可以闭合也可以不闭合，共有种情况； ②若1、3、5闭合，而4不闭合，则2可以闭合也可以不闭合，有2种情况， 但①与②中都包含1、2、3、5都闭合，而4不闭合的情况，所以共有种情况； （2）若4闭合，而1不闭合时，可分为： ③若4、5闭合，而1不闭合，则2、3可以闭合也可以不闭合，有种情况； ④若4、3、2闭合，而1不闭合，则5可以闭合也可以不闭合，有2种情况， 但③与④中，都包含4、2、3、5都闭合，而1不闭合的情况，所以共有种情况； （3）若1、4都闭合，共有种情况，而其中电路不通有2、3、5都不闭合与2、5都不闭合2种情况，则此时电路接通的情况有种情况； 所以电路接通的情况有种情况. 故答案为：. 四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)144 (3)960 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）由捆绑法即可得到结果； （2）由插空法即可得到结果； （3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）先将3名男生排好，共有种排法， 在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中， 共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法. 16．（23-24高二下·浙江·期中）在二项式的展开式中， (1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)，， (2)， 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数、求有理项或其系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】（1）根据已知条件及二项展开式的通项公式，结合有理项的特点即可求解； （2）利用二项式系数的性质及系数的最大项的求法即可求解. 【详解】（1）由题意得, ∴，即,解得或（舍）. ∴，，1，2，…6， 所以，3，6时为有理项 即展开式中的有理项为：，，. （2）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以， 设第项的展开式系数最大，则 ,解得。 所以展开式中系数最大项为：，. 17．（23-24高二下·浙江·期中）药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中． (1)药房中共有几味药？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药． （i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 【答案】(1)12 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数方程和不等式 【分析】（1）由题意列出方程，即可求解； （2）设共有烈性药r味，1味烈性药味非烈性药称为三药组”，考虑问题的反面，从而列出方程，结合该方程的解的情况，即可证明结论. 【详解】（1）设共有n味药，一共可形成个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它， 22副药方中，每副药方可形成个“三药组”，合计220个“三药组”， 所以，所以． （2）设共有烈性药r味，假设每副药方中至多含有3味烈性药， 不妨把1味烈性药味非烈性药称为“三药组”， 共有个“三药组”， 另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有副药方恰含有3种烈性药， 每副这样的药方含有个“三药组”，其余副药方只含有1种或2种烈性药， 它们中每一幅都可形成或个“三药组”， 故22副药方一共可形成个“三药组”， 故有，得， （i）将代入, 即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）两边考虑都除以5，右侧余2， 对于，当r取0，1，2，3，4，5时，均不成立， 即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立， 所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于理解透题意，特别是第二问的证明，解答时采用反证思想，从反面说明，推出方程无解，从而证明结论. 从而证明结论. 18．（24-25高三上·上海·期中）2024届起，上海实行高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 20 20 20 8 2 3 7 女生 16 6 6 16 4 10 6 (1)估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数； (2)从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示） (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.（结果用最简分数表示） 【答案】(1)45人 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、组合数的计算、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先根据分层抽样的定义求出高一年级男生的人数，再根据选“物理、化学、历史”组合的比例可求得结果； （2）由题意可知选“物理、化学、生物”组合的人数有8人，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （3）先根据题意分别求出选“物理、化学、生物”， “生物、政治、历史”，“生物、历史、地理”的人数，然后求出2人选科方案相同的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案. 【详解】（1）由题意知该学校高一年级男生有人. 因此估计该学校高一全体男生中， 选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数为人. （2）用表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”， 则. （3）由题意知选取的16名女生中，有6人选“物理、化学、生物”， 4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”. 用表示事件“2人选科方案不同”， 则， 进而有 19．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项展开式的应用 【分析】（1）把看作整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数求得结果. （2）根据二项式定理和三项式的次系数列的定义，分别展开，然后比较的系数，建立方程关系进行求解即可. 【详解】（1）因为                    （在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数）， 从而，，，   故. （2）因为 其中含项的系数为 又， 的展开式中的第项为 ， 令，解得， 所以含项的系数为；      所以． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$