精品解析：陕西省西安市长安区2025届高三一模数学试题

长安区2025届高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷 （选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是目要求的. 1. 已知，则复数的实部与虚部之和为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 1000名学生成绩的平均数是77 B. 成绩不低于80分的学生所占比例为40% C. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人 D. 这1000名学生成绩的第50百分位数是80 5. 双曲线的左顶点为A，点M，N是双曲线上关于y轴对称的两点.若直线AM与AN的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（ ） A. B. 直线FN的方程为 C. D. △PFN的面积为 11. 数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列，若的前n项和为，下列关于斐波那契数列说法正确的是（ ） A. B. 若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的前2024项之和为2697 C. 前2024项中奇数共有1350个 D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的通项公式，则________. 13. 已知，满足，，则________. 14. 近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有________种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递________种不同的信息. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. （1）若AD平分，求证：； （2）若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 16. 已知函数，. （1）记的导数为，求的值，其中； （2）若，恒有，求a的取值范围. 17. 如图三棱锥中，四个面均为直角三角形，其中，且.取BC中点为E，过E作于点F. （1）证明：； （2）求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值. 18. 某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. （1）若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； （2）若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； （3）若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安区2025届高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷 （选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是目要求的. 1. 已知，则复数的实部与虚部之和为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出求解. 【详解】由，得， 则，所以复数的实部与虚部之和为. 故选：A 2. 已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的定义判断即得. 【详解】令，数列是等比数列，，不成等比数列，则不能推出； 令，则，成等比数列，而不是等比数列，不能推出， 所以p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算向量，再结合向量数量积应用投影向量公式计算求解. 【详解】因为向量，满足，， 所以， 所以， 则在上的投影向量为. 故选：B. 4. 某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 1000名学生成绩的平均数是77 B. 成绩不低于80分的学生所占比例为40% C. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人 D. 这1000名学生成绩的第50百分位数是80 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；计算不低于80分的频率和判断B；利用分层抽样的特点计算判断C；求出第50百分位数判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图，得1000名学生成绩的平均数是 ，A错误； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B错误； 对于C，由分层抽样特点得，则应在内抽取人 ，C错误； 对于D， 1000名学生成绩的第50百分位数即中位数为80，D正确. 故选：D 5. 双曲线的左顶点为A，点M，N是双曲线上关于y轴对称的两点.若直线AM与AN的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设出双曲线方程及点的坐标，再利用斜率坐标公式及双曲线离心率的意义求解. 【详解】依题意，设双曲线方程为，则， 设点，则，，即， 因此，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 6. 已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【详解】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 7. 正三棱锥侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为时，三棱锥的侧面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将正三棱锥侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，利用最小周长求出侧面顶角大小即可. 【详解】将正三棱锥的侧面沿侧棱剪开并展开在同一平面内，如图， 连接，当分别为与的交点时，的周长最小， 此时，而，，则，， 所以三棱锥的侧面积为. 故选：A 8. 设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】令，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大， 由有两个零点，得，即， 函数在上都递增，则函数在上递增， ，因此存在，使得， 则不等式成立时，的最小整数值为3，即， 由，得，， 当且仅当，即时取等号，B正确. 故选：B 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式即可. 【详解】观察函数图象，设函数， 则，最小正周期，解得，又， 则，又，则， 所以，B正确；，A错误； ，，C正确， ，D错误. 故选：BC 10. 已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（ ） A. B. 直线FN的方程为 C. D. △PFN的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，圆的圆心及半径，再结合抛物线的定义逐项判断即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心，半径， 连接，由切圆于，得， 对于A，，则，A错误； 对于B，由选项A知，，直线的斜率为1，方程为，B正确； 对于C，设，由，解得，，C正确； 对于D，的面积，D正确. 故选：BCD 11. 数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列，若的前n项和为，下列关于斐波那契数列说法正确的是（ ） A. B. 若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的前2024项之和为2697 C. 前2024项中奇数共有1350个 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用裴波那契数列的性质，结合裂项相消法求和、周期性逐一判断即可. 【详解】数列中，， 对于A，，则 ，即，因此，A正确； 对于B，数列各项除以4的余数依次为 ，因此数列是周期数列，周期为6，前6项和为， 的前2024项和为，B错误； 对于C，数列中项是以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 因此数列前2024项中奇数共有，C正确； 对于D，， 则，于是 ，又，等式成立，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的通项公式，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式求解即可. 【详解】数列中，，，数列是等差数列，数列亦是等差数列， 所以. 故答案为： 13. 已知，满足，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有________种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递________种不同的信息. 【答案】 ①. 512 ②. 130 【解析】 【分析】应用乘法原理计算得出；分四类：（1）一个黑色格子也没出现，（2）出现1个黑色格子，（3）出现2个黑色格子，（3）出现3个黑色格子，分别进行求解，然后利用分类加法原理求解即可. 【详解】信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有种不同颜色组合来传递不同的信息； 若一个黑色格子也没出现，可以传递1种信息； 若出现1个黑色格子，可以传递9种不同信息； 若出现2个黑色格子，可以传递种不同信息； 若出现3个黑色格子，可以传递种不同信息； 所以若最多出现3个黑色格子，可以传递种不同信息. 故答案为：512；130. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. （1）若AD平分，求证：； （2）若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合三角形面积的性质进行证明即可； （2）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算律和定义进行求解即可. 【小问1详解】 设，垂足为， 在中，， 在中，， 因为AD平分， 所以，于是有， 因此有； 【小问2详解】 因为D为BC上靠近B的三等分点， 所以， 因为， 所以 16. 已知函数，. （1）记的导数为，求的值，其中； （2）若，恒有，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再代入并结合对数运算求值. （2）由（1）求出函数的最小值，再求出最大值，利用恒成立列式求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，函数的图象是开口向下的抛物线， 当时，，由，恒有，得， 因此，解得， 所以a的取值范围是. 17. 如图三棱锥中，四个面均为直角三角形，其中，且.取BC中点为E，过E作于点F. （1）证明：； （2）求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值. 【答案】（1） 三棱锥中，由平面， 得平面，而平面，则，又， 平面，因此平面，而平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）过点作，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAC与平面ABC的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，由（1）知平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面PAC与平面ABC的夹角为，则， 所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值. 18. 某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. （1）若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； （2）若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； （3）若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，记事件乙顾客第二次摸到红球，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知随机变量的可能取值有、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球， 所以，. 【小问2详解】 记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知， 记事件乙顾客第二次摸到红球，则， ， 所以，. 【小问3详解】 摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为， 则的可能取值有、、、、、、， ，， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； 【小问3详解】 由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $