7.2 排列（分层作业，9大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

7.2排列 题型一 排列的意义理解 1.由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ） A.20 B.25 C.30 D.21 2.某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ） A.14种 B.16种 C.18种 D.20种 题型二 排列数的计算 1.计算（ ） A.10！ B.13！ C.21！ D.42！ 2.的值是（ ） A.480 B.520 C.600 D.1320 题型三 用排列数公式证明 1.证明下列等式. （1）； （2）. 2.（1）证明：； （2）化简：. 题型四 排列数方程和不等式 1.已知，则（ ） A.11 B.12 C.13 D.14 2.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 题型五 全排列问题 1.2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（ ） A.10种 B.12种 C.24种 D.120种 2.3张卡片的正、反面分别写有数字1和2、3和4、5和6.将这3张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为（ ） A.120 B.48 C.8 D.6 题型六 元素（位置）有限制的排列问题 1.学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ） A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 2.5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ） A.18 B.36 C.48 D.60 题型七 相邻问题的排列问题 1.6名同学排成一排照相，其中甲､乙两人相邻的排法共有（ ） A.120种 B.240种 C.360种 D.480种 2.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（ ） A.48 B.36 C.24 D.12 题型八 不相邻排列问题 1.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 2.某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.24种 题型九 其他排列模型 1.小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（ ） A.120种 B.180种 C.240种 D.480种 2.从1，2，3，…，29，30，中选三个不同的数，，，且满足的数组的对数为（ ） A.120 B.210 C.420 D.105 1.某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（ ） A.624 B.528 C.312 D.264 2.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A.24 B.48 C.144 D.240 3.如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A. B. C. D. 4.某种产品的加工需要经过6道工序. （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中某3道工序必须相邻.问有多少种加工顺序? （3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 5.3月23日，“新疆第一春，花开吐鲁番”2024吐鲁番高昌杏花节在亚尔镇上湖村开幕.来自全国各地的游客走进杏花园，近距离感受新疆“第一春”的魅力.本届杏花节系列活动集赏花、民俗风情、文化旅游为一体，共设立了9个赏花点，特别是“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点，成为游客游玩的打卡点.甲游客计划从9个赏花点中选出5个赏花点依次前往打卡，且“花仙子”赏花点和山海经动漫人物赏花点是甲的必选打卡点. （1）试问甲共有多少种不同的游玩方案? （2）若甲游玩的前3个打卡点中含有“花仙子”和山海经动漫人物这两个赏花点，试问共有多少种不同的游玩方案? 6.晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. （1）2个舞蹈节目不相邻； （2）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 7.小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天. （1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案； （2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案； （3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2排列 题型一 排列的意义理解 1.由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ） A.20 B.25 C.30 D.21 【答案】A 【分析】除法是有序的，故直接利用排列数求解即可. 【详解】任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为. 故选：A. 2.某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ） A.14种 B.16种 C.18种 D.20种 【答案】A 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 题型二 排列数的计算 1.计算（ ） A.10！ B.13！ C.21！ D.42！ 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用阶乘的定义计算得解. 【详解】. 故选：A 2.的值是（ ） A.480 B.520 C.600 D.1320 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 题型三 用排列数公式证明 1.证明下列等式. （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： . （2）证明：由排列数公式，可得. 2.（1）证明：； （2）化简：. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）证明：； （2）原式. 题型四 排列数方程和不等式 1.已知，则（ ） A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】C 【分析】直接根据排列数的性质化简求解即可. 【详解】因为， 则， 整理可得， 解得，经检验，满足题意. 故选：C. 2.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 题型五 全排列问题 1.2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（ ） A.10种 B.12种 C.24种 D.120种 【答案】D 【分析】由5名同学的全排列直接求解即可. 【详解】根据题意，2名男生和3名女生站成一排拍照，不同的站法为种. 故选：D. 2.3张卡片的正、反面分别写有数字1和2、3和4、5和6.将这3张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为（ ） A.120 B.48 C.8 D.6 【答案】B 【分析】结合题意根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】“组成三位数”这件事，分2步完成： 第1步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列； 第2步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法. 根据分步乘法计数原理，共可以得到不同的三位数个. 故选：. 题型六 元素（位置）有限制的排列问题 1.学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ） A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 【答案】B 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 2.5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ） A.18 B.36 C.48 D.60 【答案】B 【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 题型七 相邻问题的排列问题 1.6名同学排成一排照相，其中甲､乙两人相邻的排法共有（ ） A.120种 B.240种 C.360种 D.480种 【答案】B 【分析】利用捆绑法求解. 【详解】甲和乙两人相邻，有种方法；将甲､乙两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲､乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：B. 2.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（ ） A.48 B.36 C.24 D.12 【答案】A 【分析】利用捆绑法进行求解. 【详解】舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况， 将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况 故共有种方案. 故选：A 题型八 不相邻排列问题 1.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】C 【分析】利用插空法可求得结果. 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 2.某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.24种 【答案】B 【分析】利用不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法. 故选：B 题型九 其他排列模型 1.小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（ ） A.120种 B.180种 C.240种 D.480种 【答案】A 【分析】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种，利用除法可得结论. 【详解】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种， 所以，，三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有种不同的出游方法. 故选：A. 2.从1，2，3，…，29，30，中选三个不同的数，，，且满足的数组的对数为（ ） A.120 B.210 C.420 D.105 【答案】C 【分析】由，知，必须同奇偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解. 【详解】由，知，必须同奇或同偶， 若，都为奇数，则有种选法； 若，都为偶数，则有种选法； 由分类加法计数原理知，满足题意的数对共有种. 故选：C. 1.某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（ ） A.624 B.528 C.312 D.264 【答案】D 【分析】利用分类计数原理，结合排列思想即可求解. 【详解】如果2节数学课排在上午，则数学课的安排情况为，，，共3种排法， 此时体育课排在下午，有3种排法，剩下的4节课有种排法， 所以数学课排在上午共有种排法. 如果2节数学课排在下午，则数学课的安排情况为，，共2种排法， 此时体育课排在下午，有1种排法，剩下的4节课有种排法， 所以数学课排在下午共有种排法. 综上，不同的排法种数为， 故选：D. 2.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A.24 B.48 C.144 D.240 【答案】C 【分析】由捆绑法结合插空法求解； 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为. 故选：C 3.如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C. 4.某种产品的加工需要经过6道工序. （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中某3道工序必须相邻.问有多少种加工顺序? （3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】（1）288； （2）144； （3）144. 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 5.3月23日，“新疆第一春，花开吐鲁番”2024吐鲁番高昌杏花节在亚尔镇上湖村开幕.来自全国各地的游客走进杏花园，近距离感受新疆“第一春”的魅力.本届杏花节系列活动集赏花、民俗风情、文化旅游为一体，共设立了9个赏花点，特别是“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点，成为游客游玩的打卡点.甲游客计划从9个赏花点中选出5个赏花点依次前往打卡，且“花仙子”赏花点和山海经动漫人物赏花点是甲的必选打卡点. （1）试问甲共有多少种不同的游玩方案? （2）若甲游玩的前3个打卡点中含有“花仙子”和山海经动漫人物这两个赏花点，试问共有多少种不同的游玩方案? 【答案】（1）4200 （2）1260 【分析】（1）应用特殊元素结合组合和全排列计算即可； （2）应用分步计数原理结合排列计算. 【详解】（1）第一步，从除“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点外的7个赏花点中选出3个赏花点，共有种不同的游玩方案. 第二步，选出的5个赏花点排列，共有种不同的游玩方案. 故甲共有种不同的游玩方案. （2）第一步，将“花仙子”赏花点和山海经动漫人物赏花点排列，共有种不同的游玩方案. 第二步，从除“花仙子”赏花点、山海经动漫人物赏花点外的7个赏花点中选择3个赏花点排列，共有种不同的游玩方案. 故共有种不同的游玩方案. 6.晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. （1）2个舞蹈节目不相邻； （2）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 【答案】（1）3600 （2）3456 【分析】（1）利用插空法，先排非舞蹈节目，然后将2个舞蹈节目插到6个空中，再利用分步乘法原理可求得结果； （2）前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，再利用分类加法原理求解. 【详解】（1）先排非舞蹈节目，有种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法， 故由分步乘法原理可知共有种排法. （2）前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法， 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有种排法， 故由分类加法原理可知共有种排法. 7.小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天. （1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案； （2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案； （3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案. 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【分析】（1）根据题意，结合排列问题及分步乘法计数原理求解； （2）根据题意，结合排列问题捆绑法求解； （3）根据题意，结合排列问题及分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）解：若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有种安排方案. （2）解：金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容， 若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩， 共有种安排方案. （3）解：金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地， 共有种安排方案. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$